Theorem subrgss 20824

Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrgss	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem subrgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgss.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	issubrg 20823	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)))
4	3	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴))
5	4	simpld 500	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  SubRingcsubrg 20821

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7423  df-subrg 20822

This theorem is used by:  subrgsubg  20829  subrg1  20834  subrgsubm  20837  subrgdvds  20838  subrguss  20839  subrginv  20840  subrgdv  20841  subrgmre  20849  subsubrg  20850  issubdrg  21037  sdrgss  21050  sdrgacs  21058  subdrgint  21060  abvres  21088  sralmod  21462  cnsubrg  21733  issubassa3  22174  sraassab  22176  sraassa  22177  aspid  22182  issubassa2  22200  resspsrbas  22281  resspsradd  22282  resspsrmul  22283  resspsrvsca  22284  mplassa  22329  ressmplbas2  22335  subrgascl  22375  subrgasclcl  22376  mplind  22379  evlsval2  22396  evlsval3  22398  evlsvvval  22402  evlssca  22403  evlsscasrng  22414  mpfconst  22418  mpff  22421  mpfaddcl  22422  mpfmulcl  22423  mpfind  22424  evlsevl  22441  ply1assa  22517  evls1val  22638  evls1rhm  22640  evls1sca  22641  evls1scasrng  22657  pf1f  22668  evls1fpws  22687  evls1vsca  22691  asclply1subcl  22692  evls1maplmhm  22695  sranlm  25003  clmsscn  25400  cphreccllem  25499  cphdivcl  25503  cphabscl  25506  cphsqrtcl2  25507  cphsqrtcl3  25508  cphipcl  25512  4cphipval2  25563  resscdrg  25679  srabn  25681  plypf1  26531  dvply2g  26606  taylply2  26695  elrgspn  33807  elrgspnsubrunlem1  33808  elrgspnsubrunlem2  33809  elrgspnsubrun  33810  0ringsubrg  33812  subrdom  33846  fldgenssp  33880  idlinsubrg  33981  ressply1evls1  34097  ressasclcl  34103  vr1nz  34125  sralvec  34217  lsssra  34220  drgext0g  34222  drgextvsca  34223  drgext0gsca  34224  drgextsubrg  34225  drgextlsp  34226  drgextgsum  34227  fedgmullem1  34261  fedgmullem2  34262  fedgmul  34263  extdggt0  34289  fldexttr  34290  extdg1id  34298  fldextrspunlsp  34306  fldextrspunlem1  34307  fldextrspunfld  34308  elirng  34318  irngss  34319  0ringirng  34321  ply1annnr  34335  imacrhmcl  43581  evlsbagval  43614  evlsmhpvvval  43623  mhphf  43625  mhphf2  43626  mhphf3  43627  cnsrexpcl  44166  fsumcnsrcl  44167  cnsrplycl  44168  rgspnid  44169  rngunsnply  44170