Theorem mndlid 18683

Description: The identity element of a monoid is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndlrid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndlid	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mndlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndlrid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		mndlrid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mndlrid 18682	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
5	4	simpld 494	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140  +_gcplusg 17181  0_gc0g 17363  Mndcmnd 18663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-0g 17365  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664

This theorem is referenced by:  issubmnd  18690  ress0g  18691  submnd0  18692  mndinvmod  18693  mndpsuppss  18694  prdsidlem  18698  imasmnd  18704  xpsmnd0  18707  mndvlid  18728  0subm  18746  0mhm  18748  mndind  18757  gsumccat  18770  dfgrp2  18896  grplid  18901  dfgrp3  18973  mhmid  18997  mhmmnd  18998  mulgnn0p1  19019  mulgnn0z  19035  mulgnn0dir  19038  cntzsubm  19271  oppgmnd  19287  odmodnn0  19473  lsmub2x  19580  mulgnn0di  19758  gsumval3  19840  gsumzaddlem  19854  gsumzsplit  19860  omndmul2  20066  omndmul3  20067  srgbinomlem4  20168  c0mgm  20399  c0mhm  20400  c0snmgmhm  20402  dsmmacl  21700  dmatmul  22445  mndifsplit  22584  tsmssplit  24100  mndlrinv  33087  mndlactf1  33089  mndlactfo  33090  mndlactf1o  33093  mndractf1o  33094  gsumwun  33139  cntzsnid  33143  slmd0vlid  33285  mndmolinv  42386  primrootsunit1  42388  primrootscoprmpow  42390  primrootscoprbij  42393  cznrng  48543  mndtccatid  49868