Theorem minplyirredlem 33754

Description: Lemma for minplyirred 33755. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annig1p.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
ply1annig1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
ply1annig1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
ply1annig1p.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
ply1annig1p.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
ply1annig1p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
minplyirred.1	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
minplyirred.2	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
minplyirred.3	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ 𝑍)
minplyirredlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝑃))
minplyirredlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝑃))
minplyirredlem.3	⊢ (𝜑 → (𝐺(.r‘𝑃)𝐻) = (𝑀‘𝐴))
minplyirredlem.4	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐺)‘𝐴) = (0g‘𝐸))
minplyirredlem.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 𝑍)
minplyirredlem.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ≠ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
minplyirredlem	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Unit‘𝑃))

Proof of Theorem minplyirredlem

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annig1p.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
2		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
3	2	sdrgdrng 20792	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
5	4	drngringd 20738	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring)
6		minplyirredlem.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝑃))
7		minplyirredlem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝑃))
8		minplyirredlem.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 𝑍)
9		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
10		ply1annig1p.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
11		minplyirred.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
12		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	9, 10, 11, 12	deg1nn0cl 26128	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐺 ≠ 𝑍) → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) ∈ ℕ0)
14	5, 7, 8, 13	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) ∈ ℕ0)
15	14	nn0red 12590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) ∈ ℝ)
16		minplyirredlem.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ≠ 𝑍)
17	9, 10, 11, 12	deg1nn0cl 26128	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐻 ≠ 𝑍) → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ∈ ℕ0)
18	5, 6, 16, 17	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ∈ ℕ0)
19	18	nn0red 12590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ∈ ℝ)
20		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (RLReg‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (RLReg‘(𝐸 ↾s 𝐹))
21		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
22		ply1annig1p.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
23		fldsdrgfld 20800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸)) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
24	22, 1, 23	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
25		fldidom 20772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ IDomn)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ IDomn)
27	26	idomdomd 20727	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Domn)
28		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
29	9, 10, 11, 12, 20, 28	deg1ldgdomn 26134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Domn ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐺 ≠ 𝑍) → ((coe1‘𝐺)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺)) ∈ (RLReg‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
30	27, 7, 8, 29	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺)) ∈ (RLReg‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
31	9, 10, 20, 12, 21, 11, 5, 7, 8, 30, 6, 16	deg1mul2 26154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘(𝐺(.r‘𝑃)𝐻)) = (((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) + ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻)))
32		minplyirredlem.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺(.r‘𝑃)𝐻) = (𝑀‘𝐴))
33		ply1annig1p.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
34		ply1annig1p.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
35		ply1annig1p.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
36		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
37		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}
38		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
39		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
40		minplyirred.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
41	33, 10, 34, 22, 1, 35, 36, 37, 38, 39, 40	minplyval 33749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}))
42	32, 41	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺(.r‘𝑃)𝐻) = ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}))
43	42	fveq2d 6909	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘(𝐺(.r‘𝑃)𝐻)) = ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})))
44	22	fldcrngd 20743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
45		sdrgsubrg 20793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
46	1, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
47	33, 10, 34, 44, 46, 35, 36, 37	ply1annidl 33746	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∈ (LIdeal‘𝑃))
48		fveq2 6905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝐺 → (𝑂‘𝑞) = (𝑂‘𝐺))
49	48	fveq1d 6907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝐺 → ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = ((𝑂‘𝐺)‘𝐴))
50	49	eqeq1d 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝐺 → (((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸) ↔ ((𝑂‘𝐺)‘𝐴) = (0g‘𝐸)))
51	33, 10, 12, 44, 46	evls1dm 33588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = (Base‘𝑃))
52	7, 51	eleqtrrd 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom 𝑂)
53		minplyirredlem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐺)‘𝐴) = (0g‘𝐸))
54	50, 52, 53	elrabd 3693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})
55	10, 39, 12, 4, 47, 9, 11, 54, 8	ig1pmindeg 33623	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})) ≤ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺))
56	43, 55	eqbrtrd 5164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘(𝐺(.r‘𝑃)𝐻)) ≤ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺))
57	31, 56	eqbrtrrd 5166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) + ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻)) ≤ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺))
58		leaddle0 11779	. . . . 5 ⊢ ((((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) ∈ ℝ ∧ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ∈ ℝ) → ((((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) + ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻)) ≤ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) ↔ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ≤ 0))
59	58	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) ∈ ℝ ∧ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ∈ ℝ) ∧ (((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) + ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻)) ≤ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺)) → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ≤ 0)
60	15, 19, 57, 59	syl21anc 837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ≤ 0)
61		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
62	9, 10, 12, 61	deg1le0 26151	. . . 4 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝑃)) → (((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ≤ 0 ↔ 𝐻 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐻)‘0))))
63	62	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ≤ 0) → 𝐻 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐻)‘0)))
64	5, 6, 60, 63	syl21anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐻)‘0)))
65		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹))
66		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹))
67		0nn0 12543	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
68		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝐻) = (coe1‘𝐻)
69	68, 12, 10, 65	coe1fvalcl 22215	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐻)‘0) ∈ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
70	6, 67, 69	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐻)‘0) ∈ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
71	9, 10, 66, 12, 11, 5, 6, 60	deg1le0eq0 33599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 = 𝑍 ↔ ((coe1‘𝐻)‘0) = (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
72	71	necon3bid 2984	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ≠ 𝑍 ↔ ((coe1‘𝐻)‘0) ≠ (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
73	16, 72	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐻)‘0) ≠ (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
74	10, 61, 65, 66, 24, 70, 73	ply1asclunit 33600	. 2 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐻)‘0)) ∈ (Unit‘𝑃))
75	64, 74	eqeltrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Unit‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  {crab 3435   class class class wbr 5142  dom cdm 5684  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℝcr 11155  0cc0 11156   + caddc 11159   ≤ cle 11297  ℕ₀cn0 12528  Basecbs 17248   ↾_s cress 17275  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17485  Ringcrg 20231  Unitcui 20356  SubRingcsubrg 20570  RLRegcrlreg 20692  Domncdomn 20693  IDomncidom 20694  DivRingcdr 20730  Fieldcfield 20731  SubDRingcsdrg 20788  RSpancrsp 21218  algSccascl 21873  Poly₁cpl1 22179  coe₁cco1 22180   evalSub₁ ces1 22318  deg₁cdg1 26094  idlGen_1pcig1p 26170   minPoly cminply 33743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-srg 20185  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-rhm 20473  df-nzr 20514  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-rlreg 20695  df-domn 20696  df-idom 20697  df-drng 20732  df-field 20733  df-sdrg 20789  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-lidl 21219  df-cnfld 21366  df-assa 21874  df-asp 21875  df-ascl 21876  df-psr 21930  df-mvr 21931  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-evls 22099  df-evl 22100  df-psr1 22182  df-vr1 22183  df-ply1 22184  df-coe1 22185  df-evls1 22320  df-evl1 22321  df-mdeg 26095  df-deg1 26096  df-mon1 26171  df-uc1p 26172  df-ig1p 26175  df-minply 33744

This theorem is referenced by:  minplyirred  33755