Theorem setrecsss 48793

Description: The setrecs operator respects the subset relation between two functions 𝐹 and 𝐺. (Contributed by Emmett Weisz, 13-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
setrecsss.1	⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
setrecsss.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
setrecsss	⊢ (𝜑 → setrecs(𝐹) ⊆ setrecs(𝐺))

Proof of Theorem setrecsss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. 2 ⊢ setrecs(𝐹) = setrecs(𝐹)
2		setrecsss.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐺)
3		imass1 6131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 → (𝐹 “ {𝑥}) ⊆ (𝐺 “ {𝑥}))
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ {𝑥}) ⊆ (𝐺 “ {𝑥}))
5	4	unissd 4941	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐹 “ {𝑥}) ⊆ ∪ (𝐺 “ {𝑥}))
6		setrecsss.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
7		funss 6597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 → (Fun 𝐺 → Fun 𝐹))
8	2, 6, 7	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
9		funfv 7009	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹‘𝑥) = ∪ (𝐹 “ {𝑥}))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑥) = ∪ (𝐹 “ {𝑥}))
11		funfv 7009	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐺 → (𝐺‘𝑥) = ∪ (𝐺 “ {𝑥}))
12	6, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑥) = ∪ (𝐺 “ {𝑥}))
13	5, 10, 12	3sstr4d 4056	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐺‘𝑥))
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐺‘𝑥))
15		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ setrecs(𝐺) = setrecs(𝐺)
16		vex 3492	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → 𝑥 ∈ V)
18		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → 𝑥 ⊆ setrecs(𝐺))
19	15, 17, 18	setrec1 48783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → (𝐺‘𝑥) ⊆ setrecs(𝐺))
20	14, 19	sstrd 4019	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → (𝐹‘𝑥) ⊆ setrecs(𝐺))
21	20	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ⊆ setrecs(𝐺) → (𝐹‘𝑥) ⊆ setrecs(𝐺)))
22	21	alrimiv 1926	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ⊆ setrecs(𝐺) → (𝐹‘𝑥) ⊆ setrecs(𝐺)))
23	1, 22	setrec2v 48788	1 ⊢ (𝜑 → setrecs(𝐹) ⊆ setrecs(𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  {csn 4648  ∪ cuni 4931   “ cima 5703  Fun wfun 6567  ‘cfv 6573  setrecscsetrecs 48775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-reg 9661  ax-inf2 9710

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-r1 9833  df-rank 9834  df-setrecs 48776

This theorem is referenced by:  setrecsres  48794