Theorem sdomtr 9042

Description: Strict dominance is transitive. Theorem 21(iii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sdomtr	⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Proof of Theorem sdomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8916	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domsdomtr 9039	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)
3	1, 2	sylan 581	1 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5074   ≼ cdom 8880   ≺ csdm 8881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885

This theorem is referenced by:  sdomn2lp  9043  2pwuninel  9059  2pwne  9060  r1sdom  9687  alephordi  9985  pwsdompw  10114  gruina  10730  rexpen  16184  sdomne0  43828  sdomne0d  43829