Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  minplyirred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minplyirred 33437
Description: A nonzero minimal polynomial is irreducible. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1annig1p.o 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
ply1annig1p.p 𝑃 = (Poly1β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))
ply1annig1p.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΈ)
ply1annig1p.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ Field)
ply1annig1p.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SubDRingβ€˜πΈ))
ply1annig1p.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
minplyirred.1 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
minplyirred.2 𝑍 = (0gβ€˜π‘ƒ)
minplyirred.3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) β‰  𝑍)
Assertion
Ref Expression
minplyirred (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ (Irredβ€˜π‘ƒ))

Proof of Theorem minplyirred
Dummy variables π‘ž 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1annig1p.o . . 3 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2 ply1annig1p.p . . 3 𝑃 = (Poly1β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))
3 ply1annig1p.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΈ)
4 ply1annig1p.e . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ Field)
5 ply1annig1p.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SubDRingβ€˜πΈ))
6 ply1annig1p.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
7 eqid 2725 . . 3 (0gβ€˜πΈ) = (0gβ€˜πΈ)
8 eqid 2725 . . 3 {π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)} = {π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)}
9 eqid 2725 . . 3 (RSpanβ€˜π‘ƒ) = (RSpanβ€˜π‘ƒ)
10 eqid 2725 . . 3 (idlGen1pβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹)) = (idlGen1pβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))
11 minplyirred.1 . . 3 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minplycl 33433 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minplyval 33432 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) = ((idlGen1pβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜{π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)}))
14 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
15 eqid 2725 . . . . . 6 (𝐸 β†Ύs 𝐹) = (𝐸 β†Ύs 𝐹)
1615sdrgdrng 20680 . . . . 5 (𝐹 ∈ (SubDRingβ€˜πΈ) β†’ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ DivRing)
175, 16syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ DivRing)
184fldcrngd 20639 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ CRing)
19 sdrgsubrg 20681 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (SubDRingβ€˜πΈ) β†’ 𝐹 ∈ (SubRingβ€˜πΈ))
205, 19syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SubRingβ€˜πΈ))
211, 2, 3, 18, 20, 6, 7, 8ply1annidl 33429 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)} ∈ (LIdealβ€˜π‘ƒ))
224flddrngd 20638 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ DivRing)
23 drngnzr 20646 . . . . . 6 (𝐸 ∈ DivRing β†’ 𝐸 ∈ NzRing)
2422, 23syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ NzRing)
251, 2, 3, 18, 20, 6, 7, 8, 14, 24ply1annnr 33430 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)} β‰  (Baseβ€˜π‘ƒ))
262, 10, 14, 17, 21, 25ig1pnunit 33327 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ ((idlGen1pβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜{π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)}) ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ))
2713, 26eqneltrd 2845 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘€β€˜π΄) ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ))
28 fldidom 21260 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ Field β†’ 𝐸 ∈ IDomn)
294, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ IDomn)
3029idomdomd 21257 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ Domn)
3130ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) β†’ 𝐸 ∈ Domn)
3218ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) β†’ 𝐸 ∈ CRing)
3320ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) β†’ 𝐹 ∈ (SubRingβ€˜πΈ))
346ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
35 simpllr 774 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
361, 2, 3, 14, 32, 33, 34, 35evls1fvcl 22301 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) β†’ ((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π΄) ∈ 𝐡)
37 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) β†’ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
381, 2, 3, 14, 32, 33, 34, 37evls1fvcl 22301 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) β†’ ((π‘‚β€˜π‘”)β€˜π΄) ∈ 𝐡)
39 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) β†’ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄))
4039fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) β†’ (π‘‚β€˜(𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔)) = (π‘‚β€˜(π‘€β€˜π΄)))
4140fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) β†’ ((π‘‚β€˜(𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔))β€˜π΄) = ((π‘‚β€˜(π‘€β€˜π΄))β€˜π΄))
42 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
43 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜πΈ) = (.rβ€˜πΈ)
441, 3, 2, 15, 14, 42, 43, 32, 33, 35, 37, 34evls1muld 22298 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) β†’ ((π‘‚β€˜(𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔))β€˜π΄) = (((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π΄)(.rβ€˜πΈ)((π‘‚β€˜π‘”)β€˜π΄)))
45 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (LIdealβ€˜π‘ƒ) = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
462, 10, 45ig1pcl 26129 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ DivRing ∧ {π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)} ∈ (LIdealβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((idlGen1pβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜{π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)}) ∈ {π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)})
4717, 21, 46syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((idlGen1pβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))β€˜{π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)}) ∈ {π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)})
4813, 47eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ {π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)})
49 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ž = (π‘€β€˜π΄) β†’ (π‘‚β€˜π‘ž) = (π‘‚β€˜(π‘€β€˜π΄)))
5049fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž = (π‘€β€˜π΄) β†’ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = ((π‘‚β€˜(π‘€β€˜π΄))β€˜π΄))
5150eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž = (π‘€β€˜π΄) β†’ (((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ) ↔ ((π‘‚β€˜(π‘€β€˜π΄))β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)))
5251elrab 3675 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘€β€˜π΄) ∈ {π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)} ↔ ((π‘€β€˜π΄) ∈ dom 𝑂 ∧ ((π‘‚β€˜(π‘€β€˜π΄))β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)))
5348, 52sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π΄) ∈ dom 𝑂 ∧ ((π‘‚β€˜(π‘€β€˜π΄))β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)))
5453simprd 494 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(π‘€β€˜π΄))β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ))
5554ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘€β€˜π΄))β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ))
5641, 44, 553eqtr3d 2773 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) β†’ (((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π΄)(.rβ€˜πΈ)((π‘‚β€˜π‘”)β€˜π΄)) = (0gβ€˜πΈ))
573, 43, 7domneq0 21246 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ Domn ∧ ((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π΄) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜π‘”)β€˜π΄) ∈ 𝐡) β†’ ((((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π΄)(.rβ€˜πΈ)((π‘‚β€˜π‘”)β€˜π΄)) = (0gβ€˜πΈ) ↔ (((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ) ∨ ((π‘‚β€˜π‘”)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ))))
5857biimpa 475 . . . . . . . 8 (((𝐸 ∈ Domn ∧ ((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π΄) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜π‘”)β€˜π΄) ∈ 𝐡) ∧ (((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π΄)(.rβ€˜πΈ)((π‘‚β€˜π‘”)β€˜π΄)) = (0gβ€˜πΈ)) β†’ (((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ) ∨ ((π‘‚β€˜π‘”)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)))
5931, 36, 38, 56, 58syl31anc 1370 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) β†’ (((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ) ∨ ((π‘‚β€˜π‘”)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)))
604ad4antr 730 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)) β†’ 𝐸 ∈ Field)
615ad4antr 730 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)) β†’ 𝐹 ∈ (SubDRingβ€˜πΈ))
6234adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
63 minplyirred.2 . . . . . . . . . 10 𝑍 = (0gβ€˜π‘ƒ)
64 minplyirred.3 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) β‰  𝑍)
6564ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) β†’ (π‘€β€˜π΄) β‰  𝑍)
6665adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)) β†’ (π‘€β€˜π΄) β‰  𝑍)
6735adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
68 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)) β†’ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
69 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)) β†’ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄))
70 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)) β†’ ((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ))
71 fldsdrgfld 20688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐸 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ (SubDRingβ€˜πΈ)) β†’ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ Field)
724, 5, 71syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ Field)
73 fldidom 21260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ Field β†’ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ IDomn)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ IDomn)
7574idomdomd 21257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ Domn)
762ply1domn 26075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ Domn β†’ 𝑃 ∈ Domn)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Domn)
7877ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) β†’ 𝑃 ∈ Domn)
7939, 65eqnetrd 2998 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) β†’ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) β‰  𝑍)
8014, 42, 63domneq0 21246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Domn ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = 𝑍 ↔ (𝑓 = 𝑍 ∨ 𝑔 = 𝑍)))
8180necon3abid 2967 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Domn ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) β‰  𝑍 ↔ Β¬ (𝑓 = 𝑍 ∨ 𝑔 = 𝑍)))
8281biimpa 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ Domn ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) β‰  𝑍) β†’ Β¬ (𝑓 = 𝑍 ∨ 𝑔 = 𝑍))
8378, 35, 37, 79, 82syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) β†’ Β¬ (𝑓 = 𝑍 ∨ 𝑔 = 𝑍))
84 neanior 3025 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 β‰  𝑍 ∧ 𝑔 β‰  𝑍) ↔ Β¬ (𝑓 = 𝑍 ∨ 𝑔 = 𝑍))
8583, 84sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) β†’ (𝑓 β‰  𝑍 ∧ 𝑔 β‰  𝑍))
8685simpld 493 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) β†’ 𝑓 β‰  𝑍)
8786adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)) β†’ 𝑓 β‰  𝑍)
8885simprd 494 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) β†’ 𝑔 β‰  𝑍)
8988adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)) β†’ 𝑔 β‰  𝑍)
901, 2, 3, 60, 61, 62, 11, 63, 66, 67, 68, 69, 70, 87, 89minplyirredlem 33436 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)) β†’ 𝑔 ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ))
9190ex 411 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) β†’ (((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ) β†’ 𝑔 ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ)))
924ad4antr 730 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘”)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)) β†’ 𝐸 ∈ Field)
935ad4antr 730 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘”)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)) β†’ 𝐹 ∈ (SubDRingβ€˜πΈ))
9434adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘”)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
9565adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘”)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)) β†’ (π‘€β€˜π΄) β‰  𝑍)
96 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘”)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)) β†’ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
9735adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘”)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
9872fldcrngd 20639 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ CRing)
992ply1crng 22124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ CRing)
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ CRing)
101100ad4antr 730 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘”)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)) β†’ 𝑃 ∈ CRing)
10214, 42crngcom 20193 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ CRing ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑔(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓) = (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔))
103101, 96, 97, 102syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘”)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)) β†’ (𝑔(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓) = (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔))
104 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘”)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)) β†’ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄))
105103, 104eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘”)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)) β†’ (𝑔(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓) = (π‘€β€˜π΄))
106 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘”)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)) β†’ ((π‘‚β€˜π‘”)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ))
10788adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘”)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)) β†’ 𝑔 β‰  𝑍)
10886adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘”)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)) β†’ 𝑓 β‰  𝑍)
1091, 2, 3, 92, 93, 94, 11, 63, 95, 96, 97, 105, 106, 107, 108minplyirredlem 33436 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘”)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)) β†’ 𝑓 ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ))
110109ex 411 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) β†’ (((π‘‚β€˜π‘”)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ) β†’ 𝑓 ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ)))
11191, 110orim12d 962 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) β†’ ((((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ) ∨ ((π‘‚β€˜π‘”)β€˜π΄) = (0gβ€˜πΈ)) β†’ (𝑔 ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑓 ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ))))
11259, 111mpd 15 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) β†’ (𝑔 ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑓 ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ)))
113112orcomd 869 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄)) β†’ (𝑓 ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑔 ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ)))
114113ex 411 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄) β†’ (𝑓 ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑔 ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ))))
115114anasss 465 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄) β†’ (𝑓 ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑔 ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ))))
116115ralrimivva 3191 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)βˆ€π‘” ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)((𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄) β†’ (𝑓 ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑔 ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ))))
117 eqid 2725 . . 3 (Unitβ€˜π‘ƒ) = (Unitβ€˜π‘ƒ)
118 eqid 2725 . . 3 (Irredβ€˜π‘ƒ) = (Irredβ€˜π‘ƒ)
11914, 117, 118, 42isirred2 20362 . 2 ((π‘€β€˜π΄) ∈ (Irredβ€˜π‘ƒ) ↔ ((π‘€β€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ Β¬ (π‘€β€˜π΄) ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)βˆ€π‘” ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)((𝑓(.rβ€˜π‘ƒ)𝑔) = (π‘€β€˜π΄) β†’ (𝑓 ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑔 ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ)))))
12012, 27, 116, 119syl3anbrc 1340 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ (Irredβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  {crab 3419  dom cdm 5672  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177   β†Ύs cress 17206  .rcmulr 17231  0gc0g 17418  CRingccrg 20176  Unitcui 20296  Irredcir 20297  NzRingcnzr 20453  SubRingcsubrg 20508  DivRingcdr 20626  Fieldcfield 20627  SubDRingcsdrg 20676  LIdealclidl 21104  RSpancrsp 21105  Domncdomn 21229  IDomncidom 21230  Poly1cpl1 22102   evalSub1 ces1 22239  idlGen1pcig1p 26081   minPoly cminply 33426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-hash 14320  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-prds 17426  df-pws 17428  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-ghm 19170  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-srg 20129  df-ring 20177  df-cring 20178  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-irred 20300  df-invr 20329  df-rhm 20413  df-nzr 20454  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-drng 20628  df-field 20629  df-sdrg 20677  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-lidl 21106  df-rlreg 21232  df-domn 21233  df-idom 21234  df-cnfld 21282  df-assa 21789  df-asp 21790  df-ascl 21791  df-psr 21844  df-mvr 21845  df-mpl 21846  df-opsr 21848  df-evls 22023  df-evl 22024  df-psr1 22105  df-vr1 22106  df-ply1 22107  df-coe1 22108  df-evls1 22241  df-evl1 22242  df-mdeg 26004  df-deg1 26005  df-mon1 26082  df-uc1p 26083  df-ig1p 26086  df-minply 33427
This theorem is referenced by:  irredminply  33440  algextdeglem4  33444
  Copyright terms: Public domain W3C validator