MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndlid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndlid 18575
Description: The identity element of a monoid is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
mndlrid.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p + = (+g𝐺)
mndlrid.o 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mndlid ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mndlid
StepHypRef Expression
1 mndlrid.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 mndlrid.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 mndlrid.o . . 3 0 = (0g𝐺)
41, 2, 3mndlrid 18574 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
54simpld 495 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7356  Basecbs 17082  +gcplusg 17132  0gc0g 17320  Mndcmnd 18555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-0g 17322  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556
This theorem is referenced by:  issubmnd  18582  ress0g  18583  submnd0  18584  mndinvmod  18585  prdsidlem  18587  imasmnd  18593  0subm  18627  0mhm  18629  mndind  18637  gsumccat  18650  dfgrp2  18774  grplid  18779  dfgrp3  18844  mhmid  18866  mhmmnd  18867  mulgnn0p1  18885  mulgnn0z  18901  mulgnn0dir  18904  cntzsubm  19114  oppgmnd  19133  odmodnn0  19320  lsmub2x  19427  mulgnn0di  19602  gsumval3  19682  gsumzaddlem  19696  gsumzsplit  19702  srgbinomlem4  19958  dsmmacl  21145  mndvlid  21740  dmatmul  21844  mndifsplit  21983  tsmssplit  23501  cntzsnid  31898  omndmul2  31915  omndmul3  31916  slmd0vlid  32052  c0mgm  46179  c0mhm  46180  c0snmgmhm  46184  cznrng  46225  mndpsuppss  46419  mndtccatid  47085
  Copyright terms: Public domain W3C validator