Theorem sdrgbas 20897

Description: Base set of a sub-division-ring structure. (Contributed by SN, 19-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
sdrgbas.b	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
sdrgbas	⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))

Proof of Theorem sdrgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2	1	sdrgss 20896	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
3		sdrgbas.b	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
4	3, 1	ressbas2 17293	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
5	2, 4	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  SubDRingcsdrg 20889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-1cn 11153  ax-addcl 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12229  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-subrg 20669  df-sdrg 20890

This theorem is referenced by:  sdrgunit  20899