Theorem setrecsss 49694

Description: The setrecs operator respects the subset relation between two functions 𝐹 and 𝐺. (Contributed by Emmett Weisz, 13-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
setrecsss.1	⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
setrecsss.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
setrecsss	⊢ (𝜑 → setrecs(𝐹) ⊆ setrecs(𝐺))

Proof of Theorem setrecsss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. 2 ⊢ setrecs(𝐹) = setrecs(𝐹)
2		setrecsss.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐺)
3		imass1 6075	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 → (𝐹 “ {𝑥}) ⊆ (𝐺 “ {𝑥}))
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ {𝑥}) ⊆ (𝐺 “ {𝑥}))
5	4	unissd 4884	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐹 “ {𝑥}) ⊆ ∪ (𝐺 “ {𝑥}))
6		setrecsss.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
7		funss 6538	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 → (Fun 𝐺 → Fun 𝐹))
8	2, 6, 7	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
9		funfv 6951	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹‘𝑥) = ∪ (𝐹 “ {𝑥}))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑥) = ∪ (𝐹 “ {𝑥}))
11		funfv 6951	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐺 → (𝐺‘𝑥) = ∪ (𝐺 “ {𝑥}))
12	6, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑥) = ∪ (𝐺 “ {𝑥}))
13	5, 10, 12	3sstr4d 4005	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐺‘𝑥))
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → (𝐹‘𝑥) ⊆ (𝐺‘𝑥))
15		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ setrecs(𝐺) = setrecs(𝐺)
16		vex 3454	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → 𝑥 ∈ V)
18		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → 𝑥 ⊆ setrecs(𝐺))
19	15, 17, 18	setrec1 49684	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → (𝐺‘𝑥) ⊆ setrecs(𝐺))
20	14, 19	sstrd 3960	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → (𝐹‘𝑥) ⊆ setrecs(𝐺))
21	20	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ⊆ setrecs(𝐺) → (𝐹‘𝑥) ⊆ setrecs(𝐺)))
22	21	alrimiv 1927	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ⊆ setrecs(𝐺) → (𝐹‘𝑥) ⊆ setrecs(𝐺)))
23	1, 22	setrec2v 49689	1 ⊢ (𝜑 → setrecs(𝐹) ⊆ setrecs(𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  {csn 4592  ∪ cuni 4874   “ cima 5644  Fun wfun 6508  ‘cfv 6514  setrecscsetrecs 49676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-reg 9552  ax-inf2 9601

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-r1 9724  df-rank 9725  df-setrecs 49677

This theorem is referenced by:  setrecsres  49695