Theorem subrgss 20632

Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrgss	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem subrgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgss.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	issubrg 20631	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)))
4	3	simprbi 501	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴))
5	4	simpld 498	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17255   ↾_s cress 17276  1_rcur 20241  Ringcrg 20293  SubRingcsubrg 20629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fv 6529  df-ov 7399  df-subrg 20630

This theorem is referenced by:  subrgsubg  20637  subrg1  20642  subrgsubm  20645  subrgdvds  20646  subrguss  20647  subrginv  20648  subrgdv  20649  subrgmre  20657  subsubrg  20658  issubdrg  20836  sdrgss  20849  sdrgacs  20857  subdrgint  20859  abvres  20887  sralmod  21261  cnsubrg  21486  issubassa3  21925  sraassab  21927  sraassa  21928  aspid  21933  issubassa2  21951  resspsrbas  22032  resspsradd  22033  resspsrmul  22034  resspsrvsca  22035  mplassa  22080  ressmplbas2  22086  subrgascl  22126  subrgasclcl  22127  mplind  22130  evlsval2  22147  evlsval3  22149  evlsvvval  22153  evlssca  22154  evlsscasrng  22165  mpfconst  22169  mpff  22172  mpfaddcl  22173  mpfmulcl  22174  mpfind  22175  evlsevl  22192  ply1assa  22268  evls1val  22390  evls1rhm  22392  evls1sca  22393  evls1scasrng  22409  pf1f  22420  evls1fpws  22439  evls1vsca  22443  asclply1subcl  22444  evls1maplmhm  22447  sranlm  24751  clmsscn  25148  cphreccllem  25247  cphdivcl  25251  cphabscl  25254  cphsqrtcl2  25255  cphsqrtcl3  25256  cphipcl  25260  4cphipval2  25311  resscdrg  25427  srabn  25429  plypf1  26279  dvply2g  26356  taylply2  26438  elrgspn  33433  elrgspnsubrunlem1  33434  elrgspnsubrunlem2  33435  elrgspnsubrun  33436  0ringsubrg  33438  subrdom  33472  fldgenssp  33508  idlinsubrg  33620  ressply1evls1  33764  ressasclcl  33770  vr1nz  33792  sralvec  33884  lsssra  33887  drgext0g  33889  drgextvsca  33890  drgext0gsca  33891  drgextsubrg  33892  drgextlsp  33893  drgextgsum  33894  fedgmullem1  33928  fedgmullem2  33929  fedgmul  33930  extdggt0  33956  fldexttr  33957  extdg1id  33965  fldextrspunlsp  33973  fldextrspunlem1  33974  fldextrspunfld  33975  elirng  33985  irngss  33986  0ringirng  33988  ply1annnr  34002  imacrhmcl  43141  evlsbagval  43173  evlsmhpvvval  43182  mhphf  43184  mhphf2  43185  mhphf3  43186  cnsrexpcl  43747  fsumcnsrcl  43748  cnsrplycl  43749  rgspnid  43750  rngunsnply  43751