Theorem sdrgbas 20766

Description: Base set of a sub-division-ring structure. (Contributed by SN, 19-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
sdrgbas.b	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
sdrgbas	⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))

Proof of Theorem sdrgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2	1	sdrgss 20765	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
3		sdrgbas.b	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
4	3, 1	ressbas2 17199	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
5	2, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  SubDRingcsdrg 20758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-1cn 11087  ax-addcl 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12166  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-subrg 20542  df-sdrg 20759

This theorem is referenced by:  sdrgunit  20768