Theorem mndlid 18679

Description: The identity element of a monoid is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndlrid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndlid	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mndlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndlrid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		mndlrid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mndlrid 18678	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
5	4	simpld 494	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  0_gc0g 17359  Mndcmnd 18659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660

This theorem is referenced by:  issubmnd  18686  ress0g  18687  submnd0  18688  mndinvmod  18689  mndpsuppss  18690  prdsidlem  18694  imasmnd  18700  xpsmnd0  18703  mndvlid  18724  0subm  18742  0mhm  18744  mndind  18753  gsumccat  18766  dfgrp2  18892  grplid  18897  dfgrp3  18969  mhmid  18993  mhmmnd  18994  mulgnn0p1  19015  mulgnn0z  19031  mulgnn0dir  19034  cntzsubm  19267  oppgmnd  19283  odmodnn0  19469  lsmub2x  19576  mulgnn0di  19754  gsumval3  19836  gsumzaddlem  19850  gsumzsplit  19856  omndmul2  20062  omndmul3  20063  srgbinomlem4  20164  c0mgm  20395  c0mhm  20396  c0snmgmhm  20398  dsmmacl  21696  dmatmul  22441  mndifsplit  22580  tsmssplit  24096  mndlrinv  33106  mndlactf1  33108  mndlactfo  33109  mndlactf1o  33112  mndractf1o  33113  gsumwun  33158  cntzsnid  33162  slmd0vlid  33304  mndmolinv  42349  primrootsunit1  42351  primrootscoprmpow  42353  primrootscoprbij  42356  cznrng  48507  mndtccatid  49832