Theorem subrgss 20588

Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrgss	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem subrgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgss.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	issubrg 20587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)))
4	3	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3962  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244   ↾_s cress 17273  1_rcur 20198  Ringcrg 20250  SubRingcsubrg 20585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fv 6570  df-ov 7433  df-subrg 20586

This theorem is referenced by:  subrgsubg  20593  subrg1  20598  subrgsubm  20601  subrgdvds  20602  subrguss  20603  subrginv  20604  subrgdv  20605  subrgmre  20613  subsubrg  20614  issubdrg  20797  sdrgss  20810  sdrgacs  20818  subdrgint  20820  abvres  20848  sralmod  21211  cnsubrg  21462  issubassa3  21903  sraassab  21905  sraassa  21906  sraassaOLD  21907  aspid  21912  issubassa2  21929  resspsrbas  22011  resspsradd  22012  resspsrmul  22013  resspsrvsca  22014  mplassa  22059  ressmplbas2  22062  subrgascl  22107  subrgasclcl  22108  mplind  22111  evlsval2  22128  evlssca  22130  evlsscasrng  22138  mpfconst  22142  mpff  22145  mpfaddcl  22146  mpfmulcl  22147  mpfind  22148  ply1assa  22216  evls1val  22339  evls1rhm  22341  evls1sca  22342  evls1scasrng  22358  pf1f  22369  evls1fpws  22388  evls1vsca  22392  asclply1subcl  22393  evls1maplmhm  22396  sranlm  24720  clmsscn  25125  cphreccllem  25225  cphdivcl  25229  cphabscl  25232  cphsqrtcl2  25233  cphsqrtcl3  25234  cphipcl  25238  4cphipval2  25289  resscdrg  25405  srabn  25407  plypf1  26265  dvply2g  26340  dvply2gOLD  26341  taylply2  26423  taylply2OLD  26424  0ringsubrg  33237  subrdom  33268  fldgenssp  33299  idlinsubrg  33438  ressasclcl  33575  sralvec  33614  lsssra  33617  drgext0g  33618  drgextvsca  33619  drgext0gsca  33620  drgextsubrg  33621  drgextlsp  33622  drgextgsum  33623  fedgmullem1  33656  fedgmullem2  33657  fedgmul  33658  extdggt0  33684  fldexttr  33685  extdg1id  33690  elirng  33700  irngss  33701  0ringirng  33703  ply1annnr  33710  imacrhmcl  42500  evlsval3  42545  evlsvvval  42549  evlsbagval  42552  evlsevl  42557  evlsmhpvvval  42581  mhphf  42583  mhphf2  42584  mhphf3  42585  cnsrexpcl  43153  fsumcnsrcl  43154  cnsrplycl  43155  rgspnid  43156  rngunsnply  43157