Theorem mndlid 18645

Description: The identity element of a monoid is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndlrid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndlid	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mndlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndlrid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		mndlrid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mndlrid 18644	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
5	4	simpld 496	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  0_gc0g 17385  Mndcmnd 18625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626

This theorem is referenced by:  issubmnd  18652  ress0g  18653  submnd0  18654  mndinvmod  18655  prdsidlem  18657  imasmnd  18663  xpsmnd0  18666  0subm  18698  0mhm  18700  mndind  18709  gsumccat  18722  dfgrp2  18847  grplid  18852  dfgrp3  18922  mhmid  18946  mhmmnd  18947  mulgnn0p1  18965  mulgnn0z  18981  mulgnn0dir  18984  cntzsubm  19202  oppgmnd  19221  odmodnn0  19408  lsmub2x  19515  mulgnn0di  19693  gsumval3  19775  gsumzaddlem  19789  gsumzsplit  19795  srgbinomlem4  20052  dsmmacl  21296  mndvlid  21895  dmatmul  21999  mndifsplit  22138  tsmssplit  23656  cntzsnid  32213  omndmul2  32230  omndmul3  32231  slmd0vlid  32367  c0mgm  46708  c0mhm  46709  c0snmgmhm  46713  cznrng  46853  mndpsuppss  47047  mndtccatid  47713