Theorem enen1 9119

Description: Equality-like theorem for equinumerosity. (Contributed by NM, 18-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
enen1	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≈ 𝐶 ↔ 𝐵 ≈ 𝐶))

Proof of Theorem enen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 9013	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
2		entr 9016	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐵 ≈ 𝐶)
3	1, 2	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐵 ≈ 𝐶)
4		entr 9016	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)
5	3, 4	impbida 813	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≈ 𝐶 ↔ 𝐵 ≈ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   class class class wbr 5107   ≈ cen 8953

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-er 8700  df-en 8957

This theorem is used by:  enfiALT  9186  alephexp2  10594  pmtrfmvdn0  19595  pibt2  38179