Theorem setrecsres 50539

Description: A recursively generated class is unaffected when its input function is restricted to subsets of the class. (Contributed by Emmett Weisz, 14-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
setrecsres.1	⊢ 𝐵 = setrecs(𝐹)
setrecsres.2	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
setrecsres	⊢ (𝜑 → 𝐵 = setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))

Proof of Theorem setrecsres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setrecsres.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = setrecs(𝐹)
2		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
3		setrecsres.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
4		resss 6002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ↾ 𝒫 𝐵) ⊆ 𝐹
5	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝒫 𝐵) ⊆ 𝐹)
6	3, 5	setrecsss 50538	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) ⊆ setrecs(𝐹))
7	6, 1	sseqtrrdi 3979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) ⊆ 𝐵)
8	2, 7	sylan9ssr 3952	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
9		velpw 4569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐵)
10		fvres 6904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
11	9, 10	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
12	8, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
13		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) = setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))
14		vex 3461	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → 𝑥 ∈ V)
16	13, 15, 2	setrec1 50528	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
17	16	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
18	12, 17	eqsstrrd 3973	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → (𝐹‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
19	18	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))))
20	19	alrimiv 1960	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))))
21	1, 20	setrec2v 50533	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
22	21, 7	eqssd 3955	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4564   ↾ cres 5665  Fun wfun 6534  ‘cfv 6540  setrecscsetrecs 50520

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-reg 9561  ax-inf2 9617

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-r1 9743  df-rank 9744  df-scott 9865  df-setrecs 50521

This theorem is used by: (None)