Theorem mndlid 18722

Description: The identity element of a monoid is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndlrid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndlid	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mndlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndlrid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		mndlrid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mndlrid 18721	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
5	4	simpld 494	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703

This theorem is referenced by:  issubmnd  18729  ress0g  18730  submnd0  18731  mndinvmod  18732  mndpsuppss  18733  prdsidlem  18737  imasmnd  18743  xpsmnd0  18746  mndvlid  18767  0subm  18785  0mhm  18787  mndind  18796  gsumccat  18809  dfgrp2  18938  grplid  18943  dfgrp3  19015  mhmid  19039  mhmmnd  19040  mulgnn0p1  19061  mulgnn0z  19077  mulgnn0dir  19080  cntzsubm  19313  oppgmnd  19329  odmodnn0  19515  lsmub2x  19622  mulgnn0di  19800  gsumval3  19882  gsumzaddlem  19896  gsumzsplit  19902  omndmul2  20108  omndmul3  20109  srgbinomlem4  20210  c0mgm  20439  c0mhm  20440  c0snmgmhm  20442  dsmmacl  21721  dmatmul  22462  mndifsplit  22601  tsmssplit  24117  mndlrinv  33084  mndlactf1  33086  mndlactfo  33087  mndlactf1o  33090  mndractf1o  33091  gsumwun  33137  cntzsnid  33141  slmd0vlid  33283  mndmolinv  42534  primrootsunit1  42536  primrootscoprmpow  42538  primrootscoprbij  42541  cznrng  48737  mndtccatid  50062