Theorem minplyirredlem 34169

Description: Lemma for minplyirred 34170. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annig1p.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
ply1annig1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
ply1annig1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
ply1annig1p.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
ply1annig1p.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
ply1annig1p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
minplyirred.1	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
minplyirred.2	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
minplyirred.3	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ 𝑍)
minplyirredlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝑃))
minplyirredlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝑃))
minplyirredlem.3	⊢ (𝜑 → (𝐺(.r‘𝑃)𝐻) = (𝑀‘𝐴))
minplyirredlem.4	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐺)‘𝐴) = (0g‘𝐸))
minplyirredlem.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 𝑍)
minplyirredlem.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ≠ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
minplyirredlem	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Unit‘𝑃))

Proof of Theorem minplyirredlem

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annig1p.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
2		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
3	2	sdrgdrng 20948	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
4	1, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
5	4	drngringd 20890	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring)
6		minplyirredlem.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝑃))
7		minplyirredlem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝑃))
8		minplyirredlem.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 𝑍)
9		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
10		ply1annig1p.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
11		minplyirred.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
12		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	9, 10, 11, 12	deg1nn0cl 26301	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐺 ≠ 𝑍) → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) ∈ ℕ0)
14	5, 7, 8, 13	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) ∈ ℕ0)
15	14	nn0red 12586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) ∈ ℝ)
16		minplyirredlem.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ≠ 𝑍)
17	9, 10, 11, 12	deg1nn0cl 26301	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐻 ≠ 𝑍) → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ∈ ℕ0)
18	5, 6, 16, 17	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ∈ ℕ0)
19	18	nn0red 12586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ∈ ℝ)
20		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (RLReg‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (RLReg‘(𝐸 ↾s 𝐹))
21		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
22		ply1annig1p.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
23		fldsdrgfld 20956	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸)) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
24	22, 1, 23	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
25		fldidom 20930	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ IDomn)
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ IDomn)
27	26	idomdomd 20879	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Domn)
28		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
29	9, 10, 11, 12, 20, 28	deg1ldgdomn 26307	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Domn ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐺 ≠ 𝑍) → ((coe1‘𝐺)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺)) ∈ (RLReg‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
30	27, 7, 8, 29	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺)) ∈ (RLReg‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
31	9, 10, 20, 12, 21, 11, 5, 7, 8, 30, 6, 16	deg1mul2 26327	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘(𝐺(.r‘𝑃)𝐻)) = (((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) + ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻)))
32		minplyirredlem.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺(.r‘𝑃)𝐻) = (𝑀‘𝐴))
33		ply1annig1p.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
34		ply1annig1p.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
35		ply1annig1p.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
36		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
37		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}
38		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
39		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
40		minplyirred.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
41	33, 10, 34, 22, 1, 35, 36, 37, 38, 39, 40	minplyval 34164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}))
42	32, 41	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺(.r‘𝑃)𝐻) = ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}))
43	42	fveq2d 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘(𝐺(.r‘𝑃)𝐻)) = ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})))
44	22	fldcrngd 20897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
45		sdrgsubrg 20949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
46	1, 45	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
47	33, 10, 34, 44, 46, 35, 36, 37	ply1annidl 34161	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∈ (LIdeal‘𝑃))
48		fveq2 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝐺 → (𝑂‘𝑞) = (𝑂‘𝐺))
49	48	fveq1d 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝐺 → ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = ((𝑂‘𝐺)‘𝐴))
50	49	eqeq1d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝐺 → (((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸) ↔ ((𝑂‘𝐺)‘𝐴) = (0g‘𝐸)))
51	33, 10, 12, 44, 46	evls1dm 33920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = (Base‘𝑃))
52	7, 51	eleqtrrd 2868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom 𝑂)
53		minplyirredlem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐺)‘𝐴) = (0g‘𝐸))
54	50, 52, 53	elrabd 3654	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})
55	10, 39, 12, 4, 47, 9, 11, 54, 8	ig1pmindeg 33961	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})) ≤ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺))
56	43, 55	eqbrtrd 5135	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘(𝐺(.r‘𝑃)𝐻)) ≤ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺))
57	31, 56	eqbrtrrd 5137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) + ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻)) ≤ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺))
58		leaddle0 11749	. . . . 5 ⊢ ((((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) ∈ ℝ ∧ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ∈ ℝ) → ((((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) + ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻)) ≤ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) ↔ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ≤ 0))
59	58	biimpa 482	. . . 4 ⊢ (((((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) ∈ ℝ ∧ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ∈ ℝ) ∧ (((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺) + ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻)) ≤ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐺)) → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ≤ 0)
60	15, 19, 57, 59	syl21anc 851	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ≤ 0)
61		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
62	9, 10, 12, 61	deg1le0 26324	. . . 4 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝑃)) → (((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ≤ 0 ↔ 𝐻 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐻)‘0))))
63	62	biimpa 482	. . 3 ⊢ ((((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝐻) ≤ 0) → 𝐻 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐻)‘0)))
64	5, 6, 60, 63	syl21anc 851	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐻)‘0)))
65		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹))
66		eqid 2765	. . 3 ⊢ (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹))
67		0nn0 12539	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
68		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝐻) = (coe1‘𝐻)
69	68, 12, 10, 65	coe1fvalcl 22427	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐻)‘0) ∈ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
70	6, 67, 69	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐻)‘0) ∈ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
71	9, 10, 66, 12, 11, 5, 6, 60	deg1le0eq0 33932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 = 𝑍 ↔ ((coe1‘𝐻)‘0) = (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
72	71	necon3bid 3004	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ≠ 𝑍 ↔ ((coe1‘𝐻)‘0) ≠ (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
73	16, 72	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐻)‘0) ≠ (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
74	10, 61, 65, 66, 24, 70, 73	ply1asclunit 33933	. 2 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘((coe1‘𝐻)‘0)) ∈ (Unit‘𝑃))
75	64, 74	eqeltrd 2865	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Unit‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  {crab 3418   class class class wbr 5111  dom cdm 5663  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  ℝcr 11119  0cc0 11120   + caddc 11123   ≤ cle 11264  ℕ₀cn0 12524  Basecbs 17296   ↾_s cress 17317  ._rcmulr 17338  0_gc0g 17519  Ringcrg 20364  Unitcui 20488  SubRingcsubrg 20723  RLRegcrlreg 20845  Domncdomn 20846  IDomncidom 20847  DivRingcdr 20882  Fieldcfield 20883  SubDRingcsdrg 20944  RSpancrsp 21386  algSccascl 22057  Poly₁cpl1 22392  coe₁cco1 22393   evalSub₁ ces1 22528  deg₁cdg1 26267  idlGen_1pcig1p 26343   minPoly cminply 34158

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197  ax-pre-sup 11198  ax-addf 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8164  df-tpos 8229  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8903  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-fsupp 9330  df-sup 9410  df-inf 9411  df-oi 9480  df-card 9942  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-4 12325  df-5 12326  df-6 12327  df-7 12328  df-8 12329  df-9 12330  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12733  df-uz 12884  df-fz 13557  df-fzo 13705  df-seq 14061  df-hash 14390  df-struct 17234  df-sets 17251  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-ress 17318  df-plusg 17350  df-mulr 17351  df-starv 17352  df-sca 17353  df-vsca 17354  df-ip 17355  df-tset 17356  df-ple 17357  df-ds 17359  df-unif 17360  df-hom 17361  df-cco 17362  df-0g 17521  df-gsum 17522  df-prds 17527  df-pws 17529  df-mre 17665  df-mrc 17666  df-acs 17668  df-mgm 18725  df-sgrp 18814  df-mnd 18830  df-mhm 18883  df-submnd 18884  df-grp 19052  df-minusg 19053  df-sbg 19054  df-mulg 19183  df-subg 19238  df-ghm 19333  df-cntz 19436  df-cmn 19901  df-abl 19902  df-mgp 20266  df-rng 20280  df-ur 20313  df-srg 20318  df-ring 20366  df-cring 20367  df-oppr 20470  df-dvdsr 20490  df-unit 20491  df-invr 20521  df-rhm 20605  df-nzr 20665  df-subrng 20700  df-subrg 20724  df-rlreg 20848  df-domn 20849  df-idom 20850  df-drng 20884  df-field 20885  df-sdrg 20945  df-lmod 21038  df-lss 21108  df-lsp 21148  df-sra 21349  df-rgmod 21350  df-lidl 21387  df-cnfld 21578  df-assa 22058  df-asp 22059  df-ascl 22060  df-psr 22114  df-mvr 22115  df-mpl 22116  df-opsr 22118  df-evls 22280  df-evl 22281  df-psr1 22395  df-vr1 22396  df-ply1 22397  df-coe1 22398  df-evls1 22530  df-evl1 22531  df-mdeg 26268  df-deg1 26269  df-mon1 26344  df-uc1p 26345  df-ig1p 26348  df-minply 34159

This theorem is used by:  minplyirred  34170