Theorem subrgss 20320

Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrgss	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem subrgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgss.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	issubrg 20319	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)))
4	3	simprbi 498	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴))
5	4	simpld 496	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3949  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144   ↾_s cress 17173  1_rcur 20004  Ringcrg 20056  SubRingcsubrg 20315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-subrg 20317

This theorem is referenced by:  subrgsubg  20325  subrg1  20329  subrgsubm  20332  subrgdvds  20333  subrguss  20334  subrginv  20335  subrgdv  20336  subrgmre  20344  subsubrg  20345  issubdrg  20401  sdrgss  20409  sdrgacs  20417  subdrgint  20419  abvres  20447  sralmod  20809  cnsubrg  21005  issubassa3  21420  sraassab  21422  sraassa  21423  sraassaOLD  21424  aspid  21429  issubassa2  21446  resspsrbas  21535  resspsradd  21536  resspsrmul  21537  resspsrvsca  21538  mplassa  21581  ressmplbas2  21582  subrgascl  21627  subrgasclcl  21628  mplind  21631  evlsval2  21650  evlssca  21652  evlsscasrng  21660  mpfconst  21664  mpff  21667  mpfaddcl  21668  mpfmulcl  21669  mpfind  21670  ply1assa  21723  evls1val  21839  evls1rhm  21841  evls1sca  21842  evls1scasrng  21858  pf1f  21869  sranlm  24201  clmsscn  24595  cphreccllem  24695  cphdivcl  24699  cphabscl  24702  cphsqrtcl2  24703  cphsqrtcl3  24704  cphipcl  24708  4cphipval2  24759  resscdrg  24875  srabn  24877  plypf1  25726  dvply2g  25798  taylply2  25880  0ringsubrg  32379  fldgenssp  32408  idlinsubrg  32549  evls1fpws  32646  evls1vsca  32650  asclply1subcl  32660  sralvec  32675  drgext0g  32677  drgextvsca  32678  drgext0gsca  32679  drgextsubrg  32680  drgextlsp  32681  drgextgsum  32682  fedgmullem1  32714  fedgmullem2  32715  fedgmul  32716  extdggt0  32736  fldexttr  32737  extdg1id  32742  elirng  32750  irngss  32751  0ringirng  32753  evls1maplmhm  32760  ply1annnr  32764  imacrhmcl  41089  evlsval3  41131  evlsvvval  41135  evlsbagval  41138  evlsevl  41143  evlsmhpvvval  41167  mhphf  41169  mhphf2  41170  mhphf3  41171  cnsrexpcl  41907  fsumcnsrcl  41908  cnsrplycl  41909  rgspnid  41914  rngunsnply  41915