Theorem sdrgsubrg 21028

Description: A sub-division-ring is a subring. (Contributed by SN, 19-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sdrgsubrg	⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem sdrgsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 21025	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
2	1	simp2bi 1164	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ↾_s cress 17388  SubRingcsubrg 20801  DivRingcdr 20960  SubDRingcsdrg 21023

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fv 6539  df-ov 7415  df-sdrg 21024

This theorem is used by:  sdrgunit  21033  imadrhmcl  21034  subsdrg  33842  sdrgfldext  34264  fldsdrgfldext  34275  fldgenfldext  34282  evls1fldgencl  34284  fldextrspunlsplem  34287  fldextrspunlsp  34288  fldextrspunlem1  34289  fldextrspunfld  34290  fldextrspunlem2  34291  fldextrspundgdvdslem  34294  fldextrspundgdvds  34295  extdgfialglem1  34306  extdgfialglem2  34307  extdgfialg  34308  minplymindeg  34322  minplyann  34323  minplyirredlem  34324  minplyirred  34325  irngnminplynz  34326  minplym1p  34327  minplynzm1p  34328  minplyelirng  34329  irredminply  34330  algextdeglem4  34334  algextdeglem5  34335  algextdeglem6  34336  algextdeglem7  34337  algextdeglem8  34338  rtelextdg2lem  34340  constrelextdg2  34361