Theorem mndlid 18662

Description: The identity element of a monoid is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndlrid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndlid	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mndlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndlrid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		mndlrid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mndlrid 18661	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
5	4	simpld 494	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  0_gc0g 17343  Mndcmnd 18642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643

This theorem is referenced by:  issubmnd  18669  ress0g  18670  submnd0  18671  mndinvmod  18672  mndpsuppss  18673  prdsidlem  18677  imasmnd  18683  xpsmnd0  18686  mndvlid  18707  0subm  18725  0mhm  18727  mndind  18736  gsumccat  18749  dfgrp2  18875  grplid  18880  dfgrp3  18952  mhmid  18976  mhmmnd  18977  mulgnn0p1  18998  mulgnn0z  19014  mulgnn0dir  19017  cntzsubm  19251  oppgmnd  19267  odmodnn0  19453  lsmub2x  19560  mulgnn0di  19738  gsumval3  19820  gsumzaddlem  19834  gsumzsplit  19840  omndmul2  20046  omndmul3  20047  srgbinomlem4  20148  c0mgm  20378  c0mhm  20379  c0snmgmhm  20381  dsmmacl  21679  dmatmul  22413  mndifsplit  22552  tsmssplit  24068  mndlrinv  33003  mndlactf1  33005  mndlactfo  33006  mndlactf1o  33009  mndractf1o  33010  gsumwun  33043  cntzsnid  33047  slmd0vlid  33189  mndmolinv  42134  primrootsunit1  42136  primrootscoprmpow  42138  primrootscoprbij  42141  cznrng  48298  mndtccatid  49625