Theorem sdrgss 20960

Description: A division subring is a subset of the base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
sdrgid.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sdrgss	⊢ (𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem sdrgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 20955	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ DivRing))
2		sdrgid.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	subrgss 20735	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
4	3	3ad2ant2 1152	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ DivRing) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
5	1, 4	sylbi 220	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305   ↾_s cress 17326  SubRingcsubrg 20732  DivRingcdr 20891  SubDRingcsdrg 20953

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7419  df-subrg 20733  df-sdrg 20954

This theorem is used by:  sdrgbas  20961  subsdrg  33726  fldgenidfld  33745  sdrgfldext  34147  fldsdrgfldext  34158  fldsdrgfldext2  34159  fldgenfldext  34165  evls1fldgencl  34167  fldextrspunlsplem  34170  fldextrspunlsp  34171  fldextrspunlem1  34172  fldextrspunfld  34173  fldextrspunlem2  34174  fldextrspundgle  34175  fldextrspundglemul  34176  fldextrspundgdvdslem  34177  fldextrspundgdvds  34178  fldext2rspun  34179  extdgfialglem1  34189  extdgfialglem2  34190  algextdeglem8  34221  rtelextdg2lem  34223  rtelextdg2  34224  constrelextdg2  34244  constrextdg2lem  34245  constrext2chnlem  34247