Theorem minplyirredlem 33873

Description: Lemma for minplyirred 33874. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annig1p.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
ply1annig1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
ply1annig1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
ply1annig1p.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
ply1annig1p.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
ply1annig1p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
minplyirred.1	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
minplyirred.2	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
minplyirred.3	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ 𝑍)
minplyirredlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝑃))
minplyirredlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝑃))
minplyirredlem.3	⊢ (𝜑 → (𝐺(.r‘𝑃)𝐻) = (𝑀‘𝐴))
minplyirredlem.4	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐺)‘𝐴) = (0g‘𝐸))
minplyirredlem.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 𝑍)
minplyirredlem.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ≠ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
minplyirredlem	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Unit‘𝑃))

Proof of Theorem minplyirredlem

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annig1p.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
3	2	sdrgdrng 20761	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
5	4	drngringd 20708	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring)
6		minplyirredlem.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝑃))
7		minplyirredlem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝑃))
8		minplyirredlem.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 𝑍)
9		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
10		ply1annig1p.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
11		minplyirred.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
12		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	9, 10, 11, 12	deg1nn0cl 26066	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐺 ≠ 𝑍) → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) ∈ ℕ0)
14	5, 7, 8, 13	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) ∈ ℕ0)
15	14	nn0red 12493	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) ∈ ℝ)
16		minplyirredlem.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ≠ 𝑍)
17	9, 10, 11, 12	deg1nn0cl 26066	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐻 ≠ 𝑍) → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ∈ ℕ0)
18	5, 6, 16, 17	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ∈ ℕ0)
19	18	nn0red 12493	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ∈ ℝ)
20		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (RLReg‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (RLReg‘(𝐸 ↾s 𝐹))
21		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
22		ply1annig1p.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
23		fldsdrgfld 20769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸)) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
24	22, 1, 23	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
25		fldidom 20742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ IDomn)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ IDomn)
27	26	idomdomd 20697	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Domn)
28		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
29	9, 10, 11, 12, 20, 28	deg1ldgdomn 26072	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Domn ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐺 ≠ 𝑍) → ((coe1‘𝐺)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺)) ∈ (RLReg‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
30	27, 7, 8, 29	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺)) ∈ (RLReg‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
31	9, 10, 20, 12, 21, 11, 5, 7, 8, 30, 6, 16	deg1mul2 26092	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘(𝐺(.r‘𝑃)𝐻)) = (((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) + ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻)))
32		minplyirredlem.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺(.r‘𝑃)𝐻) = (𝑀‘𝐴))
33		ply1annig1p.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
34		ply1annig1p.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
35		ply1annig1p.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
36		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
37		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}
38		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
39		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
40		minplyirred.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
41	33, 10, 34, 22, 1, 35, 36, 37, 38, 39, 40	minplyval 33868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}))
42	32, 41	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺(.r‘𝑃)𝐻) = ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}))
43	42	fveq2d 6839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘(𝐺(.r‘𝑃)𝐻)) = ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})))
44	22	fldcrngd 20713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
45		sdrgsubrg 20762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
46	1, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
47	33, 10, 34, 44, 46, 35, 36, 37	ply1annidl 33865	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∈ (LIdeal‘𝑃))
48		fveq2 6835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝐺 → (𝑂‘𝑞) = (𝑂‘𝐺))
49	48	fveq1d 6837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝐺 → ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = ((𝑂‘𝐺)‘𝐴))
50	49	eqeq1d 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝐺 → (((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸) ↔ ((𝑂‘𝐺)‘𝐴) = (0g‘𝐸)))
51	33, 10, 12, 44, 46	evls1dm 33639	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = (Base‘𝑃))
52	7, 51	eleqtrrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom 𝑂)
53		minplyirredlem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐺)‘𝐴) = (0g‘𝐸))
54	50, 52, 53	elrabd 3637	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})
55	10, 39, 12, 4, 47, 9, 11, 54, 8	ig1pmindeg 33680	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})) ≤ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺))
56	43, 55	eqbrtrd 5108	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘(𝐺(.r‘𝑃)𝐻)) ≤ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺))
57	31, 56	eqbrtrrd 5110	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) + ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻)) ≤ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺))
58		leaddle0 11659	. . . . 5 ⊢ ((((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) ∈ ℝ ∧ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ∈ ℝ) → ((((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) + ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻)) ≤ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) ↔ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ≤ 0))
59	58	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) ∈ ℝ ∧ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ∈ ℝ) ∧ (((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) + ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻)) ≤ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺)) → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ≤ 0)
60	15, 19, 57, 59	syl21anc 838	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ≤ 0)
61		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
62	9, 10, 12, 61	deg1le0 26089	. . . 4 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝑃)) → (((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ≤ 0 ↔ 𝐻 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐻)‘0))))
63	62	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ≤ 0) → 𝐻 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐻)‘0)))
64	5, 6, 60, 63	syl21anc 838	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐻)‘0)))
65		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹))
66		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹))
67		0nn0 12446	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
68		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝐻) = (coe1‘𝐻)
69	68, 12, 10, 65	coe1fvalcl 22189	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐻)‘0) ∈ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
70	6, 67, 69	sylancl 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐻)‘0) ∈ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
71	9, 10, 66, 12, 11, 5, 6, 60	deg1le0eq0 33651	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 = 𝑍 ↔ ((coe1‘𝐻)‘0) = (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
72	71	necon3bid 2977	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ≠ 𝑍 ↔ ((coe1‘𝐻)‘0) ≠ (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
73	16, 72	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐻)‘0) ≠ (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
74	10, 61, 65, 66, 24, 70, 73	ply1asclunit 33652	. 2 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐻)‘0)) ∈ (Unit‘𝑃))
75	64, 74	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Unit‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3390   class class class wbr 5086  dom cdm 5625  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  0cc0 11032   + caddc 11035   ≤ cle 11174  ℕ₀cn0 12431  Basecbs 17173   ↾_s cress 17194  ._rcmulr 17215  0_gc0g 17396  Ringcrg 20208  Unitcui 20329  SubRingcsubrg 20540  RLRegcrlreg 20662  Domncdomn 20663  IDomncidom 20664  DivRingcdr 20700  Fieldcfield 20701  SubDRingcsdrg 20757  RSpancrsp 21200  algSccascl 21845  Poly₁cpl1 22153  coe₁cco1 22154   evalSub₁ ces1 22291  deg₁cdg1 26032  idlGen_1pcig1p 26108   minPoly cminply 33862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-ofr 7626  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-prds 17404  df-pws 17406  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-ghm 19182  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-srg 20162  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-rhm 20446  df-nzr 20484  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-rlreg 20665  df-domn 20666  df-idom 20667  df-drng 20702  df-field 20703  df-sdrg 20758  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-lsp 20961  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-lidl 21201  df-cnfld 21348  df-assa 21846  df-asp 21847  df-ascl 21848  df-psr 21902  df-mvr 21903  df-mpl 21904  df-opsr 21906  df-evls 22065  df-evl 22066  df-psr1 22156  df-vr1 22157  df-ply1 22158  df-coe1 22159  df-evls1 22293  df-evl1 22294  df-mdeg 26033  df-deg1 26034  df-mon1 26109  df-uc1p 26110  df-ig1p 26113  df-minply 33863

This theorem is referenced by:  minplyirred  33874