Theorem enen1 9113

Description: Equality-like theorem for equinumerosity. (Contributed by NM, 18-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
enen1	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≈ 𝐶 ↔ 𝐵 ≈ 𝐶))

Proof of Theorem enen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 8995	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
2		entr 8998	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐵 ≈ 𝐶)
3	1, 2	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐵 ≈ 𝐶)
4		entr 8998	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)
5	3, 4	impbida 799	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≈ 𝐶 ↔ 𝐵 ≈ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   class class class wbr 5147   ≈ cen 8932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-er 8699  df-en 8936

This theorem is referenced by:  enfiALT  9187  onomeneqOLD  9225  alephexp2  10572  pmtrfmvdn0  19324  pibt2  36286