Theorem setrec2v 50186

Description: Version of setrec2 50185 with a disjoint variable condition instead of a nonfreeness hypothesis. (Contributed by Emmett Weisz, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
setrec2.b	⊢ 𝐵 = setrecs(𝐹)
setrec2.c	⊢ (𝜑 → ∀𝑎(𝑎 ⊆ 𝐶 → (𝐹‘𝑎) ⊆ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
setrec2v	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐹,𝑎   𝐶,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐵(𝑎)

Proof of Theorem setrec2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2901	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝐹
2		setrec2.b	. 2 ⊢ 𝐵 = setrecs(𝐹)
3		setrec2.c	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎(𝑎 ⊆ 𝐶 → (𝐹‘𝑎) ⊆ 𝐶))
4	1, 2, 3	setrec2 50185	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1545   = wceq 1547   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6485  setrecscsetrecs 50173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fv 6493  df-setrecs 50174

This theorem is referenced by:  setis  50188  elsetrecslem  50189  setrecsss  50191  setrecsres  50192  0setrec  50194  onsetrec  50198