Theorem subrgss 20600

Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrgss	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem subrgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgss.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	issubrg 20599	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)))
4	3	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  SubRingcsubrg 20595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-ov 7451  df-subrg 20597

This theorem is referenced by:  subrgsubg  20605  subrg1  20610  subrgsubm  20613  subrgdvds  20614  subrguss  20615  subrginv  20616  subrgdv  20617  subrgmre  20625  subsubrg  20626  issubdrg  20803  sdrgss  20816  sdrgacs  20824  subdrgint  20826  abvres  20854  sralmod  21217  cnsubrg  21468  issubassa3  21909  sraassab  21911  sraassa  21912  sraassaOLD  21913  aspid  21918  issubassa2  21935  resspsrbas  22017  resspsradd  22018  resspsrmul  22019  resspsrvsca  22020  mplassa  22065  ressmplbas2  22068  subrgascl  22113  subrgasclcl  22114  mplind  22117  evlsval2  22134  evlssca  22136  evlsscasrng  22144  mpfconst  22148  mpff  22151  mpfaddcl  22152  mpfmulcl  22153  mpfind  22154  ply1assa  22222  evls1val  22345  evls1rhm  22347  evls1sca  22348  evls1scasrng  22364  pf1f  22375  evls1fpws  22394  evls1vsca  22398  asclply1subcl  22399  evls1maplmhm  22402  sranlm  24726  clmsscn  25131  cphreccllem  25231  cphdivcl  25235  cphabscl  25238  cphsqrtcl2  25239  cphsqrtcl3  25240  cphipcl  25244  4cphipval2  25295  resscdrg  25411  srabn  25413  plypf1  26271  dvply2g  26344  dvply2gOLD  26345  taylply2  26427  taylply2OLD  26428  0ringsubrg  33223  subrdom  33254  fldgenssp  33285  idlinsubrg  33424  ressasclcl  33561  sralvec  33600  lsssra  33603  drgext0g  33604  drgextvsca  33605  drgext0gsca  33606  drgextsubrg  33607  drgextlsp  33608  drgextgsum  33609  fedgmullem1  33642  fedgmullem2  33643  fedgmul  33644  extdggt0  33670  fldexttr  33671  extdg1id  33676  elirng  33686  irngss  33687  0ringirng  33689  ply1annnr  33696  imacrhmcl  42469  evlsval3  42514  evlsvvval  42518  evlsbagval  42521  evlsevl  42526  evlsmhpvvval  42550  mhphf  42552  mhphf2  42553  mhphf3  42554  cnsrexpcl  43122  fsumcnsrcl  43123  cnsrplycl  43124  rgspnid  43129  rngunsnply  43130