Theorem sdrgsubrg 20963

Description: A sub-division-ring is a subring. (Contributed by SN, 19-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sdrgsubrg	⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem sdrgsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 20960	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
2	1	simp2bi 1164	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ↾_s cress 17328  SubRingcsubrg 20737  DivRingcdr 20896  SubDRingcsdrg 20958

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7420  df-sdrg 20959

This theorem is used by:  sdrgunit  20968  imadrhmcl  20969  subsdrg  33747  sdrgfldext  34168  fldsdrgfldext  34179  fldgenfldext  34186  evls1fldgencl  34188  fldextrspunlsplem  34191  fldextrspunlsp  34192  fldextrspunlem1  34193  fldextrspunfld  34194  fldextrspunlem2  34195  fldextrspundgdvdslem  34198  fldextrspundgdvds  34199  extdgfialglem1  34210  extdgfialglem2  34211  extdgfialg  34212  minplymindeg  34226  minplyann  34227  minplyirredlem  34228  minplyirred  34229  irngnminplynz  34230  minplym1p  34231  minplynzm1p  34232  minplyelirng  34233  irredminply  34234  algextdeglem4  34238  algextdeglem5  34239  algextdeglem6  34240  algextdeglem7  34241  algextdeglem8  34242  rtelextdg2lem  34244  constrelextdg2  34265