Theorem subrgss 20682

Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrgss	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem subrgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgss.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	issubrg 20681	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)))
4	3	simprbi 502	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴))
5	4	simpld 499	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275   ↾_s cress 17296  1_rcur 20269  Ringcrg 20321  SubRingcsubrg 20679

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7415  df-subrg 20680

This theorem is used by:  subrgsubg  20687  subrg1  20692  subrgsubm  20695  subrgdvds  20696  subrguss  20697  subrginv  20698  subrgdv  20699  subrgmre  20707  subsubrg  20708  issubdrg  20894  sdrgss  20907  sdrgacs  20915  subdrgint  20917  abvres  20945  sralmod  21319  cnsubrg  21588  issubassa3  22027  sraassab  22029  sraassa  22030  aspid  22035  issubassa2  22053  resspsrbas  22134  resspsradd  22135  resspsrmul  22136  resspsrvsca  22137  mplassa  22182  ressmplbas2  22188  subrgascl  22228  subrgasclcl  22229  mplind  22232  evlsval2  22249  evlsval3  22251  evlsvvval  22255  evlssca  22256  evlsscasrng  22267  mpfconst  22271  mpff  22274  mpfaddcl  22275  mpfmulcl  22276  mpfind  22277  evlsevl  22294  ply1assa  22370  evls1val  22491  evls1rhm  22493  evls1sca  22494  evls1scasrng  22510  pf1f  22521  evls1fpws  22540  evls1vsca  22544  asclply1subcl  22545  evls1maplmhm  22548  sranlm  24852  clmsscn  25249  cphreccllem  25348  cphdivcl  25352  cphabscl  25355  cphsqrtcl2  25356  cphsqrtcl3  25357  cphipcl  25361  4cphipval2  25412  resscdrg  25528  srabn  25530  plypf1  26380  dvply2g  26457  taylply2  26542  elrgspn  33575  elrgspnsubrunlem1  33576  elrgspnsubrunlem2  33577  elrgspnsubrun  33578  0ringsubrg  33580  subrdom  33614  fldgenssp  33648  idlinsubrg  33748  ressply1evls1  33864  ressasclcl  33870  vr1nz  33892  sralvec  33984  lsssra  33987  drgext0g  33989  drgextvsca  33990  drgext0gsca  33991  drgextsubrg  33992  drgextlsp  33993  drgextgsum  33994  fedgmullem1  34028  fedgmullem2  34029  fedgmul  34030  extdggt0  34056  fldexttr  34057  extdg1id  34065  fldextrspunlsp  34073  fldextrspunlem1  34074  fldextrspunfld  34075  elirng  34085  irngss  34086  0ringirng  34088  ply1annnr  34102  imacrhmcl  43316  evlsbagval  43346  evlsmhpvvval  43355  mhphf  43357  mhphf2  43358  mhphf3  43359  cnsrexpcl  43920  fsumcnsrcl  43921  cnsrplycl  43922  rgspnid  43923  rngunsnply  43924