Theorem sdrgsubrg 20759

Description: A sub-division-ring is a subring. (Contributed by SN, 19-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sdrgsubrg	⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem sdrgsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 20756	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
2	1	simp2bi 1147	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ↾_s cress 17191  SubRingcsubrg 20537  DivRingcdr 20697  SubDRingcsdrg 20754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7363  df-sdrg 20755

This theorem is referenced by:  sdrgunit  20764  imadrhmcl  20765  subsdrg  33374  sdrgfldext  33810  fldsdrgfldext  33821  fldgenfldext  33828  evls1fldgencl  33830  fldextrspunlsplem  33833  fldextrspunlsp  33834  fldextrspunlem1  33835  fldextrspunfld  33836  fldextrspunlem2  33837  fldextrspundgdvdslem  33840  fldextrspundgdvds  33841  extdgfialglem1  33852  extdgfialglem2  33853  extdgfialg  33854  minplymindeg  33868  minplyann  33869  minplyirredlem  33870  minplyirred  33871  irngnminplynz  33872  minplym1p  33873  minplynzm1p  33874  minplyelirng  33875  irredminply  33876  algextdeglem4  33880  algextdeglem5  33881  algextdeglem6  33882  algextdeglem7  33883  algextdeglem8  33884  rtelextdg2lem  33886  constrelextdg2  33907