Theorem subrgss 20735

Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrgss	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem subrgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgss.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	issubrg 20734	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)))
4	3	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴))
5	4	simpld 500	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305   ↾_s cress 17326  1_rcur 20321  Ringcrg 20373  SubRingcsubrg 20732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7419  df-subrg 20733

This theorem is used by:  subrgsubg  20740  subrg1  20745  subrgsubm  20748  subrgdvds  20749  subrguss  20750  subrginv  20751  subrgdv  20752  subrgmre  20760  subsubrg  20761  issubdrg  20947  sdrgss  20960  sdrgacs  20968  subdrgint  20970  abvres  20998  sralmod  21372  cnsubrg  21641  issubassa3  22082  sraassab  22084  sraassa  22085  aspid  22090  issubassa2  22108  resspsrbas  22189  resspsradd  22190  resspsrmul  22191  resspsrvsca  22192  mplassa  22237  ressmplbas2  22243  subrgascl  22283  subrgasclcl  22284  mplind  22287  evlsval2  22304  evlsval3  22306  evlsvvval  22310  evlssca  22311  evlsscasrng  22322  mpfconst  22326  mpff  22329  mpfaddcl  22330  mpfmulcl  22331  mpfind  22332  evlsevl  22349  ply1assa  22425  evls1val  22546  evls1rhm  22548  evls1sca  22549  evls1scasrng  22565  pf1f  22576  evls1fpws  22595  evls1vsca  22599  asclply1subcl  22600  evls1maplmhm  22603  sranlm  24911  clmsscn  25308  cphreccllem  25407  cphdivcl  25411  cphabscl  25414  cphsqrtcl2  25415  cphsqrtcl3  25416  cphipcl  25420  4cphipval2  25471  resscdrg  25587  srabn  25589  plypf1  26439  dvply2g  26516  taylply2  26601  elrgspn  33673  elrgspnsubrunlem1  33674  elrgspnsubrunlem2  33675  elrgspnsubrun  33676  0ringsubrg  33678  subrdom  33712  fldgenssp  33746  idlinsubrg  33846  ressply1evls1  33962  ressasclcl  33968  vr1nz  33990  sralvec  34082  lsssra  34085  drgext0g  34087  drgextvsca  34088  drgext0gsca  34089  drgextsubrg  34090  drgextlsp  34091  drgextgsum  34092  fedgmullem1  34126  fedgmullem2  34127  fedgmul  34128  extdggt0  34154  fldexttr  34155  extdg1id  34163  fldextrspunlsp  34171  fldextrspunlem1  34172  fldextrspunfld  34173  elirng  34183  irngss  34184  0ringirng  34186  ply1annnr  34200  imacrhmcl  43389  evlsbagval  43419  evlsmhpvvval  43428  mhphf  43430  mhphf2  43431  mhphf3  43432  cnsrexpcl  43993  fsumcnsrcl  43994  cnsrplycl  43995  rgspnid  43996  rngunsnply  43997