Theorem minplym1p 33897

Description: A minimal polynomial is monic. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
irngnminplynz.z	⊢ 𝑍 = (0g‘(Poly1‘𝐸))
irngnminplynz.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
irngnminplynz.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
irngnminplynz.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
irngnminplynz.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
minplym1p.1	⊢ 𝑈 = (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
minplym1p	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem minplym1p

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐸 evalSub1 𝐹) = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
4		irngnminplynz.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
5		irngnminplynz.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
8	4	fldcrngd 20692	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
9		sdrgsubrg 20741	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
10	5, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
11	1, 6, 3, 7, 8, 10	irngssv 33872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
12		irngnminplynz.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
13	11, 12	sseldd 3936	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐸))
14		eqid 2737	. . 3 ⊢ {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}
15		eqid 2737	. . 3 ⊢ (RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
16		eqid 2737	. . 3 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
17		irngnminplynz.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
18	1, 2, 3, 4, 5, 13, 7, 14, 15, 16, 17	minplyval 33889	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}))
19	6	sdrgdrng 20740	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
20	5, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
21	1, 2, 3, 8, 10, 13, 7, 14	ply1annidl 33886	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∈ (LIdeal‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
22	18	sneqd 4594	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(𝑀‘𝐴)} = {((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})})
23	22	fveq2d 6848	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{(𝑀‘𝐴)}) = ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})}))
24	1, 2, 3, 4, 5, 13, 7, 14, 15, 16	ply1annig1p 33888	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})}))
25	23, 24	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{(𝑀‘𝐴)}) = {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})
26	20	drngringd 20687	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring)
27	2	ply1ring 22205	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ Ring)
28	26, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ Ring)
29	1, 2, 3, 4, 5, 13, 7, 14, 15, 16, 17	minplycl 33890	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
30		irngnminplynz.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (0g‘(Poly1‘𝐸))
31	30, 4, 5, 17, 12	irngnminplynz 33896	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ 𝑍)
32		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘𝐸) = (Poly1‘𝐸)
33		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
34	32, 6, 2, 33, 10, 30	ressply10g 33666	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
35	31, 34	neeqtrd 3002	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
36		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
37	33, 36, 15	pidlnz 33475	. . . . . 6 ⊢ (((Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))) → ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{(𝑀‘𝐴)}) ≠ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))})
38	28, 29, 35, 37	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{(𝑀‘𝐴)}) ≠ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))})
39	25, 38	eqnetrrd 3001	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ≠ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))})
40		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (LIdeal‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
41		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
42		minplym1p.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
43	2, 16, 36, 40, 41, 42	ig1pval3 26156	. . . 4 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing ∧ {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∈ (LIdeal‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ≠ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))}) → (((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}) ∈ {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∧ ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})) = inf(((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) “ ({𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∖ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))})), ℝ, < )))
44	20, 21, 39, 43	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}) ∈ {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∧ ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})) = inf(((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) “ ({𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∖ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))})), ℝ, < )))
45	44	simp2d 1144	. 2 ⊢ (𝜑 → ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}) ∈ 𝑈)
46	18, 45	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3401   ∖ cdif 3900  {csn 4582  dom cdm 5634   “ cima 5637  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  infcinf 9358  ℝcr 11039   < clt 11180  Basecbs 17150   ↾_s cress 17171  0_gc0g 17373  Ringcrg 20185  SubRingcsubrg 20519  DivRingcdr 20679  Fieldcfield 20680  SubDRingcsdrg 20736  LIdealclidl 21178  RSpancrsp 21179  Poly₁cpl1 22134   evalSub₁ ces1 22274  deg₁cdg1 26032  Monic_1pcmn1 26104  idlGen_1pcig1p 26108   IntgRing cirng 33867   minPoly cminply 33883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118  ax-addf 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-ofr 7635  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-tpos 8180  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8647  df-map 8779  df-pm 8780  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-sup 9359  df-inf 9360  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-seq 13939  df-hash 14268  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-starv 17206  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-unif 17214  df-hom 17215  df-cco 17216  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-prds 17381  df-pws 17383  df-mre 17519  df-mrc 17520  df-acs 17522  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-mhm 18722  df-submnd 18723  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-sbg 18885  df-mulg 19015  df-subg 19070  df-ghm 19159  df-cntz 19263  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-srg 20139  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20290  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-rhm 20425  df-subrng 20496  df-subrg 20520  df-rlreg 20644  df-drng 20681  df-field 20682  df-sdrg 20737  df-lmod 20830  df-lss 20900  df-lsp 20940  df-sra 21142  df-rgmod 21143  df-lidl 21180  df-rsp 21181  df-cnfld 21327  df-assa 21825  df-asp 21826  df-ascl 21827  df-psr 21882  df-mvr 21883  df-mpl 21884  df-opsr 21886  df-evls 22046  df-evl 22047  df-psr1 22137  df-vr1 22138  df-ply1 22139  df-coe1 22140  df-evls1 22276  df-evl1 22277  df-mdeg 26033  df-deg1 26034  df-mon1 26109  df-uc1p 26110  df-q1p 26111  df-r1p 26112  df-ig1p 26113  df-irng 33868  df-minply 33884

This theorem is referenced by:  irredminply  33900  algextdeglem6  33906  algextdeglem7  33907  algextdeglem8  33908