Theorem mndlid 18720

Description: The identity element of a monoid is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndlrid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndlid	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mndlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndlrid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		mndlrid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mndlrid 18719	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
5	4	simpld 495	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218  0_gc0g 17400  Mndcmnd 18700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701

This theorem is referenced by:  issubmnd  18727  ress0g  18728  submnd0  18729  mndinvmod  18730  mndpsuppss  18731  prdsidlem  18735  imasmnd  18741  xpsmnd0  18744  mndvlid  18765  0subm  18783  0mhm  18785  mndind  18794  gsumccat  18807  dfgrp2  18936  grplid  18941  dfgrp3  19013  mhmid  19037  mhmmnd  19038  mulgnn0p1  19059  mulgnn0z  19075  mulgnn0dir  19078  cntzsubm  19311  oppgmnd  19327  odmodnn0  19513  lsmub2x  19620  mulgnn0di  19798  gsumval3  19880  gsumzaddlem  19894  gsumzsplit  19900  omndmul2  20106  omndmul3  20107  srgbinomlem4  20208  c0mgm  20437  c0mhm  20438  c0snmgmhm  20440  dsmmacl  21723  dmatmul  22487  mndifsplit  22626  tsmssplit  24142  mndlrinv  33110  mndlactf1  33112  mndlactfo  33113  mndlactf1o  33116  mndractf1o  33117  gsumwun  33164  cntzsnid  33168  slmd0vlid  33310  mndmolinv  42587  primrootsunit1  42589  primrootscoprmpow  42591  primrootscoprbij  42594  cznrng  48759  mndtccatid  50084