Theorem setis 45227

Description: Version of setrec2 45225 expressed as an induction schema. This theorem is a generalization of tfis3 7552. (Contributed by Emmett Weisz, 27-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
setis.1	⊢ 𝐵 = setrecs(𝐹)
setis.2	⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜒))
setis.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑎(∀𝑏 ∈ 𝑎 𝜓 → ∀𝑏 ∈ (𝐹‘𝑎)𝜓))

Assertion

Ref	Expression
setis	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜒))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑎,𝑏   𝜓,𝑎   𝜒,𝑏   𝐴,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝜓(𝑏)   𝜒(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem setis

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setis.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = setrecs(𝐹)
2		setis.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎(∀𝑏 ∈ 𝑎 𝜓 → ∀𝑏 ∈ (𝐹‘𝑎)𝜓))
3		ssabral 3990	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝜓)
4		ssabral 3990	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑎) ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑏 ∈ (𝐹‘𝑎)𝜓)
5	3, 4	imbi12i 354	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓} → (𝐹‘𝑎) ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓}) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝑎 𝜓 → ∀𝑏 ∈ (𝐹‘𝑎)𝜓))
6	5	albii 1821	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎(𝑎 ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓} → (𝐹‘𝑎) ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓}) ↔ ∀𝑎(∀𝑏 ∈ 𝑎 𝜓 → ∀𝑏 ∈ (𝐹‘𝑎)𝜓))
7	2, 6	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎(𝑎 ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓} → (𝐹‘𝑎) ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓}))
8	1, 7	setrec2v 45226	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓})
9	8	sseld 3914	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ {𝑏 ∣ 𝜓}))
10		setis.2	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜒))
11	10	elabg 3614	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝑏 ∣ 𝜓} ↔ 𝜒))
12	9, 11	mpbidi 244	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209  ∀wal 1536   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2776  ∀wral 3106   ⊆ wss 3881  ‘cfv 6324  setrecscsetrecs 45213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-setrecs 45214

This theorem is referenced by: (None)