Theorem setis 50735

Description: Version of setrec2 9958 expressed as an induction schema. This theorem is a generalization of tfis3 7858. (Contributed by Emmett Weisz, 27-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
setis.1	⊢ 𝐵 = setrecs(𝐹)
setis.2	⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜒))
setis.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑎(∀𝑏 ∈ 𝑎 𝜓 → ∀𝑏 ∈ (𝐹‘𝑎)𝜓))

Assertion

Ref	Expression
setis	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜒))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑎,𝑏   𝜓,𝑎   𝜒,𝑏   𝐴,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   𝜓(𝑏)   𝜒(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem setis

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setis.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = setrecs(𝐹)
2		setis.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎(∀𝑏 ∈ 𝑎 𝜓 → ∀𝑏 ∈ (𝐹‘𝑎)𝜓))
3		ssabral 4012	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝜓)
4		ssabral 4012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑎) ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑏 ∈ (𝐹‘𝑎)𝜓)
5	3, 4	imbi12i 353	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓} → (𝐹‘𝑎) ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓}) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝑎 𝜓 → ∀𝑏 ∈ (𝐹‘𝑎)𝜓))
6	5	albii 1852	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎(𝑎 ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓} → (𝐹‘𝑎) ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓}) ↔ ∀𝑎(∀𝑏 ∈ 𝑎 𝜓 → ∀𝑏 ∈ (𝐹‘𝑎)𝜓))
7	2, 6	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎(𝑎 ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓} → (𝐹‘𝑎) ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓}))
8	1, 7	setrec2v 9959	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ {𝑏 ∣ 𝜓})
9	8	sseld 3930	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ {𝑏 ∣ 𝜓}))
10		setis.2	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜒))
11	10	elabg 3630	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝑏 ∣ 𝜓} ↔ 𝜒))
12	9, 11	mpbidi 244	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜒))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2739  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6531  setrecscsetrecs 9945

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fv 6539  df-setrecs 9946

This theorem is used by:  pgindnf  50753