Theorem setrecsres 50177

Description: A recursively generated class is unaffected when its input function is restricted to subsets of the class. (Contributed by Emmett Weisz, 14-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
setrecsres.1	⊢ 𝐵 = setrecs(𝐹)
setrecsres.2	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
setrecsres	⊢ (𝜑 → 𝐵 = setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))

Proof of Theorem setrecsres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setrecsres.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = setrecs(𝐹)
2		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
3		setrecsres.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
4		resss 5966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ↾ 𝒫 𝐵) ⊆ 𝐹
5	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝒫 𝐵) ⊆ 𝐹)
6	3, 5	setrecsss 50176	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) ⊆ setrecs(𝐹))
7	6, 1	sseqtrrdi 3963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) ⊆ 𝐵)
8	2, 7	sylan9ssr 3936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
9		velpw 4546	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐵)
10		fvres 6859	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
11	9, 10	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
12	8, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
13		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) = setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))
14		vex 3433	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → 𝑥 ∈ V)
16	13, 15, 2	setrec1 50166	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
18	12, 17	eqsstrrd 3957	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → (𝐹‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
19	18	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))))
20	19	alrimiv 1929	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))))
21	1, 20	setrec2v 50171	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
22	21, 7	eqssd 3939	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4541   ↾ cres 5633  Fun wfun 6492  ‘cfv 6498  setrecscsetrecs 50158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-reg 9507  ax-inf2 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-r1 9688  df-rank 9689  df-setrecs 50159

This theorem is referenced by: (None)