Theorem subrgss 20515

Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrgss	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem subrgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgss.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	issubrg 20514	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)))
4	3	simprbi 495	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴))
5	4	simpld 493	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3945  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417  Basecbs 17179   ↾_s cress 17208  1_rcur 20125  Ringcrg 20177  SubRingcsubrg 20510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fv 6555  df-ov 7420  df-subrg 20512

This theorem is referenced by:  subrgsubg  20520  subrg1  20525  subrgsubm  20528  subrgdvds  20529  subrguss  20530  subrginv  20531  subrgdv  20532  subrgmre  20540  subsubrg  20541  issubdrg  20672  sdrgss  20685  sdrgacs  20693  subdrgint  20695  abvres  20723  sralmod  21084  cnsubrg  21364  issubassa3  21803  sraassab  21805  sraassa  21806  sraassaOLD  21807  aspid  21812  issubassa2  21829  resspsrbas  21923  resspsradd  21924  resspsrmul  21925  resspsrvsca  21926  mplassa  21971  ressmplbas2  21972  subrgascl  22017  subrgasclcl  22018  mplind  22021  evlsval2  22040  evlssca  22042  evlsscasrng  22050  mpfconst  22054  mpff  22057  mpfaddcl  22058  mpfmulcl  22059  mpfind  22060  ply1assa  22127  evls1val  22248  evls1rhm  22250  evls1sca  22251  evls1scasrng  22267  pf1f  22278  evls1fpws  22297  evls1vsca  22301  asclply1subcl  22302  evls1maplmhm  22305  sranlm  24631  clmsscn  25036  cphreccllem  25136  cphdivcl  25140  cphabscl  25143  cphsqrtcl2  25144  cphsqrtcl3  25145  cphipcl  25149  4cphipval2  25200  resscdrg  25316  srabn  25318  plypf1  26176  dvply2g  26249  dvply2gOLD  26250  taylply2  26332  taylply2OLD  26333  0ringsubrg  33005  subrdom  33034  fldgenssp  33065  idlinsubrg  33209  sralvec  33355  lsssra  33358  drgext0g  33359  drgextvsca  33360  drgext0gsca  33361  drgextsubrg  33362  drgextlsp  33363  drgextgsum  33364  fedgmullem1  33397  fedgmullem2  33398  fedgmul  33399  extdggt0  33419  fldexttr  33420  extdg1id  33425  elirng  33434  irngss  33435  0ringirng  33437  ply1annnr  33444  imacrhmcl  41819  evlsval3  41857  evlsvvval  41861  evlsbagval  41864  evlsevl  41869  evlsmhpvvval  41893  mhphf  41895  mhphf2  41896  mhphf3  41897  cnsrexpcl  42654  fsumcnsrcl  42655  cnsrplycl  42656  rgspnid  42661  rngunsnply  42662