Theorem sdomirr 9109

Description: Strict dominance is irreflexive. Theorem 21(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sdomirr	⊢ ¬ 𝐴 ≺ 𝐴

Proof of Theorem sdomirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomnen 8984	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐴)
2		enrefg 8987	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≈ 𝐴)
3	1, 2	nsyl3 139	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 ≺ 𝐴)
4		relsdom 8956	. . . 4 ⊢ Rel ≺
5	4	brrelex1i 5719	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
6	5	con3i 155	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 ≺ 𝐴)
7	3, 6	pm2.61i 184	1 ⊢ ¬ 𝐴 ≺ 𝐴

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   class class class wbr 5111   ≈ cen 8946   ≺ csdm 8948

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952

This theorem is used by:  sdomn2lp  9111  2pwuninel  9127  2pwne  9128  r111  9754  alephval2  10572  alephom  10585  csdfil  24102