Theorem subrgss 19529

Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrgss	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem subrgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgss.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	issubrg 19528	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)))
4	3	simprbi 500	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴))
5	4	simpld 498	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475   ↾_s cress 16476  1_rcur 19244  Ringcrg 19290  SubRingcsubrg 19524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-ov 7138  df-subrg 19526

This theorem is referenced by:  subrgsubg  19534  subrg1  19538  subrgsubm  19541  subrgdvds  19542  subrguss  19543  subrginv  19544  subrgdv  19545  subrgmre  19552  issubdrg  19553  subsubrg  19554  sdrgss  19569  sdrgacs  19573  subdrgint  19575  abvres  19603  sralmod  19952  cnsubrg  20151  issubassa3  20554  sraassa  20556  aspid  20561  issubassa2  20578  resspsrbas  20653  resspsradd  20654  resspsrmul  20655  resspsrvsca  20656  mplassa  20694  ressmplbas2  20695  subrgascl  20737  subrgasclcl  20738  mplind  20741  evlsval2  20759  evlssca  20761  evlsscasrng  20769  mpfconst  20773  mpff  20776  mpfaddcl  20777  mpfmulcl  20778  mpfind  20779  ply1assa  20828  evls1val  20944  evls1rhm  20946  evls1sca  20947  evls1scasrng  20963  pf1f  20974  sranlm  23290  clmsscn  23684  cphreccllem  23783  cphdivcl  23787  cphabscl  23790  cphsqrtcl2  23791  cphsqrtcl3  23792  cphipcl  23796  4cphipval2  23846  resscdrg  23962  srabn  23964  plypf1  24809  dvply2g  24881  taylply2  24963  idlinsubrg  31016  sralvec  31078  drgext0g  31080  drgextvsca  31081  drgext0gsca  31082  drgextsubrg  31083  drgextlsp  31084  drgextgsum  31085  fedgmullem1  31113  fedgmullem2  31114  fedgmul  31115  extdggt0  31135  fldexttr  31136  extdg1id  31141  selvval2lem4  39431  cnsrexpcl  40109  fsumcnsrcl  40110  cnsrplycl  40111  rgspnid  40116  rngunsnply  40117