MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndlid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndlid 18405
Description: The identity element of a monoid is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
mndlrid.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p + = (+g𝐺)
mndlrid.o 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mndlid ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mndlid
StepHypRef Expression
1 mndlrid.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 mndlrid.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 mndlrid.o . . 3 0 = (0g𝐺)
41, 2, 3mndlrid 18404 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
54simpld 495 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +gcplusg 16962  0gc0g 17150  Mndcmnd 18385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386
This theorem is referenced by:  issubmnd  18412  ress0g  18413  submnd0  18414  mndinvmod  18415  prdsidlem  18417  imasmnd  18423  0subm  18456  0mhm  18458  mndind  18466  gsumccatOLD  18479  gsumccat  18480  dfgrp2  18604  grplid  18609  dfgrp3  18674  mhmid  18696  mhmmnd  18697  mulgnn0p1  18715  mulgnn0z  18730  mulgnn0dir  18733  cntzsubm  18942  oppgmnd  18961  odmodnn0  19148  lsmub2x  19252  mulgnn0di  19427  gsumval3  19508  gsumzaddlem  19522  gsumzsplit  19528  srgbinomlem4  19779  dsmmacl  20948  mndvlid  21542  dmatmul  21646  mndifsplit  21785  tsmssplit  23303  cntzsnid  31321  omndmul2  31338  omndmul3  31339  slmd0vlid  31475  c0mgm  45467  c0mhm  45468  c0snmgmhm  45472  cznrng  45513  mndpsuppss  45707  mndtccatid  46374
  Copyright terms: Public domain W3C validator