Users' Mathboxes Mathbox for Emmett Weisz < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  setrecsss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setrecsss 43246
Description: The setrecs operator respects the subset relation between two functions 𝐹 and 𝐺. (Contributed by Emmett Weisz, 13-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
setrecsss.1 (𝜑 → Fun 𝐺)
setrecsss.2 (𝜑𝐹𝐺)
Assertion
Ref Expression
setrecsss (𝜑 → setrecs(𝐹) ⊆ setrecs(𝐺))

Proof of Theorem setrecsss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2799 . 2 setrecs(𝐹) = setrecs(𝐹)
2 setrecsss.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝐺)
3 imass1 5717 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐺 → (𝐹 “ {𝑥}) ⊆ (𝐺 “ {𝑥}))
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 “ {𝑥}) ⊆ (𝐺 “ {𝑥}))
54unissd 4654 . . . . . . 7 (𝜑 (𝐹 “ {𝑥}) ⊆ (𝐺 “ {𝑥}))
6 setrecsss.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun 𝐺)
7 funss 6120 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐺 → (Fun 𝐺 → Fun 𝐹))
82, 6, 7sylc 65 . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐹)
9 funfv 6490 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → (𝐹𝑥) = (𝐹 “ {𝑥}))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑥) = (𝐹 “ {𝑥}))
11 funfv 6490 . . . . . . . 8 (Fun 𝐺 → (𝐺𝑥) = (𝐺 “ {𝑥}))
126, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑥) = (𝐺 “ {𝑥}))
135, 10, 123sstr4d 3844 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑥) ⊆ (𝐺𝑥))
1413adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → (𝐹𝑥) ⊆ (𝐺𝑥))
15 eqid 2799 . . . . . 6 setrecs(𝐺) = setrecs(𝐺)
16 vex 3388 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
1716a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → 𝑥 ∈ V)
18 simpr 478 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → 𝑥 ⊆ setrecs(𝐺))
1915, 17, 18setrec1 43237 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → (𝐺𝑥) ⊆ setrecs(𝐺))
2014, 19sstrd 3808 . . . 4 ((𝜑𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → (𝐹𝑥) ⊆ setrecs(𝐺))
2120ex 402 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ⊆ setrecs(𝐺) → (𝐹𝑥) ⊆ setrecs(𝐺)))
2221alrimiv 2023 . 2 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ⊆ setrecs(𝐺) → (𝐹𝑥) ⊆ setrecs(𝐺)))
231, 22setrec2v 43242 1 (𝜑 → setrecs(𝐹) ⊆ setrecs(𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3385  wss 3769  {csn 4368   cuni 4628  cima 5315  Fun wfun 6095  cfv 6101  setrecscsetrecs 43229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-reg 8739  ax-inf2 8788
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-r1 8877  df-rank 8878  df-setrecs 43230
This theorem is referenced by:  setrecsres  43247
  Copyright terms: Public domain W3C validator