Theorem subrgss 20509

Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrgss	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem subrgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgss.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	issubrg 20508	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)))
4	3	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140   ↾_s cress 17161  1_rcur 20120  Ringcrg 20172  SubRingcsubrg 20506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-ov 7363  df-subrg 20507

This theorem is referenced by:  subrgsubg  20514  subrg1  20519  subrgsubm  20522  subrgdvds  20523  subrguss  20524  subrginv  20525  subrgdv  20526  subrgmre  20534  subsubrg  20535  issubdrg  20717  sdrgss  20730  sdrgacs  20738  subdrgint  20740  abvres  20768  sralmod  21143  cnsubrg  21386  issubassa3  21825  sraassab  21827  sraassa  21828  sraassaOLD  21829  aspid  21834  issubassa2  21852  resspsrbas  21933  resspsradd  21934  resspsrmul  21935  resspsrvsca  21936  mplassa  21981  ressmplbas2  21986  subrgascl  22025  subrgasclcl  22026  mplind  22029  evlsval2  22046  evlsval3  22048  evlsvvval  22052  evlssca  22053  evlsscasrng  22064  mpfconst  22068  mpff  22071  mpfaddcl  22072  mpfmulcl  22073  mpfind  22074  ply1assa  22144  evls1val  22268  evls1rhm  22270  evls1sca  22271  evls1scasrng  22287  pf1f  22298  evls1fpws  22317  evls1vsca  22321  asclply1subcl  22322  evls1maplmhm  22325  sranlm  24632  clmsscn  25039  cphreccllem  25138  cphdivcl  25142  cphabscl  25145  cphsqrtcl2  25146  cphsqrtcl3  25147  cphipcl  25151  4cphipval2  25202  resscdrg  25318  srabn  25320  plypf1  26177  dvply2g  26252  dvply2gOLD  26253  taylply2  26335  taylply2OLD  26336  elrgspn  33309  elrgspnsubrunlem1  33310  elrgspnsubrunlem2  33311  elrgspnsubrun  33312  0ringsubrg  33314  subrdom  33348  fldgenssp  33381  idlinsubrg  33493  ressply1evls1  33627  ressasclcl  33633  vr1nz  33655  sralvec  33722  lsssra  33725  drgext0g  33727  drgextvsca  33728  drgext0gsca  33729  drgextsubrg  33730  drgextlsp  33731  drgextgsum  33732  fedgmullem1  33767  fedgmullem2  33768  fedgmul  33769  extdggt0  33795  fldexttr  33796  extdg1id  33804  fldextrspunlsp  33812  fldextrspunlem1  33813  fldextrspunfld  33814  elirng  33824  irngss  33825  0ringirng  33827  ply1annnr  33841  imacrhmcl  42805  evlsbagval  42848  evlsevl  42853  evlsmhpvvval  42874  mhphf  42876  mhphf2  42877  mhphf3  42878  cnsrexpcl  43443  fsumcnsrcl  43444  cnsrplycl  43445  rgspnid  43446  rngunsnply  43447