Theorem sdrgbas 20710

Description: Base set of a sub-division-ring structure. (Contributed by SN, 19-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
sdrgbas.b	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
sdrgbas	⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))

Proof of Theorem sdrgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2	1	sdrgss 20709	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
3		sdrgbas.b	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
4	3, 1	ressbas2 17215	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
5	2, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  SubDRingcsdrg 20702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-1cn 11133  ax-addcl 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-nn 12194  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-subrg 20486  df-sdrg 20703

This theorem is referenced by:  sdrgunit  20712