Theorem sdrgsubrg 20736

Description: A sub-division-ring is a subring. (Contributed by SN, 19-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sdrgsubrg	⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem sdrgsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 20733	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
2	1	simp2bi 1147	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↾_s cress 17169  SubRingcsubrg 20514  DivRingcdr 20674  SubDRingcsdrg 20731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7371  df-sdrg 20732

This theorem is referenced by:  sdrgunit  20741  imadrhmcl  20742  subsdrg  33391  sdrgfldext  33827  fldsdrgfldext  33838  fldgenfldext  33845  evls1fldgencl  33847  fldextrspunlsplem  33850  fldextrspunlsp  33851  fldextrspunlem1  33852  fldextrspunfld  33853  fldextrspunlem2  33854  fldextrspundgdvdslem  33857  fldextrspundgdvds  33858  extdgfialglem1  33869  extdgfialglem2  33870  extdgfialg  33871  minplymindeg  33885  minplyann  33886  minplyirredlem  33887  minplyirred  33888  irngnminplynz  33889  minplym1p  33890  minplynzm1p  33891  minplyelirng  33892  irredminply  33893  algextdeglem4  33897  algextdeglem5  33898  algextdeglem6  33899  algextdeglem7  33900  algextdeglem8  33901  rtelextdg2lem  33903  constrelextdg2  33924