Theorem setrec2v 48313

Description: Version of setrec2 48312 with a disjoint variable condition instead of a nonfreeness hypothesis. (Contributed by Emmett Weisz, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
setrec2.b	⊢ 𝐵 = setrecs(𝐹)
setrec2.c	⊢ (𝜑 → ∀𝑎(𝑎 ⊆ 𝐶 → (𝐹‘𝑎) ⊆ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
setrec2v	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐹,𝑎   𝐶,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐵(𝑎)

Proof of Theorem setrec2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2891	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝐹
2		setrec2.b	. 2 ⊢ 𝐵 = setrecs(𝐹)
3		setrec2.c	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎(𝑎 ⊆ 𝐶 → (𝐹‘𝑎) ⊆ 𝐶))
4	1, 2, 3	setrec2 48312	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1531   = wceq 1533   ⊆ wss 3944  ‘cfv 6549  setrecscsetrecs 48300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fv 6557  df-setrecs 48301

This theorem is referenced by:  setis  48315  elsetrecslem  48316  setrecsss  48318  setrecsres  48319  0setrec  48321  onsetrec  48325