Theorem setrecsres 49533

Description: A recursively generated class is unaffected when its input function is restricted to subsets of the class. (Contributed by Emmett Weisz, 14-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
setrecsres.1	⊢ 𝐵 = setrecs(𝐹)
setrecsres.2	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
setrecsres	⊢ (𝜑 → 𝐵 = setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))

Proof of Theorem setrecsres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setrecsres.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = setrecs(𝐹)
2		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
3		setrecsres.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
4		resss 5993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ↾ 𝒫 𝐵) ⊆ 𝐹
5	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝒫 𝐵) ⊆ 𝐹)
6	3, 5	setrecsss 49532	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) ⊆ setrecs(𝐹))
7	6, 1	sseqtrrdi 4005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) ⊆ 𝐵)
8	2, 7	sylan9ssr 3978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
9		velpw 4585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐵)
10		fvres 6900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
11	9, 10	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
12	8, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
13		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) = setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))
14		vex 3468	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → 𝑥 ∈ V)
16	13, 15, 2	setrec1 49522	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
18	12, 17	eqsstrrd 3999	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → (𝐹‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
19	18	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))))
20	19	alrimiv 1927	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))))
21	1, 20	setrec2v 49527	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
22	21, 7	eqssd 3981	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931  𝒫 cpw 4580   ↾ cres 5661  Fun wfun 6530  ‘cfv 6536  setrecscsetrecs 49514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-reg 9611  ax-inf2 9660

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-r1 9783  df-rank 9784  df-setrecs 49515

This theorem is referenced by: (None)