Theorem sdrgsubrg 21053

Description: A sub-division-ring is a subring. (Contributed by SN, 19-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sdrgsubrg	⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem sdrgsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 21050	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
2	1	simp2bi 1164	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↾_s cress 17413  SubRingcsubrg 20826  DivRingcdr 20985  SubDRingcsdrg 21048

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7423  df-sdrg 21049

This theorem is used by:  sdrgunit  21058  imadrhmcl  21059  subsdrg  33906  sdrgfldext  34328  fldsdrgfldext  34339  fldgenfldext  34346  evls1fldgencl  34348  fldextrspunlsplem  34351  fldextrspunlsp  34352  fldextrspunlem1  34353  fldextrspunfld  34354  fldextrspunlem2  34355  fldextrspundgdvdslem  34358  fldextrspundgdvds  34359  extdgfialglem1  34370  extdgfialglem2  34371  extdgfialg  34372  minplymindeg  34386  minplyann  34387  minplyirredlem  34388  minplyirred  34389  irngnminplynz  34390  minplym1p  34391  minplynzm1p  34392  minplyelirng  34393  irredminply  34394  algextdeglem4  34398  algextdeglem5  34399  algextdeglem6  34400  algextdeglem7  34401  algextdeglem8  34402  rtelextdg2lem  34404  constrelextdg2  34425