Theorem sdomtr 9045

Description: Strict dominance is transitive. Theorem 21(iii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sdomtr	⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Proof of Theorem sdomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8919	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domsdomtr 9042	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)
3	1, 2	sylan 581	1 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5097   ≼ cdom 8883   ≺ csdm 8884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888

This theorem is referenced by:  sdomn2lp  9046  2pwuninel  9062  2pwne  9063  r1sdom  9688  alephordi  9986  pwsdompw  10115  gruina  10731  rexpen  16155  sdomne0  43691  sdomne0d  43692