MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomirr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdomirr 9145
Description: Strict dominance is irreflexive. Theorem 21(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
sdomirr ¬ 𝐴𝐴

Proof of Theorem sdomirr
StepHypRef Expression
1 sdomnen 9008 . . 3 (𝐴𝐴 → ¬ 𝐴𝐴)
2 enrefg 9011 . . 3 (𝐴 ∈ V → 𝐴𝐴)
31, 2nsyl3 138 . 2 (𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴𝐴)
4 relsdom 8977 . . . 4 Rel ≺
54brrelex1i 5738 . . 3 (𝐴𝐴𝐴 ∈ V)
65con3i 154 . 2 𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴𝐴)
73, 6pm2.61i 182 1 ¬ 𝐴𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 2098  Vcvv 3473   class class class wbr 5152  cen 8967  csdm 8969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973
This theorem is referenced by:  sdomn2lp  9147  2pwuninel  9163  2pwne  9164  r111  9806  alephval2  10603  alephom  10616  csdfil  23818
  Copyright terms: Public domain W3C validator