Mathbox for Emmett Weisz < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  setrecsres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setrecsres 45716
 Description: A recursively generated class is unaffected when its input function is restricted to subsets of the class. (Contributed by Emmett Weisz, 14-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
setrecsres.1 𝐵 = setrecs(𝐹)
setrecsres.2 (𝜑 → Fun 𝐹)
Assertion
Ref Expression
setrecsres (𝜑𝐵 = setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))

Proof of Theorem setrecsres
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setrecsres.1 . . 3 𝐵 = setrecs(𝐹)
2 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → 𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
3 setrecsres.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Fun 𝐹)
4 resss 5853 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ↾ 𝒫 𝐵) ⊆ 𝐹
54a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝒫 𝐵) ⊆ 𝐹)
63, 5setrecsss 45715 . . . . . . . . 9 (𝜑 → setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) ⊆ setrecs(𝐹))
76, 1sseqtrrdi 3945 . . . . . . . 8 (𝜑 → setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) ⊆ 𝐵)
82, 7sylan9ssr 3908 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → 𝑥𝐵)
9 velpw 4502 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵)
10 fvres 6682 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
119, 10sylbir 238 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
128, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
13 eqid 2758 . . . . . . . 8 setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) = setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))
14 vex 3413 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → 𝑥 ∈ V)
1613, 15, 2setrec1 45706 . . . . . . 7 (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
1716adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)‘𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
1812, 17eqsstrrd 3933 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))) → (𝐹𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
1918ex 416 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → (𝐹𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))))
2019alrimiv 1928 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)) → (𝐹𝑥) ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵))))
211, 20setrec2v 45711 . 2 (𝜑𝐵 ⊆ setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
2221, 7eqssd 3911 1 (𝜑𝐵 = setrecs((𝐹 ↾ 𝒫 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ⊆ wss 3860  𝒫 cpw 4497   ↾ cres 5530  Fun wfun 6334  ‘cfv 6340  setrecscsetrecs 45698 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-reg 9102  ax-inf2 9150 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-om 7586  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-r1 9239  df-rank 9240  df-setrecs 45699 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator