Theorem enen1 9030

Description: Equality-like theorem for equinumerosity. (Contributed by NM, 18-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
enen1	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≈ 𝐶 ↔ 𝐵 ≈ 𝐶))

Proof of Theorem enen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 8925	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
2		entr 8928	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐵 ≈ 𝐶)
3	1, 2	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐵 ≈ 𝐶)
4		entr 8928	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)
5	3, 4	impbida 800	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≈ 𝐶 ↔ 𝐵 ≈ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   class class class wbr 5091   ≈ cen 8866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-er 8622  df-en 8870

This theorem is referenced by:  enfiALT  9097  alephexp2  10469  pmtrfmvdn0  19372  pibt2  37450