Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  minplyirredlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem minplyirredlem 33433
Description: Lemma for minplyirred 33434. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1annig1p.o 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
ply1annig1p.p 𝑃 = (Poly1β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))
ply1annig1p.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΈ)
ply1annig1p.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ Field)
ply1annig1p.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SubDRingβ€˜πΈ))
ply1annig1p.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
minplyirred.1 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
minplyirred.2 𝑍 = (0gβ€˜π‘ƒ)
minplyirred.3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) β‰  𝑍)
minplyirredlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
minplyirredlem.2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
minplyirredlem.3 (πœ‘ β†’ (𝐺(.rβ€˜π‘ƒ)𝐻) = (π‘€β€˜π΄))
minplyirredlem.4 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ))
minplyirredlem.5 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  𝑍)
minplyirredlem.6 (πœ‘ β†’ 𝐻 β‰  𝑍)
Assertion
Ref Expression
minplyirredlem (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ))
Proof of Theorem minplyirredlem
Dummy variable π‘ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1annig1p.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SubDRingβ€˜πΈ))
2 eqid 2725 . . . . . 6 (𝐸 β†Ύs 𝐹) = (𝐸 β†Ύs 𝐹)
32sdrgdrng 20677 . . . . 5 (𝐹 ∈ (SubDRingβ€˜πΈ) β†’ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ DivRing)
41, 3syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ DivRing)
54drngringd 20631 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ Ring)
6 minplyirredlem.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
7 minplyirredlem.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
8 minplyirredlem.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  𝑍)
9 eqid 2725 . . . . . . 7 ( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹)) = ( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))
10 ply1annig1p.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))
11 minplyirred.2 . . . . . . 7 𝑍 = (0gβ€˜π‘ƒ)
12 eqid 2725 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
139, 10, 11, 12deg1nn0cl 26037 . . . . . 6 (((𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝐺 β‰  𝑍) β†’ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ) ∈ β„•0)
145, 7, 8, 13syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ) ∈ β„•0)
1514nn0red 12558 . . . 4 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ) ∈ ℝ)
16 minplyirredlem.6 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻 β‰  𝑍)
179, 10, 11, 12deg1nn0cl 26037 . . . . . 6 (((𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝐻 β‰  𝑍) β†’ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π») ∈ β„•0)
185, 6, 16, 17syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π») ∈ β„•0)
1918nn0red 12558 . . . 4 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π») ∈ ℝ)
20 eqid 2725 . . . . . 6 (RLRegβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹)) = (RLRegβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))
21 eqid 2725 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
22 ply1annig1p.e . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ Field)
23 fldsdrgfld 20685 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ (SubDRingβ€˜πΈ)) β†’ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ Field)
2422, 1, 23syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ Field)
25 fldidom 21257 . . . . . . . . 9 ((𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ Field β†’ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ IDomn)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ IDomn)
2726idomdomd 21254 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ Domn)
28 eqid 2725 . . . . . . . 8 (coe1β€˜πΊ) = (coe1β€˜πΊ)
299, 10, 11, 12, 20, 28deg1ldgdomn 26043 . . . . . . 7 (((𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ Domn ∧ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝐺 β‰  𝑍) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ)) ∈ (RLRegβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹)))
3027, 7, 8, 29syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ)) ∈ (RLRegβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹)))
319, 10, 20, 12, 21, 11, 5, 7, 8, 30, 6, 16deg1mul2 26063 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜(𝐺(.rβ€˜π‘ƒ)𝐻)) = ((( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ) + (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π»)))
32 minplyirredlem.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺(.rβ€˜π‘ƒ)𝐻) = (π‘€β€˜π΄))
33 ply1annig1p.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
34 ply1annig1p.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΈ)
35 ply1annig1p.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
36 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜πΈ) = (0gβ€˜πΈ)
37 eqid 2725 . . . . . . . . 9 {π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)} = {π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)}
38 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (RSpanβ€˜π‘ƒ) = (RSpanβ€˜π‘ƒ)
39 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (idlGen1pβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹)) = (idlGen1pβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))
40 minplyirred.1 . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
4133, 10, 34, 22, 1, 35, 36, 37, 38, 39, 40minplyval 33429 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) = ((idlGen1pβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜{π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)}))
4232, 41eqtrd 2765 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺(.rβ€˜π‘ƒ)𝐻) = ((idlGen1pβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜{π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)}))
4342fveq2d 6894 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜(𝐺(.rβ€˜π‘ƒ)𝐻)) = (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜((idlGen1pβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜{π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)})))
4422fldcrngd 20636 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ CRing)
45 sdrgsubrg 20678 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (SubDRingβ€˜πΈ) β†’ 𝐹 ∈ (SubRingβ€˜πΈ))
461, 45syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SubRingβ€˜πΈ))
4733, 10, 34, 44, 46, 35, 36, 37ply1annidl 33426 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)} ∈ (LIdealβ€˜π‘ƒ))
48 fveq2 6890 . . . . . . . . . 10 (π‘ž = 𝐺 β†’ (π‘‚β€˜π‘ž) = (π‘‚β€˜πΊ))
4948fveq1d 6892 . . . . . . . . 9 (π‘ž = 𝐺 β†’ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = ((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π΄))
5049eqeq1d 2727 . . . . . . . 8 (π‘ž = 𝐺 β†’ (((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ) ↔ ((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)))
5133, 10, 12, 44, 46evls1dm 33302 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom 𝑂 = (Baseβ€˜π‘ƒ))
527, 51eleqtrrd 2828 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom 𝑂)
53 minplyirredlem.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜πΊ)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ))
5450, 52, 53elrabd 3678 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ {π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)})
5510, 39, 12, 4, 47, 9, 11, 54, 8ig1pmindeg 33325 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜((idlGen1pβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜{π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)})) ≀ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ))
5643, 55eqbrtrd 5166 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜(𝐺(.rβ€˜π‘ƒ)𝐻)) ≀ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ))
5731, 56eqbrtrrd 5168 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ) + (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π»)) ≀ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ))
58 leaddle0 11754 . . . . 5 (((( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ) ∈ ℝ ∧ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π») ∈ ℝ) β†’ (((( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ) + (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π»)) ≀ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ) ↔ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π») ≀ 0))
5958biimpa 475 . . . 4 ((((( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ) ∈ ℝ ∧ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π») ∈ ℝ) ∧ ((( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ) + (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π»)) ≀ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜πΊ)) β†’ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π») ≀ 0)
6015, 19, 57, 59syl21anc 836 . . 3 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π») ≀ 0)
61 eqid 2725 . . . . 5 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
629, 10, 12, 61deg1le0 26060 . . . 4 (((𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π») ≀ 0 ↔ 𝐻 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜π»)β€˜0))))
6362biimpa 475 . . 3 ((((𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (( deg1 β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜π») ≀ 0) β†’ 𝐻 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜π»)β€˜0)))
645, 6, 60, 63syl21anc 836 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜π»)β€˜0)))
65 eqid 2725 . . 3 (Baseβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹)) = (Baseβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))
66 eqid 2725 . . 3 (0gβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹)) = (0gβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))
67 0nn0 12512 . . . 4 0 ∈ β„•0
68 eqid 2725 . . . . 5 (coe1β€˜π») = (coe1β€˜π»)
6968, 12, 10, 65coe1fvalcl 22135 . . . 4 ((𝐻 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜π»)β€˜0) ∈ (Baseβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹)))
706, 67, 69sylancl 584 . . 3 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜π»)β€˜0) ∈ (Baseβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹)))
719, 10, 66, 12, 11, 5, 6, 60deg1le0eq0 33311 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐻 = 𝑍 ↔ ((coe1β€˜π»)β€˜0) = (0gβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))))
7271necon3bid 2975 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐻 β‰  𝑍 ↔ ((coe1β€˜π»)β€˜0) β‰  (0gβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))))
7316, 72mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜π»)β€˜0) β‰  (0gβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹)))
7410, 61, 65, 66, 24, 70, 73ply1asclunit 33312 . 2 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜((coe1β€˜π»)β€˜0)) ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ))
7564, 74eqeltrd 2825 1 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  {crab 3419   class class class wbr 5144  dom cdm 5673  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  β„cr 11132  0cc0 11133   + caddc 11136   ≀ cle 11274  β„•0cn0 12497  Basecbs 17174   β†Ύs cress 17203  .rcmulr 17228  0gc0g 17415  Ringcrg 20172  Unitcui 20293  SubRingcsubrg 20505  DivRingcdr 20623  Fieldcfield 20624  SubDRingcsdrg 20673  RSpancrsp 21102  RLRegcrlreg 21225  Domncdomn 21226  IDomncidom 21227  algSccascl 21785  Poly1cpl1 22099  coe1cco1 22100   evalSub1 ces1 22236   deg1 cdg1 26000  idlGen1pcig1p 26078   minPoly cminply 33423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-srg 20126  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-rhm 20410  df-nzr 20451  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-drng 20625  df-field 20626  df-sdrg 20674  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-lidl 21103  df-rlreg 21229  df-domn 21230  df-idom 21231  df-cnfld 21279  df-assa 21786  df-asp 21787  df-ascl 21788  df-psr 21841  df-mvr 21842  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-evls 22020  df-evl 22021  df-psr1 22102  df-vr1 22103  df-ply1 22104  df-coe1 22105  df-evls1 22238  df-evl1 22239  df-mdeg 26001  df-deg1 26002  df-mon1 26079  df-uc1p 26080  df-ig1p 26083  df-minply 33424
This theorem is referenced by:  minplyirred  33434
  Copyright terms: Public domain W3C validator