Theorem subrgss 20824

Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrgss	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem subrgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgss.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	issubrg 20823	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)))
4	3	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴))
5	4	simpld 500	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  SubRingcsubrg 20821

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7423  df-subrg 20822

This theorem is used by:  subrgsubg  20829  subrg1  20834  subrgsubm  20837  subrgdvds  20838  subrguss  20839  subrginv  20840  subrgdv  20841  subrgmre  20849  subsubrg  20850  issubdrg  21037  sdrgss  21050  sdrgacs  21058  subdrgint  21060  abvres  21088  sralmod  21462  cnsubrg  21733  issubassa3  22174  sraassab  22176  sraassa  22177  aspid  22182  issubassa2  22200  resspsrbas  22281  resspsradd  22282  resspsrmul  22283  resspsrvsca  22284  mplassa  22329  ressmplbas2  22335  subrgascl  22375  subrgasclcl  22376  mplind  22379  evlsval2  22396  evlsval3  22398  evlsvvval  22402  evlssca  22403  evlsscasrng  22414  mpfconst  22418  mpff  22421  mpfaddcl  22422  mpfmulcl  22423  mpfind  22424  evlsevl  22441  ply1assa  22517  evls1val  22638  evls1rhm  22640  evls1sca  22641  evls1scasrng  22657  pf1f  22668  evls1fpws  22687  evls1vsca  22691  asclply1subcl  22692  evls1maplmhm  22695  sranlm  25003  clmsscn  25400  cphreccllem  25499  cphdivcl  25503  cphabscl  25506  cphsqrtcl2  25507  cphsqrtcl3  25508  cphipcl  25512  4cphipval2  25563  resscdrg  25679  srabn  25681  plypf1  26531  dvply2g  26606  taylply2  26695  elrgspn  33849  elrgspnsubrunlem1  33850  elrgspnsubrunlem2  33851  elrgspnsubrun  33852  0ringsubrg  33854  subrdom  33888  fldgenssp  33922  idlinsubrg  34023  ressply1evls1  34139  ressasclcl  34145  vr1nz  34167  sralvec  34259  lsssra  34262  drgext0g  34264  drgextvsca  34265  drgext0gsca  34266  drgextsubrg  34267  drgextlsp  34268  drgextgsum  34269  fedgmullem1  34303  fedgmullem2  34304  fedgmul  34305  extdggt0  34331  fldexttr  34332  extdg1id  34340  fldextrspunlsp  34348  fldextrspunlem1  34349  fldextrspunfld  34350  elirng  34360  irngss  34361  0ringirng  34363  ply1annnr  34377  imacrhmcl  43624  evlsbagval  43657  evlsmhpvvval  43666  mhphf  43668  mhphf2  43669  mhphf3  43670  cnsrexpcl  44210  fsumcnsrcl  44211  cnsrplycl  44212  rgspnid  44213  rngunsnply  44214