Theorem slmd0vlid 33285

Description: Left identity law for the zero vector. (hvaddlid 31081 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmd0vlid.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
slmd0vlid.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
slmd0vlid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
slmd0vlid	⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem slmd0vlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slmdmnd 33269	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝑊 ∈ Mnd)
2		slmd0vlid.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		slmd0vlid.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		slmd0vlid.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5	2, 3, 4	mndlid 18683	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 581	1 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140  +_gcplusg 17181  0_gc0g 17363  Mndcmnd 18663  SLModcslmd 33263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-0g 17365  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-cmn 19715  df-slmd 33264

This theorem is referenced by: (None)