MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndlid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndlid 17919
Description: The identity element of a monoid is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
mndlrid.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p + = (+g𝐺)
mndlrid.o 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mndlid ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mndlid
StepHypRef Expression
1 mndlrid.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 mndlrid.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 mndlrid.o . . 3 0 = (0g𝐺)
41, 2, 3mndlrid 17918 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
54simpld 495 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  0gc0g 16701  Mndcmnd 17899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900
This theorem is referenced by:  issubmnd  17926  ress0g  17927  submnd0  17928  mndinvmod  17929  prdsidlem  17931  imasmnd  17937  0subm  17970  0mhm  17972  mndind  17980  gsumccatOLD  17993  gsumccat  17994  dfgrp2  18066  grplid  18071  dfgrp3  18136  mhmid  18158  mhmmnd  18159  mulgnn0p1  18177  mulgnn0z  18192  mulgnn0dir  18195  cntzsubm  18404  oppgmnd  18420  odmodnn0  18597  lsmub2x  18701  mulgnn0di  18875  gsumval3  18956  gsumzaddlem  18970  gsumzsplit  18976  srgbinomlem4  19222  dsmmacl  20813  mndvlid  20932  dmatmul  21034  mndifsplit  21173  tsmssplit  22687  cntzsnid  30623  omndmul2  30640  omndmul3  30641  slmd0vlid  30777  c0mgm  44108  c0mhm  44109  c0snmgmhm  44113  cznrng  44154  mndpsuppss  44347
  Copyright terms: Public domain W3C validator