Theorem minplyirredlem 34008

Description: Lemma for minplyirred 34009. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annig1p.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
ply1annig1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
ply1annig1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
ply1annig1p.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
ply1annig1p.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
ply1annig1p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
minplyirred.1	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
minplyirred.2	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
minplyirred.3	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ 𝑍)
minplyirredlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝑃))
minplyirredlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝑃))
minplyirredlem.3	⊢ (𝜑 → (𝐺(.r‘𝑃)𝐻) = (𝑀‘𝐴))
minplyirredlem.4	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐺)‘𝐴) = (0g‘𝐸))
minplyirredlem.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 𝑍)
minplyirredlem.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ≠ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
minplyirredlem	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Unit‘𝑃))

Proof of Theorem minplyirredlem

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annig1p.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
2		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
3	2	sdrgdrng 20840	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
5	4	drngringd 20788	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring)
6		minplyirredlem.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝑃))
7		minplyirredlem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝑃))
8		minplyirredlem.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 𝑍)
9		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
10		ply1annig1p.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
11		minplyirred.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
12		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	9, 10, 11, 12	deg1nn0cl 26149	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐺 ≠ 𝑍) → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) ∈ ℕ0)
14	5, 7, 8, 13	syl3anc 1391	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) ∈ ℕ0)
15	14	nn0red 12544	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) ∈ ℝ)
16		minplyirredlem.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ≠ 𝑍)
17	9, 10, 11, 12	deg1nn0cl 26149	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐻 ≠ 𝑍) → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ∈ ℕ0)
18	5, 6, 16, 17	syl3anc 1391	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ∈ ℕ0)
19	18	nn0red 12544	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ∈ ℝ)
20		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (RLReg‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (RLReg‘(𝐸 ↾s 𝐹))
21		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
22		ply1annig1p.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
23		fldsdrgfld 20848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸)) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
24	22, 1, 23	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
25		fldidom 20822	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ IDomn)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ IDomn)
27	26	idomdomd 20777	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Domn)
28		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
29	9, 10, 11, 12, 20, 28	deg1ldgdomn 26155	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Domn ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐺 ≠ 𝑍) → ((coe1‘𝐺)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺)) ∈ (RLReg‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
30	27, 7, 8, 29	syl3anc 1391	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺)) ∈ (RLReg‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
31	9, 10, 20, 12, 21, 11, 5, 7, 8, 30, 6, 16	deg1mul2 26175	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘(𝐺(.r‘𝑃)𝐻)) = (((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) + ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻)))
32		minplyirredlem.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺(.r‘𝑃)𝐻) = (𝑀‘𝐴))
33		ply1annig1p.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
34		ply1annig1p.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
35		ply1annig1p.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
36		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
37		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}
38		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
39		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
40		minplyirred.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
41	33, 10, 34, 22, 1, 35, 36, 37, 38, 39, 40	minplyval 34003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}))
42	32, 41	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺(.r‘𝑃)𝐻) = ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}))
43	42	fveq2d 6872	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘(𝐺(.r‘𝑃)𝐻)) = ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})))
44	22	fldcrngd 20793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
45		sdrgsubrg 20841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
46	1, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
47	33, 10, 34, 44, 46, 35, 36, 37	ply1annidl 34000	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∈ (LIdeal‘𝑃))
48		fveq2 6868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝐺 → (𝑂‘𝑞) = (𝑂‘𝐺))
49	48	fveq1d 6870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝐺 → ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = ((𝑂‘𝐺)‘𝐴))
50	49	eqeq1d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝐺 → (((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸) ↔ ((𝑂‘𝐺)‘𝐴) = (0g‘𝐸)))
51	33, 10, 12, 44, 46	evls1dm 33758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = (Base‘𝑃))
52	7, 51	eleqtrrd 2866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom 𝑂)
53		minplyirredlem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐺)‘𝐴) = (0g‘𝐸))
54	50, 52, 53	elrabd 3653	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})
55	10, 39, 12, 4, 47, 9, 11, 54, 8	ig1pmindeg 33799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})) ≤ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺))
56	43, 55	eqbrtrd 5123	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘(𝐺(.r‘𝑃)𝐻)) ≤ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺))
57	31, 56	eqbrtrrd 5125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) + ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻)) ≤ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺))
58		leaddle0 11703	. . . . 5 ⊢ ((((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) ∈ ℝ ∧ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ∈ ℝ) → ((((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) + ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻)) ≤ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) ↔ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ≤ 0))
59	58	biimpa 480	. . . 4 ⊢ (((((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) ∈ ℝ ∧ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ∈ ℝ) ∧ (((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) + ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻)) ≤ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺)) → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ≤ 0)
60	15, 19, 57, 59	syl21anc 848	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ≤ 0)
61		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
62	9, 10, 12, 61	deg1le0 26172	. . . 4 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝑃)) → (((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ≤ 0 ↔ 𝐻 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐻)‘0))))
63	62	biimpa 480	. . 3 ⊢ ((((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ≤ 0) → 𝐻 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐻)‘0)))
64	5, 6, 60, 63	syl21anc 848	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐻)‘0)))
65		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹))
66		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹))
67		0nn0 12497	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
68		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝐻) = (coe1‘𝐻)
69	68, 12, 10, 65	coe1fvalcl 22275	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐻)‘0) ∈ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
70	6, 67, 69	sylancl 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐻)‘0) ∈ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
71	9, 10, 66, 12, 11, 5, 6, 60	deg1le0eq0 33770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 = 𝑍 ↔ ((coe1‘𝐻)‘0) = (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
72	71	necon3bid 3002	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ≠ 𝑍 ↔ ((coe1‘𝐻)‘0) ≠ (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
73	16, 72	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐻)‘0) ≠ (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
74	10, 61, 65, 66, 24, 70, 73	ply1asclunit 33771	. 2 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐻)‘0)) ∈ (Unit‘𝑃))
75	64, 74	eqeltrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Unit‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  {crab 3415   class class class wbr 5101  dom cdm 5648  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  ℝcr 11073  0cc0 11074   + caddc 11077   ≤ cle 11218  ℕ₀cn0 12482  Basecbs 17246   ↾_s cress 17267  ._rcmulr 17288  0_gc0g 17469  Ringcrg 20284  Unitcui 20405  SubRingcsubrg 20620  RLRegcrlreg 20742  Domncdomn 20743  IDomncidom 20744  DivRingcdr 20780  Fieldcfield 20781  SubDRingcsdrg 20836  RSpancrsp 21278  algSccascl 21905  Poly₁cpl1 22240  coe₁cco1 22241   evalSub₁ ces1 22377  deg₁cdg1 26115  idlGen_1pcig1p 26191   minPoly cminply 33997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152  ax-addf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-isom 6531  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-of 7661  df-ofr 7662  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8142  df-tpos 8207  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-er 8679  df-map 8811  df-pm 8812  df-ixp 8881  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-fsupp 9309  df-sup 9389  df-inf 9390  df-oi 9459  df-card 9898  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-z 12570  df-dec 12690  df-uz 12841  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-seq 14016  df-hash 14345  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ress 17268  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-starv 17302  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-unif 17310  df-hom 17311  df-cco 17312  df-0g 17471  df-gsum 17472  df-prds 17477  df-pws 17479  df-mre 17615  df-mrc 17616  df-acs 17618  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18979  df-minusg 18980  df-sbg 18981  df-mulg 19111  df-subg 19166  df-ghm 19255  df-cntz 19358  df-cmn 19823  df-abl 19824  df-mgp 20188  df-rng 20200  df-ur 20233  df-srg 20238  df-ring 20286  df-cring 20287  df-oppr 20387  df-dvdsr 20407  df-unit 20408  df-invr 20438  df-rhm 20522  df-nzr 20564  df-subrng 20597  df-subrg 20621  df-rlreg 20745  df-domn 20746  df-idom 20747  df-drng 20782  df-field 20783  df-sdrg 20837  df-lmod 20930  df-lss 21000  df-lsp 21040  df-sra 21241  df-rgmod 21242  df-lidl 21279  df-cnfld 21426  df-assa 21906  df-asp 21907  df-ascl 21908  df-psr 21962  df-mvr 21963  df-mpl 21964  df-opsr 21966  df-evls 22128  df-evl 22129  df-psr1 22243  df-vr1 22244  df-ply1 22245  df-coe1 22246  df-evls1 22379  df-evl1 22380  df-mdeg 26116  df-deg1 26117  df-mon1 26192  df-uc1p 26193  df-ig1p 26196  df-minply 33998

This theorem is referenced by:  minplyirred  34009