Theorem setrec2v 10015

Description: Version of setrec2 10014 with a disjoint variable condition instead of a nonfreeness hypothesis. (Contributed by Emmett Weisz, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
setrec2.b	⊢ 𝐵 = setrecs(𝐹)
setrec2.c	⊢ (𝜑 → ∀𝑎(𝑎 ⊆ 𝐶 → (𝐹‘𝑎) ⊆ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
setrec2v	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐹,𝑎   𝐶,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐵(𝑎)

Proof of Theorem setrec2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2926	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝐹
2		setrec2.b	. 2 ⊢ 𝐵 = setrecs(𝐹)
3		setrec2.c	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎(𝑎 ⊆ 𝐶 → (𝐹‘𝑎) ⊆ 𝐶))
4	1, 2, 3	setrec2 10014	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4  ∀wal 1568   = wceq 1570   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6566  setrecscsetrecs 10001

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-setrecs 10002

This theorem is used by:  dfprop2  38914  setis  51197  elsetrecslem  51198  setrecsss  51200  setrecsres  51201  0setrec  51203  onsetrec  51207