Theorem enen1 8679

Description: Equality-like theorem for equinumerosity. (Contributed by NM, 18-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
enen1	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≈ 𝐶 ↔ 𝐵 ≈ 𝐶))

Proof of Theorem enen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 8576	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
2		entr 8579	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐵 ≈ 𝐶)
3	1, 2	sylan 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐵 ≈ 𝐶)
4		entr 8579	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)
5	3, 4	impbida 800	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≈ 𝐶 ↔ 𝐵 ≈ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   class class class wbr 5032   ≈ cen 8524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-id 5430  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-er 8299  df-en 8528

This theorem is referenced by:  onomeneq  8747  enfi  8772  alephexp2  10041  pmtrfmvdn0  18657  pibt2  35114