Theorem mndlid 18813

Description: The identity element of a monoid is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndlrid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndlid	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mndlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndlrid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		mndlrid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mndlrid 18812	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
5	4	simpld 499	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17493  Mndcmnd 18793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794

This theorem is referenced by:  issubmnd  18820  ress0g  18821  submnd0  18822  mndinvmod  18823  mndpsuppss  18824  prdsidlem  18828  imasmnd  18834  xpsmnd0  18837  mndvlid  18858  0subm  18877  0mhm  18879  mndind  18888  gsumccat  18901  dfgrp2  19030  grplid  19035  dfgrp3  19106  mhmid  19130  mhmmnd  19131  mulgnn0p1  19152  mulgnn0z  19168  mulgnn0dir  19171  cntzsubm  19409  oppgmnd  19425  odmodnn0  19611  lsmub2x  19718  mulgnn0di  19896  gsumval3  19978  gsumzaddlem  19992  gsumzsplit  19998  omndmul2  20204  omndmul3  20205  srgbinomlem4  20312  c0mgm  20542  c0mhm  20543  c0snmgmhm  20545  dsmmacl  21872  dmatmul  22635  mndifsplit  22774  tsmssplit  24290  mndlrinv  33325  mndlactf1  33327  mndlactfo  33328  mndlactf1o  33331  mndractf1o  33332  gsumwun  33377  cntzsnid  33381  slmd0vlid  33523  mndmolinv  42843  primrootsunit1  42845  primrootscoprmpow  42847  primrootscoprbij  42850  cznrng  49009  mndtccatid  50348