MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgss 19539
Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgss.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
subrgss (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem subrgss
StepHypRef Expression
1 subrgss.1 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2824 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
31, 2issubrg 19538 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐴)))
43simprbi 499 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐴))
54simpld 497 1 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1536  wcel 2113  wss 3939  cfv 6358  (class class class)co 7159  Basecbs 16486  s cress 16487  1rcur 19254  Ringcrg 19300  SubRingcsubrg 19534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fv 6366  df-ov 7162  df-subrg 19536
This theorem is referenced by:  subrgsubg  19544  subrg1  19548  subrgsubm  19551  subrgdvds  19552  subrguss  19553  subrginv  19554  subrgdv  19555  subrgmre  19562  issubdrg  19563  subsubrg  19564  sdrgss  19579  sdrgacs  19583  subdrgint  19585  abvres  19613  sralmod  19962  issubassa3  20100  sraassa  20102  aspid  20107  issubassa2  20124  resspsrbas  20198  resspsradd  20199  resspsrmul  20200  resspsrvsca  20201  mplassa  20238  ressmplbas2  20239  subrgascl  20281  subrgasclcl  20282  mplind  20285  evlsval2  20303  evlssca  20305  evlsscasrng  20313  mpfconst  20317  mpff  20320  mpfaddcl  20321  mpfmulcl  20322  mpfind  20323  ply1assa  20370  evls1val  20486  evls1rhm  20488  evls1sca  20489  evls1scasrng  20505  pf1f  20516  cnsubrg  20608  sranlm  23296  clmsscn  23686  cphreccllem  23785  cphdivcl  23789  cphabscl  23792  cphsqrtcl2  23793  cphsqrtcl3  23794  cphipcl  23798  4cphipval2  23848  resscdrg  23964  srabn  23966  plypf1  24805  dvply2g  24877  taylply2  24959  sralvec  30994  drgext0g  30996  drgextvsca  30997  drgext0gsca  30998  drgextsubrg  30999  drgextlsp  31000  drgextgsum  31001  fedgmullem1  31029  fedgmullem2  31030  fedgmul  31031  extdggt0  31051  fldexttr  31052  extdg1id  31057  selvval2lem4  39142  cnsrexpcl  39771  fsumcnsrcl  39772  cnsrplycl  39773  rgspnid  39778  rngunsnply  39779
  Copyright terms: Public domain W3C validator