Theorem setrecsres 44797

Description: A recursively generated class is unaffected when its input function is restricted to subsets of the class. (Contributed by Emmett Weisz, 14-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
setrecsres.1	⊢ 𝐵 = setrecs(𝐹)
setrecsres.2	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
setrecsres	⊢ (𝜑 → 𝐵 = setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))

Proof of Theorem setrecsres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setrecsres.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = setrecs(𝐹)
2		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
3		setrecsres.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
4		resss 5873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ↾ 𝒫 𝐵) ⊆ 𝐹
5	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝒫 𝐵) ⊆ 𝐹)
6	3, 5	setrecsss 44796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) ⊆ setrecs(𝐹))
7	6, 1	sseqtrrdi 4018	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) ⊆ 𝐵)
8	2, 7	sylan9ssr 3981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
9		velpw 4547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐵)
10		fvres 6684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
11	9, 10	sylbir 237	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
12	8, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
13		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) = setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))
14		vex 3498	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → 𝑥 ∈ V)
16	13, 15, 2	setrec1 44787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
17	16	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
18	12, 17	eqsstrrd 4006	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → (𝐹‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
19	18	ex 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))))
20	19	alrimiv 1924	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))))
21	1, 20	setrec2v 44792	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
22	21, 7	eqssd 3984	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3495   ⊆ wss 3936  𝒫 cpw 4539   ↾ cres 5552  Fun wfun 6344  ‘cfv 6350  setrecscsetrecs 44779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-reg 9050  ax-inf2 9098

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-r1 9187  df-rank 9188  df-setrecs 44780

This theorem is referenced by: (None)