Theorem sdrgss 20997

Description: A division subring is a subset of the base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
sdrgid.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sdrgss	⊢ (𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem sdrgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 20992	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ DivRing))
2		sdrgid.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	subrgss 20771	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
4	3	3ad2ant2 1152	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ DivRing) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
5	1, 4	sylbi 220	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  Basecbs 17334   ↾_s cress 17355  SubRingcsubrg 20768  DivRingcdr 20927  SubDRingcsdrg 20990

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fv 6536  df-ov 7412  df-subrg 20769  df-sdrg 20991

This theorem is used by:  sdrgbas  20998  subsdrg  33779  fldgenidfld  33798  sdrgfldext  34201  fldsdrgfldext  34212  fldsdrgfldext2  34213  fldgenfldext  34219  evls1fldgencl  34221  fldextrspunlsplem  34224  fldextrspunlsp  34225  fldextrspunlem1  34226  fldextrspunfld  34227  fldextrspunlem2  34228  fldextrspundgle  34229  fldextrspundglemul  34230  fldextrspundgdvdslem  34231  fldextrspundgdvds  34232  fldext2rspun  34233  extdgfialglem1  34243  extdgfialglem2  34244  algextdeglem8  34275  rtelextdg2lem  34277  rtelextdg2  34278  constrelextdg2  34298  constrextdg2lem  34299  constrext2chnlem  34301