Theorem setrecsres 49813

Description: A recursively generated class is unaffected when its input function is restricted to subsets of the class. (Contributed by Emmett Weisz, 14-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
setrecsres.1	⊢ 𝐵 = setrecs(𝐹)
setrecsres.2	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
setrecsres	⊢ (𝜑 → 𝐵 = setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))

Proof of Theorem setrecsres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setrecsres.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = setrecs(𝐹)
2		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
3		setrecsres.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
4		resss 5949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ↾ 𝒫 𝐵) ⊆ 𝐹
5	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝒫 𝐵) ⊆ 𝐹)
6	3, 5	setrecsss 49812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) ⊆ setrecs(𝐹))
7	6, 1	sseqtrrdi 3971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) ⊆ 𝐵)
8	2, 7	sylan9ssr 3944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
9		velpw 4552	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐵)
10		fvres 6841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
11	9, 10	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
12	8, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
13		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) = setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))
14		vex 3440	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → 𝑥 ∈ V)
16	13, 15, 2	setrec1 49802	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
18	12, 17	eqsstrrd 3965	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → (𝐹‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
19	18	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))))
20	19	alrimiv 1928	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))))
21	1, 20	setrec2v 49807	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
22	21, 7	eqssd 3947	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  𝒫 cpw 4547   ↾ cres 5616  Fun wfun 6475  ‘cfv 6481  setrecscsetrecs 49794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-reg 9478  ax-inf2 9531

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-r1 9657  df-rank 9658  df-setrecs 49795

This theorem is referenced by: (None)