Theorem setis 49225

Description: Version of setrec2 49222 expressed as an induction schema. This theorem is a generalization of tfis3 7861. (Contributed by Emmett Weisz, 27-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
setis.1	⊢ 𝐵 = setrecs(𝐹)
setis.2	⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜒))
setis.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑎(∀𝑏 ∈ 𝑎 𝜓 → ∀𝑏 ∈ (𝐹‘𝑎)𝜓))

Assertion

Ref	Expression
setis	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜒))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑎,𝑏   𝜓,𝑎   𝜒,𝑏   𝐴,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝜓(𝑏)   𝜒(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem setis

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setis.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = setrecs(𝐹)
2		setis.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎(∀𝑏 ∈ 𝑎 𝜓 → ∀𝑏 ∈ (𝐹‘𝑎)𝜓))
3		ssabral 4045	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝜓)
4		ssabral 4045	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑎) ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑏 ∈ (𝐹‘𝑎)𝜓)
5	3, 4	imbi12i 350	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓} → (𝐹‘𝑎) ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓}) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝑎 𝜓 → ∀𝑏 ∈ (𝐹‘𝑎)𝜓))
6	5	albii 1818	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎(𝑎 ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓} → (𝐹‘𝑎) ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓}) ↔ ∀𝑎(∀𝑏 ∈ 𝑎 𝜓 → ∀𝑏 ∈ (𝐹‘𝑎)𝜓))
7	2, 6	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎(𝑎 ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓} → (𝐹‘𝑎) ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓}))
8	1, 7	setrec2v 49223	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓})
9	8	sseld 3962	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ {𝑏 ∣ 𝜓}))
10		setis.2	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜒))
11	10	elabg 3659	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝑏 ∣ 𝜓} ↔ 𝜒))
12	9, 11	mpbidi 241	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {cab 2712  ∀wral 3050   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6541  setrecscsetrecs 49210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fv 6549  df-setrecs 49211

This theorem is referenced by:  pgindnf  49243