Theorem slmd0vlid 33181

Description: Left identity law for the zero vector. (hvaddlid 30958 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmd0vlid.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
slmd0vlid.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
slmd0vlid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
slmd0vlid	⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem slmd0vlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slmdmnd 33165	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝑊 ∈ Mnd)
2		slmd0vlid.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		slmd0vlid.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		slmd0vlid.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5	2, 3, 4	mndlid 18687	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 580	1 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  Basecbs 17185  +_gcplusg 17226  0_gc0g 17408  Mndcmnd 18667  SLModcslmd 33159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-dif 3919  df-un 3921  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-0g 17410  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-cmn 19718  df-slmd 33160

This theorem is referenced by: (None)