Theorem sdomirr 9133

Description: Strict dominance is irreflexive. Theorem 21(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sdomirr	⊢ ¬ 𝐴 ≺ 𝐴

Proof of Theorem sdomirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomnen 9000	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐴)
2		enrefg 9003	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≈ 𝐴)
3	1, 2	nsyl3 138	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 ≺ 𝐴)
4		relsdom 8971	. . . 4 ⊢ Rel ≺
5	4	brrelex1i 5715	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
6	5	con3i 154	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 ≺ 𝐴)
7	3, 6	pm2.61i 182	1 ⊢ ¬ 𝐴 ≺ 𝐴

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   class class class wbr 5124   ≈ cen 8961   ≺ csdm 8963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967

This theorem is referenced by:  sdomn2lp  9135  2pwuninel  9151  2pwne  9152  r111  9794  alephval2  10591  alephom  10604  csdfil  23837