Theorem subrgss 20480

Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrgss	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem subrgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgss.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	issubrg 20479	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)))
4	3	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Basecbs 17112   ↾_s cress 17133  1_rcur 20092  Ringcrg 20144  SubRingcsubrg 20477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fv 6485  df-ov 7344  df-subrg 20478

This theorem is referenced by:  subrgsubg  20485  subrg1  20490  subrgsubm  20493  subrgdvds  20494  subrguss  20495  subrginv  20496  subrgdv  20497  subrgmre  20505  subsubrg  20506  issubdrg  20688  sdrgss  20701  sdrgacs  20709  subdrgint  20711  abvres  20739  sralmod  21114  cnsubrg  21357  issubassa3  21796  sraassab  21798  sraassa  21799  sraassaOLD  21800  aspid  21805  issubassa2  21822  resspsrbas  21904  resspsradd  21905  resspsrmul  21906  resspsrvsca  21907  mplassa  21952  ressmplbas2  21955  subrgascl  21994  subrgasclcl  21995  mplind  21998  evlsval2  22015  evlssca  22017  evlsscasrng  22025  mpfconst  22029  mpff  22032  mpfaddcl  22033  mpfmulcl  22034  mpfind  22035  ply1assa  22105  evls1val  22228  evls1rhm  22230  evls1sca  22231  evls1scasrng  22247  pf1f  22258  evls1fpws  22277  evls1vsca  22281  asclply1subcl  22282  evls1maplmhm  22285  sranlm  24592  clmsscn  24999  cphreccllem  25098  cphdivcl  25102  cphabscl  25105  cphsqrtcl2  25106  cphsqrtcl3  25107  cphipcl  25111  4cphipval2  25162  resscdrg  25278  srabn  25280  plypf1  26137  dvply2g  26212  dvply2gOLD  26213  taylply2  26295  taylply2OLD  26296  elrgspn  33203  elrgspnsubrunlem1  33204  elrgspnsubrunlem2  33205  elrgspnsubrun  33206  0ringsubrg  33208  subrdom  33241  fldgenssp  33274  idlinsubrg  33386  ressply1evls1  33518  ressasclcl  33524  vr1nz  33544  sralvec  33587  lsssra  33590  drgext0g  33592  drgextvsca  33593  drgext0gsca  33594  drgextsubrg  33595  drgextlsp  33596  drgextgsum  33597  fedgmullem1  33632  fedgmullem2  33633  fedgmul  33634  extdggt0  33660  fldexttr  33661  extdg1id  33669  fldextrspunlsp  33677  fldextrspunlem1  33678  fldextrspunfld  33679  elirng  33689  irngss  33690  0ringirng  33692  ply1annnr  33706  imacrhmcl  42526  evlsval3  42571  evlsvvval  42575  evlsbagval  42578  evlsevl  42583  evlsmhpvvval  42607  mhphf  42609  mhphf2  42610  mhphf3  42611  cnsrexpcl  43177  fsumcnsrcl  43178  cnsrplycl  43179  rgspnid  43180  rngunsnply  43181