Theorem slmd0vlid 33243

Description: Left identity law for the zero vector. (hvaddlid 31068 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmd0vlid.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
slmd0vlid.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
slmd0vlid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
slmd0vlid	⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem slmd0vlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slmdmnd 33227	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝑊 ∈ Mnd)
2		slmd0vlid.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		slmd0vlid.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		slmd0vlid.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5	2, 3, 4	mndlid 18789	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 580	1 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  Basecbs 17254  +_gcplusg 17307  0_gc0g 17495  Mndcmnd 18769  SLModcslmd 33221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pr 5441

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-dif 3969  df-un 3971  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-0g 17497  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-cmn 19824  df-slmd 33222

This theorem is referenced by: (None)