Theorem setis 49677

Description: Version of setrec2 49674 expressed as an induction schema. This theorem is a generalization of tfis3 7836. (Contributed by Emmett Weisz, 27-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
setis.1	⊢ 𝐵 = setrecs(𝐹)
setis.2	⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜒))
setis.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑎(∀𝑏 ∈ 𝑎 𝜓 → ∀𝑏 ∈ (𝐹‘𝑎)𝜓))

Assertion

Ref	Expression
setis	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜒))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑎,𝑏   𝜓,𝑎   𝜒,𝑏   𝐴,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝜓(𝑏)   𝜒(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem setis

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setis.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = setrecs(𝐹)
2		setis.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎(∀𝑏 ∈ 𝑎 𝜓 → ∀𝑏 ∈ (𝐹‘𝑎)𝜓))
3		ssabral 4030	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝜓)
4		ssabral 4030	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑎) ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑏 ∈ (𝐹‘𝑎)𝜓)
5	3, 4	imbi12i 350	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓} → (𝐹‘𝑎) ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓}) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝑎 𝜓 → ∀𝑏 ∈ (𝐹‘𝑎)𝜓))
6	5	albii 1819	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎(𝑎 ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓} → (𝐹‘𝑎) ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓}) ↔ ∀𝑎(∀𝑏 ∈ 𝑎 𝜓 → ∀𝑏 ∈ (𝐹‘𝑎)𝜓))
7	2, 6	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎(𝑎 ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓} → (𝐹‘𝑎) ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓}))
8	1, 7	setrec2v 49675	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓})
9	8	sseld 3947	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ {𝑏 ∣ 𝜓}))
10		setis.2	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜒))
11	10	elabg 3645	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝑏 ∣ 𝜓} ↔ 𝜒))
12	9, 11	mpbidi 241	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2708  ∀wral 3045   ⊆ wss 3916  ‘cfv 6513  setrecscsetrecs 49662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fv 6521  df-setrecs 49663

This theorem is referenced by:  pgindnf  49695