Theorem setrec2v 42971

Description: Version of setrec2 42970 with a dv condition instead of a non-freeness hypothesis. (Contributed by Emmett Weisz, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
setrec2.b	⊢ 𝐵 = setrecs(𝐹)
setrec2.c	⊢ (𝜑 → ∀𝑎(𝑎 ⊆ 𝐶 → (𝐹‘𝑎) ⊆ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
setrec2v	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐹,𝑎   𝐶,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐵(𝑎)

Proof of Theorem setrec2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2913	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝐹
2		setrec2.b	. 2 ⊢ 𝐵 = setrecs(𝐹)
3		setrec2.c	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎(𝑎 ⊆ 𝐶 → (𝐹‘𝑎) ⊆ 𝐶))
4	1, 2, 3	setrec2 42970	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1629   = wceq 1631   ⊆ wss 3723  ‘cfv 6031  setrecscsetrecs 42958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fv 6039  df-setrecs 42959

This theorem is referenced by:  setis  42972  elsetrecslem  42973  setrecsss  42975  setrecsres  42976  0setrec  42978  onsetrec  42982