Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  minplyirredlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem minplyirredlem 33316
Description: Lemma for minplyirred 33317. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1annig1p.o 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
ply1annig1p.p 𝑃 = (Poly1β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))
ply1annig1p.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΈ)
ply1annig1p.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ Field)
ply1annig1p.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SubDRingβ€˜πΈ))
ply1annig1p.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
minplyirred.1 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
minplyirred.2 𝑍 = (0gβ€˜π‘ƒ)
minplyirred.3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) β‰  𝑍)
minplyirredlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
minplyirredlem.2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
minplyirredlem.3 (πœ‘ β†’ (𝐺(.rβ€˜π‘ƒ)𝐻) = (π‘€β€˜π΄))
minplyirredlem.4 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ))
minplyirredlem.5 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  𝑍)
minplyirredlem.6 (πœ‘ β†’ 𝐻 β‰  𝑍)
Assertion
Ref Expression
minplyirredlem (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ))
Proof of Theorem minplyirredlem
Dummy variable π‘ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1annig1p.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SubDRingβ€˜πΈ))
2 eqid 2727 . . . . . 6 (𝐸 β†Ύs 𝐹) = (𝐸 β†Ύs 𝐹)
32sdrgdrng 20667 . . . . 5 (𝐹 ∈ (SubDRingβ€˜πΈ) β†’ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ DivRing)
41, 3syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ DivRing)
54drngringd 20621 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ Ring)
6 minplyirredlem.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
7 minplyirredlem.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
8 minplyirredlem.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  𝑍)
9 eqid 2727 . . . . . . 7 ( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹)) = ( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))
10 ply1annig1p.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))
11 minplyirred.2 . . . . . . 7 𝑍 = (0gβ€˜π‘ƒ)
12 eqid 2727 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
139, 10, 11, 12deg1nn0cl 26011 . . . . . 6 (((𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝐺 β‰  𝑍) β†’ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ) ∈ β„•0)
145, 7, 8, 13syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ) ∈ β„•0)
1514nn0red 12555 . . . 4 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ) ∈ ℝ)
16 minplyirredlem.6 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻 β‰  𝑍)
179, 10, 11, 12deg1nn0cl 26011 . . . . . 6 (((𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝐻 β‰  𝑍) β†’ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π») ∈ β„•0)
185, 6, 16, 17syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π») ∈ β„•0)
1918nn0red 12555 . . . 4 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π») ∈ ℝ)
20 eqid 2727 . . . . . 6 (RLRegβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹)) = (RLRegβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))
21 eqid 2727 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
22 ply1annig1p.e . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ Field)
23 fldsdrgfld 20675 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ (SubDRingβ€˜πΈ)) β†’ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ Field)
2422, 1, 23syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ Field)
25 fldidom 21245 . . . . . . . . 9 ((𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ Field β†’ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ IDomn)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ IDomn)
2726idomdomd 21243 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ Domn)
28 eqid 2727 . . . . . . . 8 (coe1β€˜πΊ) = (coe1β€˜πΊ)
299, 10, 11, 12, 20, 28deg1ldgdomn 26017 . . . . . . 7 (((𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ Domn ∧ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝐺 β‰  𝑍) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ)) ∈ (RLRegβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹)))
3027, 7, 8, 29syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ)) ∈ (RLRegβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹)))
319, 10, 20, 12, 21, 11, 5, 7, 8, 30, 6, 16deg1mul2 26037 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜(𝐺(.rβ€˜π‘ƒ)𝐻)) = ((( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ) + (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π»)))
32 minplyirredlem.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺(.rβ€˜π‘ƒ)𝐻) = (π‘€β€˜π΄))
33 ply1annig1p.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
34 ply1annig1p.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΈ)
35 ply1annig1p.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
36 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜πΈ) = (0gβ€˜πΈ)
37 eqid 2727 . . . . . . . . 9 {π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)} = {π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)}
38 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (RSpanβ€˜π‘ƒ) = (RSpanβ€˜π‘ƒ)
39 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (idlGen1pβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹)) = (idlGen1pβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))
40 minplyirred.1 . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
4133, 10, 34, 22, 1, 35, 36, 37, 38, 39, 40minplyval 33312 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) = ((idlGen1pβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜{π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)}))
4232, 41eqtrd 2767 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺(.rβ€˜π‘ƒ)𝐻) = ((idlGen1pβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜{π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)}))
4342fveq2d 6895 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜(𝐺(.rβ€˜π‘ƒ)𝐻)) = (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜((idlGen1pβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜{π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)})))
4422fldcrngd 20626 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ CRing)
45 sdrgsubrg 20668 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (SubDRingβ€˜πΈ) β†’ 𝐹 ∈ (SubRingβ€˜πΈ))
461, 45syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SubRingβ€˜πΈ))
4733, 10, 34, 44, 46, 35, 36, 37ply1annidl 33309 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)} ∈ (LIdealβ€˜π‘ƒ))
48 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (π‘ž = 𝐺 β†’ (π‘‚β€˜π‘ž) = (π‘‚β€˜πΊ))
4948fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 (π‘ž = 𝐺 β†’ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = ((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π΄))
5049eqeq1d 2729 . . . . . . . 8 (π‘ž = 𝐺 β†’ (((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ) ↔ ((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)))
5133, 10, 12, 44, 46evls1dm 33172 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom 𝑂 = (Baseβ€˜π‘ƒ))
527, 51eleqtrrd 2831 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom 𝑂)
53 minplyirredlem.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ))
5450, 52, 53elrabd 3682 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ {π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)})
5510, 39, 12, 4, 47, 9, 11, 54, 8ig1pmindeg 33204 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜((idlGen1pβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜{π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)})) ≀ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ))
5643, 55eqbrtrd 5164 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜(𝐺(.rβ€˜π‘ƒ)𝐻)) ≀ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ))
5731, 56eqbrtrrd 5166 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ) + (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π»)) ≀ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ))
58 leaddle0 11751 . . . . 5 (((( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ) ∈ ℝ ∧ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π») ∈ ℝ) β†’ (((( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ) + (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π»)) ≀ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ) ↔ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π») ≀ 0))
5958biimpa 476 . . . 4 ((((( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ) ∈ ℝ ∧ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π») ∈ ℝ) ∧ ((( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ) + (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π»)) ≀ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ)) β†’ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π») ≀ 0)
6015, 19, 57, 59syl21anc 837 . . 3 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π») ≀ 0)
61 eqid 2727 . . . . 5 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
629, 10, 12, 61deg1le0 26034 . . . 4 (((𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π») ≀ 0 ↔ 𝐻 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜π»)β€˜0))))
6362biimpa 476 . . 3 ((((𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π») ≀ 0) β†’ 𝐻 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜π»)β€˜0)))
645, 6, 60, 63syl21anc 837 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜π»)β€˜0)))
65 eqid 2727 . . 3 (Baseβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹)) = (Baseβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))
66 eqid 2727 . . 3 (0gβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹)) = (0gβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))
67 0nn0 12509 . . . 4 0 ∈ β„•0
68 eqid 2727 . . . . 5 (coe1β€˜π») = (coe1β€˜π»)
6968, 12, 10, 65coe1fvalcl 22118 . . . 4 ((𝐻 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜π»)β€˜0) ∈ (Baseβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹)))
706, 67, 69sylancl 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜π»)β€˜0) ∈ (Baseβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹)))
719, 10, 66, 12, 11, 5, 6, 60deg1le0eq0 33189 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐻 = 𝑍 ↔ ((coe1β€˜π»)β€˜0) = (0gβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))))
7271necon3bid 2980 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐻 β‰  𝑍 ↔ ((coe1β€˜π»)β€˜0) β‰  (0gβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))))
7316, 72mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜π»)β€˜0) β‰  (0gβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹)))
7410, 61, 65, 66, 24, 70, 73ply1asclunit 33190 . 2 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜π»)β€˜0)) ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ))
7564, 74eqeltrd 2828 1 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  {crab 3427   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„cr 11129  0cc0 11130   + caddc 11133   ≀ cle 11271  β„•0cn0 12494  Basecbs 17171   β†Ύs cress 17200  .rcmulr 17225  0gc0g 17412  Ringcrg 20164  Unitcui 20283  SubRingcsubrg 20495  DivRingcdr 20613  Fieldcfield 20614  SubDRingcsdrg 20663  RSpancrsp 21092  RLRegcrlreg 21215  Domncdomn 21216  IDomncidom 21217  algSccascl 21773  Poly1cpl1 22083  coe1cco1 22084   evalSub1 ces1 22219   deg1 cdg1 25974  idlGen1pcig1p 26052   minPoly cminply 33302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-srg 20118  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-rhm 20400  df-nzr 20441  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-drng 20615  df-field 20616  df-sdrg 20664  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-lidl 21093  df-rlreg 21219  df-domn 21220  df-idom 21221  df-cnfld 21267  df-assa 21774  df-asp 21775  df-ascl 21776  df-psr 21829  df-mvr 21830  df-mpl 21831  df-opsr 21833  df-evls 22005  df-evl 22006  df-psr1 22086  df-vr1 22087  df-ply1 22088  df-coe1 22089  df-evls1 22221  df-evl1 22222  df-mdeg 25975  df-deg1 25976  df-mon1 26053  df-uc1p 26054  df-ig1p 26057  df-minply 33303
This theorem is referenced by:  minplyirred  33317
  Copyright terms: Public domain W3C validator