Theorem minplym1p 33061

Description: A minimal polynomial is monic. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
irngnminplynz.z	⊢ 𝑍 = (0g‘(Poly1‘𝐸))
irngnminplynz.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
irngnminplynz.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
irngnminplynz.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
irngnminplynz.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
minplym1p.1	⊢ 𝑈 = (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
minplym1p	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem minplym1p

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝐸 evalSub1 𝐹) = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
3		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
4		irngnminplynz.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
5		irngnminplynz.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
6		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
7		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
8	4	fldcrngd 20513	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
9		sdrgsubrg 20550	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
10	5, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
11	1, 6, 3, 7, 8, 10	irngssv 33041	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
12		irngnminplynz.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
13	11, 12	sseldd 3982	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐸))
14		eqid 2730	. . 3 ⊢ {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}
15		eqid 2730	. . 3 ⊢ (RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
16		eqid 2730	. . 3 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
17		irngnminplynz.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
18	1, 2, 3, 4, 5, 13, 7, 14, 15, 16, 17	minplyval 33055	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}))
19	6	sdrgdrng 20549	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
20	5, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
21	1, 2, 3, 8, 10, 13, 7, 14	ply1annidl 33052	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∈ (LIdeal‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
22	18	sneqd 4639	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(𝑀‘𝐴)} = {((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})})
23	22	fveq2d 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{(𝑀‘𝐴)}) = ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})}))
24	1, 2, 3, 4, 5, 13, 7, 14, 15, 16	ply1annig1p 33054	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})}))
25	23, 24	eqtr4d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{(𝑀‘𝐴)}) = {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})
26	20	drngringd 20508	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring)
27	2	ply1ring 21990	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ Ring)
28	26, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ Ring)
29	1, 2, 3, 4, 5, 13, 7, 14, 15, 16, 17	minplycl 33056	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
30		irngnminplynz.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (0g‘(Poly1‘𝐸))
31	30, 4, 5, 17, 12	irngnminplynz 33060	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ 𝑍)
32		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘𝐸) = (Poly1‘𝐸)
33		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
34	32, 6, 2, 33, 10, 30	ressply10g 32930	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
35	31, 34	neeqtrd 3008	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
36		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
37	33, 36, 15	pidlnz 32762	. . . . . 6 ⊢ (((Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))) → ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{(𝑀‘𝐴)}) ≠ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))})
38	28, 29, 35, 37	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{(𝑀‘𝐴)}) ≠ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))})
39	25, 38	eqnetrrd 3007	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ≠ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))})
40		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (LIdeal‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
41		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = ( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))
42		minplym1p.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
43	2, 16, 36, 40, 41, 42	ig1pval3 25927	. . . 4 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing ∧ {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∈ (LIdeal‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ≠ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))}) → (((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}) ∈ {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∧ ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}) ∈ 𝑈 ∧ (( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})) = inf((( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹)) “ ({𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∖ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))})), ℝ, < )))
44	20, 21, 39, 43	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}) ∈ {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∧ ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}) ∈ 𝑈 ∧ (( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})) = inf((( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹)) “ ({𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∖ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))})), ℝ, < )))
45	44	simp2d 1141	. 2 ⊢ (𝜑 → ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}) ∈ 𝑈)
46	18, 45	eqeltrd 2831	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  {crab 3430   ∖ cdif 3944  {csn 4627  dom cdm 5675   “ cima 5678  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  infcinf 9438  ℝcr 11111   < clt 11252  Basecbs 17148   ↾_s cress 17177  0_gc0g 17389  Ringcrg 20127  SubRingcsubrg 20457  DivRingcdr 20500  Fieldcfield 20501  SubDRingcsdrg 20545  LIdealclidl 20928  RSpancrsp 20929  Poly₁cpl1 21920   evalSub₁ ces1 22052   deg₁ cdg1 25804  Monic_1pcmn1 25878  idlGen_1pcig1p 25882   IntgRing cirng 33036   minPoly cminply 33045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-srg 20081  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-rhm 20363  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-field 20503  df-sdrg 20546  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-lidl 20932  df-rsp 20933  df-rlreg 21099  df-cnfld 21145  df-assa 21627  df-asp 21628  df-ascl 21629  df-psr 21681  df-mvr 21682  df-mpl 21683  df-opsr 21685  df-evls 21854  df-evl 21855  df-psr1 21923  df-vr1 21924  df-ply1 21925  df-coe1 21926  df-evls1 22054  df-evl1 22055  df-mdeg 25805  df-deg1 25806  df-mon1 25883  df-uc1p 25884  df-q1p 25885  df-r1p 25886  df-ig1p 25887  df-irng 33037  df-minply 33046

This theorem is referenced by:  algextdeglem6  33067  algextdeglem7  33068  algextdeglem8  33069