Theorem mndlid 18691

Description: The identity element of a monoid is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndlrid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndlid	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mndlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndlrid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		mndlrid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mndlrid 18690	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
5	4	simpld 494	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  0_gc0g 17371  Mndcmnd 18671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672

This theorem is referenced by:  issubmnd  18698  ress0g  18699  submnd0  18700  mndinvmod  18701  mndpsuppss  18702  prdsidlem  18706  imasmnd  18712  xpsmnd0  18715  mndvlid  18736  0subm  18754  0mhm  18756  mndind  18765  gsumccat  18778  dfgrp2  18904  grplid  18909  dfgrp3  18981  mhmid  19005  mhmmnd  19006  mulgnn0p1  19027  mulgnn0z  19043  mulgnn0dir  19046  cntzsubm  19279  oppgmnd  19295  odmodnn0  19481  lsmub2x  19588  mulgnn0di  19766  gsumval3  19848  gsumzaddlem  19862  gsumzsplit  19868  omndmul2  20074  omndmul3  20075  srgbinomlem4  20176  c0mgm  20407  c0mhm  20408  c0snmgmhm  20410  dsmmacl  21708  dmatmul  22453  mndifsplit  22592  tsmssplit  24108  mndlrinv  33116  mndlactf1  33118  mndlactfo  33119  mndlactf1o  33122  mndractf1o  33123  gsumwun  33169  cntzsnid  33173  slmd0vlid  33315  mndmolinv  42462  primrootsunit1  42464  primrootscoprmpow  42466  primrootscoprbij  42469  cznrng  48618  mndtccatid  49943