Theorem sdrgsubrg 20820

Description: A sub-division-ring is a subring. (Contributed by SN, 19-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sdrgsubrg	⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem sdrgsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 20817	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
2	1	simp2bi 1158	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ↾_s cress 17249  SubRingcsubrg 20598  DivRingcdr 20758  SubDRingcsdrg 20815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fv 6525  df-ov 7395  df-sdrg 20816

This theorem is referenced by:  sdrgunit  20825  imadrhmcl  20826  subsdrg  33446  sdrgfldext  33908  fldsdrgfldext  33919  fldgenfldext  33926  evls1fldgencl  33928  fldextrspunlsplem  33931  fldextrspunlsp  33932  fldextrspunlem1  33933  fldextrspunfld  33934  fldextrspunlem2  33935  fldextrspundgdvdslem  33938  fldextrspundgdvds  33939  extdgfialglem1  33950  extdgfialglem2  33951  extdgfialg  33952  minplymindeg  33966  minplyann  33967  minplyirredlem  33968  minplyirred  33969  irngnminplynz  33970  minplym1p  33971  minplynzm1p  33972  minplyelirng  33973  irredminply  33974  algextdeglem4  33978  algextdeglem5  33979  algextdeglem6  33980  algextdeglem7  33981  algextdeglem8  33982  rtelextdg2lem  33984  constrelextdg2  34005