Theorem sdomirr 9153

Description: Strict dominance is irreflexive. Theorem 21(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sdomirr	⊢ ¬ 𝐴 ≺ 𝐴

Proof of Theorem sdomirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomnen 9020	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐴)
2		enrefg 9023	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≈ 𝐴)
3	1, 2	nsyl3 138	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 ≺ 𝐴)
4		relsdom 8991	. . . 4 ⊢ Rel ≺
5	4	brrelex1i 5745	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
6	5	con3i 154	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 ≺ 𝐴)
7	3, 6	pm2.61i 182	1 ⊢ ¬ 𝐴 ≺ 𝐴

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148   ≈ cen 8981   ≺ csdm 8983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987

This theorem is referenced by:  sdomn2lp  9155  2pwuninel  9171  2pwne  9172  r111  9813  alephval2  10610  alephom  10623  csdfil  23918