Theorem sdrgsubrg 20814

Description: A sub-division-ring is a subring. (Contributed by SN, 19-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sdrgsubrg	⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem sdrgsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 20811	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
2	1	simp2bi 1146	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↾_s cress 17287  SubRingcsubrg 20595  DivRingcdr 20751  SubDRingcsdrg 20809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-ov 7451  df-sdrg 20810

This theorem is referenced by:  sdrgunit  20819  imadrhmcl  20820  fldgenfldext  33678  evls1fldgencl  33680  minplymindeg  33701  minplyann  33702  minplyirredlem  33703  minplyirred  33704  irngnminplynz  33705  minplym1p  33706  irredminply  33707  algextdeglem4  33711  algextdeglem5  33712  algextdeglem6  33713  algextdeglem7  33714  algextdeglem8  33715  rtelextdg2lem  33717  constrelextdg2  33737