MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdomtr 9142
Description: Strict dominance is transitive. Theorem 21(iii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
sdomtr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem sdomtr
StepHypRef Expression
1 sdomdom 9000 . 2 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
2 domsdomtr 9139 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
31, 2sylan 578 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   class class class wbr 5143  cdom 8961  csdm 8962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-er 8723  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966
This theorem is referenced by:  sdomn2lp  9143  2pwuninel  9159  2pwne  9160  r1sdom  9807  alephordi  10107  pwsdompw  10235  gruina  10849  rexpen  16222  sdomne0  43114  sdomne0d  43115
  Copyright terms: Public domain W3C validator