Theorem subrgss 20590

Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrgss	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem subrgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgss.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	issubrg 20589	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)))
4	3	simprbi 500	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴))
5	4	simpld 497	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  Basecbs 17217   ↾_s cress 17238  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  SubRingcsubrg 20587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rab 3405  df-v 3446  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-id 5531  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fv 6514  df-ov 7384  df-subrg 20588

This theorem is referenced by:  subrgsubg  20595  subrg1  20600  subrgsubm  20603  subrgdvds  20604  subrguss  20605  subrginv  20606  subrgdv  20607  subrgmre  20615  subsubrg  20616  issubdrg  20798  sdrgss  20811  sdrgacs  20819  subdrgint  20821  abvres  20849  sralmod  21223  cnsubrg  21448  issubassa3  21887  sraassab  21889  sraassa  21890  aspid  21895  issubassa2  21913  resspsrbas  21994  resspsradd  21995  resspsrmul  21996  resspsrvsca  21997  mplassa  22042  ressmplbas2  22048  subrgascl  22088  subrgasclcl  22089  mplind  22092  evlsval2  22109  evlsval3  22111  evlsvvval  22115  evlssca  22116  evlsscasrng  22127  mpfconst  22131  mpff  22134  mpfaddcl  22135  mpfmulcl  22136  mpfind  22137  evlsevl  22154  ply1assa  22230  evls1val  22352  evls1rhm  22354  evls1sca  22355  evls1scasrng  22371  pf1f  22382  evls1fpws  22401  evls1vsca  22405  asclply1subcl  22406  evls1maplmhm  22409  sranlm  24713  clmsscn  25110  cphreccllem  25209  cphdivcl  25213  cphabscl  25216  cphsqrtcl2  25217  cphsqrtcl3  25218  cphipcl  25222  4cphipval2  25273  resscdrg  25389  srabn  25391  plypf1  26241  dvply2g  26315  taylply2  26397  elrgspn  33376  elrgspnsubrunlem1  33377  elrgspnsubrunlem2  33378  elrgspnsubrun  33379  0ringsubrg  33381  subrdom  33415  fldgenssp  33451  idlinsubrg  33563  ressply1evls1  33705  ressasclcl  33711  vr1nz  33733  sralvec  33826  lsssra  33829  drgext0g  33831  drgextvsca  33832  drgext0gsca  33833  drgextsubrg  33834  drgextlsp  33835  drgextgsum  33836  fedgmullem1  33870  fedgmullem2  33871  fedgmul  33872  extdggt0  33898  fldexttr  33899  extdg1id  33907  fldextrspunlsp  33915  fldextrspunlem1  33916  fldextrspunfld  33917  elirng  33927  irngss  33928  0ringirng  33930  ply1annnr  33944  imacrhmcl  43074  evlsbagval  43106  evlsmhpvvval  43115  mhphf  43117  mhphf2  43118  mhphf3  43119  cnsrexpcl  43680  fsumcnsrcl  43681  cnsrplycl  43682  rgspnid  43683  rngunsnply  43684