MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enen1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem enen1 8982
Description: Equality-like theorem for equinumerosity. (Contributed by NM, 18-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
enen1 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐶𝐵𝐶))

Proof of Theorem enen1
StepHypRef Expression
1 ensym 8864 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
2 entr 8867 . . 3 ((𝐵𝐴𝐴𝐶) → 𝐵𝐶)
31, 2sylan 580 . 2 ((𝐴𝐵𝐴𝐶) → 𝐵𝐶)
4 entr 8867 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
53, 4impbida 798 1 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐶𝐵𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   class class class wbr 5092  cen 8801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-br 5093  df-opab 5155  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-er 8569  df-en 8805
This theorem is referenced by:  enfiALT  9056  onomeneqOLD  9094  alephexp2  10438  pmtrfmvdn0  19166  pibt2  35693
  Copyright terms: Public domain W3C validator