Theorem setrecsss 45230

Description: The setrecs operator respects the subset relation between two functions 𝐹 and 𝐺. (Contributed by Emmett Weisz, 13-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
setrecsss.1	⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
setrecsss.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
setrecsss	⊢ (𝜑 → setrecs(𝐹) ⊆ setrecs(𝐺))

Proof of Theorem setrecsss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. 2 ⊢ setrecs(𝐹) = setrecs(𝐹)
2		setrecsss.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐺)
3		imass1 5931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 → (𝐹 “ {𝑥}) ⊆ (𝐺 “ {𝑥}))
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ {𝑥}) ⊆ (𝐺 “ {𝑥}))
5	4	unissd 4810	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐹 “ {𝑥}) ⊆ ∪ (𝐺 “ {𝑥}))
6		setrecsss.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
7		funss 6343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 → (Fun 𝐺 → Fun 𝐹))
8	2, 6, 7	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
9		funfv 6725	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹‘𝑥) = ∪ (𝐹 “ {𝑥}))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑥) = ∪ (𝐹 “ {𝑥}))
11		funfv 6725	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐺 → (𝐺‘𝑥) = ∪ (𝐺 “ {𝑥}))
12	6, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑥) = ∪ (𝐺 “ {𝑥}))
13	5, 10, 12	3sstr4d 3962	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐺‘𝑥))
14	13	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐺‘𝑥))
15		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ setrecs(𝐺) = setrecs(𝐺)
16		vex 3444	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → 𝑥 ∈ V)
18		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → 𝑥 ⊆ setrecs(𝐺))
19	15, 17, 18	setrec1 45221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → (𝐺‘𝑥) ⊆ setrecs(𝐺))
20	14, 19	sstrd 3925	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → (𝐹‘𝑥) ⊆ setrecs(𝐺))
21	20	ex 416	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ⊆ setrecs(𝐺) → (𝐹‘𝑥) ⊆ setrecs(𝐺)))
22	21	alrimiv 1928	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ⊆ setrecs(𝐺) → (𝐹‘𝑥) ⊆ setrecs(𝐺)))
23	1, 22	setrec2v 45226	1 ⊢ (𝜑 → setrecs(𝐹) ⊆ setrecs(𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ∪ cuni 4800   “ cima 5522  Fun wfun 6318  ‘cfv 6324  setrecscsetrecs 45213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-reg 9040  ax-inf2 9088

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-r1 9177  df-rank 9178  df-setrecs 45214

This theorem is referenced by:  setrecsres  45231