Theorem subrgss 19940

Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrgss	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem subrgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgss.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	issubrg 19939	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)))
4	3	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  SubRingcsubrg 19935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-ov 7258  df-subrg 19937

This theorem is referenced by:  subrgsubg  19945  subrg1  19949  subrgsubm  19952  subrgdvds  19953  subrguss  19954  subrginv  19955  subrgdv  19956  subrgmre  19963  issubdrg  19964  subsubrg  19965  sdrgss  19980  sdrgacs  19984  subdrgint  19986  abvres  20014  sralmod  20370  cnsubrg  20570  issubassa3  20982  sraassa  20984  aspid  20989  issubassa2  21006  resspsrbas  21094  resspsradd  21095  resspsrmul  21096  resspsrvsca  21097  mplassa  21137  ressmplbas2  21138  subrgascl  21184  subrgasclcl  21185  mplind  21188  evlsval2  21207  evlssca  21209  evlsscasrng  21217  mpfconst  21221  mpff  21224  mpfaddcl  21225  mpfmulcl  21226  mpfind  21227  ply1assa  21280  evls1val  21396  evls1rhm  21398  evls1sca  21399  evls1scasrng  21415  pf1f  21426  sranlm  23754  clmsscn  24148  cphreccllem  24247  cphdivcl  24251  cphabscl  24254  cphsqrtcl2  24255  cphsqrtcl3  24256  cphipcl  24260  4cphipval2  24311  resscdrg  24427  srabn  24429  plypf1  25278  dvply2g  25350  taylply2  25432  idlinsubrg  31510  sralvec  31577  drgext0g  31579  drgextvsca  31580  drgext0gsca  31581  drgextsubrg  31582  drgextlsp  31583  drgextgsum  31584  fedgmullem1  31612  fedgmullem2  31613  fedgmul  31614  extdggt0  31634  fldexttr  31635  extdg1id  31640  selvval2lem4  40154  evlsval3  40195  evlsbagval  40198  mhphf  40208  mhphf2  40209  cnsrexpcl  40906  fsumcnsrcl  40907  cnsrplycl  40908  rgspnid  40913  rngunsnply  40914