Users' Mathboxes Mathbox for Emmett Weisz < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  setrecsss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setrecsss 49220
Description: The setrecs operator respects the subset relation between two functions 𝐹 and 𝐺. (Contributed by Emmett Weisz, 13-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
setrecsss.1 (𝜑 → Fun 𝐺)
setrecsss.2 (𝜑𝐹𝐺)
Assertion
Ref Expression
setrecsss (𝜑 → setrecs(𝐹) ⊆ setrecs(𝐺))

Proof of Theorem setrecsss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . 2 setrecs(𝐹) = setrecs(𝐹)
2 setrecsss.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝐺)
3 imass1 6119 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐺 → (𝐹 “ {𝑥}) ⊆ (𝐺 “ {𝑥}))
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 “ {𝑥}) ⊆ (𝐺 “ {𝑥}))
54unissd 4917 . . . . . . 7 (𝜑 (𝐹 “ {𝑥}) ⊆ (𝐺 “ {𝑥}))
6 setrecsss.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun 𝐺)
7 funss 6585 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐺 → (Fun 𝐺 → Fun 𝐹))
82, 6, 7sylc 65 . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐹)
9 funfv 6996 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → (𝐹𝑥) = (𝐹 “ {𝑥}))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑥) = (𝐹 “ {𝑥}))
11 funfv 6996 . . . . . . . 8 (Fun 𝐺 → (𝐺𝑥) = (𝐺 “ {𝑥}))
126, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑥) = (𝐺 “ {𝑥}))
135, 10, 123sstr4d 4039 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑥) ⊆ (𝐺𝑥))
1413adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → (𝐹𝑥) ⊆ (𝐺𝑥))
15 eqid 2737 . . . . . 6 setrecs(𝐺) = setrecs(𝐺)
16 vex 3484 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
1716a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → 𝑥 ∈ V)
18 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → 𝑥 ⊆ setrecs(𝐺))
1915, 17, 18setrec1 49210 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → (𝐺𝑥) ⊆ setrecs(𝐺))
2014, 19sstrd 3994 . . . 4 ((𝜑𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → (𝐹𝑥) ⊆ setrecs(𝐺))
2120ex 412 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ⊆ setrecs(𝐺) → (𝐹𝑥) ⊆ setrecs(𝐺)))
2221alrimiv 1927 . 2 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ⊆ setrecs(𝐺) → (𝐹𝑥) ⊆ setrecs(𝐺)))
231, 22setrec2v 49215 1 (𝜑 → setrecs(𝐹) ⊆ setrecs(𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  wss 3951  {csn 4626   cuni 4907  cima 5688  Fun wfun 6555  cfv 6561  setrecscsetrecs 49202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-r1 9804  df-rank 9805  df-setrecs 49203
This theorem is referenced by:  setrecsres  49221
  Copyright terms: Public domain W3C validator