Theorem sdrgsubrg 20863

Description: A sub-division-ring is a subring. (Contributed by SN, 19-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sdrgsubrg	⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem sdrgsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 20860	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
2	1	simp2bi 1162	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ↾_s cress 17280  SubRingcsubrg 20645  DivRingcdr 20804  SubDRingcsdrg 20858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fv 6533  df-ov 7403  df-sdrg 20859

This theorem is referenced by:  sdrgunit  20868  imadrhmcl  20869  subsdrg  33534  sdrgfldext  33957  fldsdrgfldext  33968  fldgenfldext  33975  evls1fldgencl  33977  fldextrspunlsplem  33980  fldextrspunlsp  33981  fldextrspunlem1  33982  fldextrspunfld  33983  fldextrspunlem2  33984  fldextrspundgdvdslem  33987  fldextrspundgdvds  33988  extdgfialglem1  33999  extdgfialglem2  34000  extdgfialg  34001  minplymindeg  34015  minplyann  34016  minplyirredlem  34017  minplyirred  34018  irngnminplynz  34019  minplym1p  34020  minplynzm1p  34021  minplyelirng  34022  irredminply  34023  algextdeglem4  34027  algextdeglem5  34028  algextdeglem6  34029  algextdeglem7  34030  algextdeglem8  34031  rtelextdg2lem  34033  constrelextdg2  34054