Users' Mathboxes Mathbox for Emmett Weisz < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  setrecsres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setrecsres 48026
Description: A recursively generated class is unaffected when its input function is restricted to subsets of the class. (Contributed by Emmett Weisz, 14-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
setrecsres.1 𝐵 = setrecs(𝐹)
setrecsres.2 (𝜑 → Fun 𝐹)
Assertion
Ref Expression
setrecsres (𝜑𝐵 = setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))

Proof of Theorem setrecsres
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setrecsres.1 . . 3 𝐵 = setrecs(𝐹)
2 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
3 setrecsres.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Fun 𝐹)
4 resss 6000 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ↾ 𝒫 𝐵) ⊆ 𝐹
54a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝒫 𝐵) ⊆ 𝐹)
63, 5setrecsss 48025 . . . . . . . . 9 (𝜑 → setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) ⊆ setrecs(𝐹))
76, 1sseqtrrdi 4028 . . . . . . . 8 (𝜑 → setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) ⊆ 𝐵)
82, 7sylan9ssr 3991 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → 𝑥𝐵)
9 velpw 4602 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵)
10 fvres 6904 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
119, 10sylbir 234 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
128, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
13 eqid 2726 . . . . . . . 8 setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) = setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))
14 vex 3472 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → 𝑥 ∈ V)
1613, 15, 2setrec1 48015 . . . . . . 7 (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
1716adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
1812, 17eqsstrrd 4016 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → (𝐹𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
1918ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → (𝐹𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))))
2019alrimiv 1922 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → (𝐹𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))))
211, 20setrec2v 48020 . 2 (𝜑𝐵 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
2221, 7eqssd 3994 1 (𝜑𝐵 = setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3468  wss 3943  𝒫 cpw 4597  cres 5671  Fun wfun 6531  cfv 6537  setrecscsetrecs 48007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-reg 9589  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-r1 9761  df-rank 9762  df-setrecs 48008
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator