Theorem mndlid 18800

Description: The identity element of a monoid is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndlrid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndlid	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mndlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndlrid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		mndlrid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mndlrid 18799	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
5	4	simpld 499	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17257  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17480  Mndcmnd 18780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pr 5394

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-0g 17482  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781

This theorem is referenced by:  issubmnd  18807  ress0g  18808  submnd0  18809  mndinvmod  18810  mndpsuppss  18811  prdsidlem  18815  imasmnd  18821  xpsmnd0  18824  mndvlid  18845  0subm  18864  0mhm  18866  mndind  18875  gsumccat  18888  dfgrp2  19017  grplid  19022  dfgrp3  19093  mhmid  19117  mhmmnd  19118  mulgnn0p1  19139  mulgnn0z  19155  mulgnn0dir  19158  cntzsubm  19396  oppgmnd  19412  odmodnn0  19598  lsmub2x  19705  mulgnn0di  19883  gsumval3  19965  gsumzaddlem  19979  gsumzsplit  19985  omndmul2  20191  omndmul3  20192  srgbinomlem4  20299  c0mgm  20529  c0mhm  20530  c0snmgmhm  20532  dsmmacl  21848  dmatmul  22611  mndifsplit  22750  tsmssplit  24266  mndlrinv  33252  mndlactf1  33254  mndlactfo  33255  mndlactf1o  33258  mndractf1o  33259  gsumwun  33304  cntzsnid  33308  slmd0vlid  33450  mndmolinv  42719  primrootsunit1  42721  primrootscoprmpow  42723  primrootscoprbij  42726  cznrng  48882  mndtccatid  50217