Theorem mndlid 18780

Description: The identity element of a monoid is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndlrid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndlid	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mndlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndlrid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		mndlrid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mndlrid 18779	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
5	4	simpld 494	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17486  Mndcmnd 18760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761

This theorem is referenced by:  issubmnd  18787  ress0g  18788  submnd0  18789  mndinvmod  18790  mndpsuppss  18791  prdsidlem  18795  imasmnd  18801  xpsmnd0  18804  mndvlid  18825  0subm  18843  0mhm  18845  mndind  18854  gsumccat  18867  dfgrp2  18993  grplid  18998  dfgrp3  19070  mhmid  19094  mhmmnd  19095  mulgnn0p1  19116  mulgnn0z  19132  mulgnn0dir  19135  cntzsubm  19369  oppgmnd  19388  odmodnn0  19573  lsmub2x  19680  mulgnn0di  19858  gsumval3  19940  gsumzaddlem  19954  gsumzsplit  19960  srgbinomlem4  20247  c0mgm  20476  c0mhm  20477  c0snmgmhm  20479  dsmmacl  21779  dmatmul  22519  mndifsplit  22658  tsmssplit  24176  mndlrinv  33012  mndlactf1  33014  mndlactfo  33015  mndlactf1o  33018  mndractf1o  33019  gsumwun  33051  cntzsnid  33055  omndmul2  33072  omndmul3  33073  slmd0vlid  33211  mndmolinv  42077  primrootsunit1  42079  primrootscoprmpow  42081  primrootscoprbij  42084  cznrng  48105  mndtccatid  48896