MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgss 19137
Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgss.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
subrgss (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem subrgss
StepHypRef Expression
1 subrgss.1 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2825 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
31, 2issubrg 19136 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐴)))
43simprbi 492 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐴))
54simpld 490 1 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wss 3798  cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  s cress 16223  1rcur 18855  Ringcrg 18901  SubRingcsubrg 19132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fv 6131  df-ov 6908  df-subrg 19134
This theorem is referenced by:  subrgsubg  19142  subrg1  19146  subrgsubm  19149  subrgdvds  19150  subrguss  19151  subrginv  19152  subrgdv  19153  subrgmre  19160  issubdrg  19161  subsubrg  19162  abvres  19195  sralmod  19548  issubassa  19685  sraassa  19686  aspid  19691  issubassa2  19706  resspsrbas  19776  resspsradd  19777  resspsrmul  19778  resspsrvsca  19779  mplassa  19815  ressmplbas2  19816  subrgascl  19858  subrgasclcl  19859  mplind  19862  evlsval2  19880  evlssca  19882  evlsscasrng  19886  mpfconst  19890  mpff  19893  mpfaddcl  19894  mpfmulcl  19895  mpfind  19896  ply1assa  19929  evls1val  20045  evls1rhm  20047  evls1sca  20048  evls1scasrng  20063  pf1f  20074  cnsubrg  20166  sranlm  22858  clmsscn  23248  cphreccllem  23347  cphdivcl  23351  cphabscl  23354  cphsqrtcl2  23355  cphsqrtcl3  23356  cphipcl  23360  4cphipval2  23410  resscdrg  23526  srabn  23528  plypf1  24367  dvply2g  24439  taylply2  24521  cnsrexpcl  38578  fsumcnsrcl  38579  cnsrplycl  38580  rgspnid  38585  rngunsnply  38586  sdrgacs  38614
  Copyright terms: Public domain W3C validator