Users' Mathboxes Mathbox for Emmett Weisz < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  setrecsres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setrecsres 48244
Description: A recursively generated class is unaffected when its input function is restricted to subsets of the class. (Contributed by Emmett Weisz, 14-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
setrecsres.1 𝐵 = setrecs(𝐹)
setrecsres.2 (𝜑 → Fun 𝐹)
Assertion
Ref Expression
setrecsres (𝜑𝐵 = setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))

Proof of Theorem setrecsres
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setrecsres.1 . . 3 𝐵 = setrecs(𝐹)
2 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
3 setrecsres.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Fun 𝐹)
4 resss 6001 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ↾ 𝒫 𝐵) ⊆ 𝐹
54a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝒫 𝐵) ⊆ 𝐹)
63, 5setrecsss 48243 . . . . . . . . 9 (𝜑 → setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) ⊆ setrecs(𝐹))
76, 1sseqtrrdi 4024 . . . . . . . 8 (𝜑 → setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) ⊆ 𝐵)
82, 7sylan9ssr 3987 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → 𝑥𝐵)
9 velpw 4603 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵)
10 fvres 6910 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
119, 10sylbir 234 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
128, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
13 eqid 2725 . . . . . . . 8 setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) = setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))
14 vex 3467 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → 𝑥 ∈ V)
1613, 15, 2setrec1 48233 . . . . . . 7 (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
1716adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
1812, 17eqsstrrd 4012 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → (𝐹𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
1918ex 411 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → (𝐹𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))))
2019alrimiv 1922 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → (𝐹𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))))
211, 20setrec2v 48238 . 2 (𝜑𝐵 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
2221, 7eqssd 3990 1 (𝜑𝐵 = setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3463  wss 3940  𝒫 cpw 4598  cres 5674  Fun wfun 6536  cfv 6542  setrecscsetrecs 48225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-reg 9613  ax-inf2 9662
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7418  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-r1 9785  df-rank 9786  df-setrecs 48226
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator