Theorem mndlid 18949

Description: The identity element of a monoid is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndlrid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndlid	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mndlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndlrid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		mndlrid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mndlrid 18948	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
5	4	simpld 500	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  +_gcplusg 17433  0_gc0g 17615  Mndcmnd 18928

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-0g 17617  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929

This theorem is used by:  issubmnd  18958  ress0gOLD  18960  submnd0OLD  18962  mndinvmod  18963  mndpsuppss  18964  prdsidlem  18968  imasmnd  18974  xpsmnd0  18977  mndvlid  18999  0subm  19018  0mhm  19020  mndind  19029  gsumccat  19042  dfgrp2  19178  grplid  19183  dfgrp3  19254  mhmid  19278  mhmmnd  19279  mulgnn0p1  19300  mulgnn0z  19316  mulgnn0dir  19319  cntzsubm  19557  oppgmnd  19573  odmodnn0  19759  lsmub2x  19866  mulgnn0di  20044  gsumval3  20126  gsumzaddlem  20140  gsumzsplit  20146  omndmul2  20352  omndmul3  20353  srgbinomlem4  20460  c0mgm  20694  c0mhm  20695  c0snmgmhm  20697  dsmmacl  22052  dmatmul  22817  mndifsplit  22956  tsmssplit  24476  mndlrinv  33631  mndlactf1  33633  mndlactfo  33634  mndlactf1o  33637  mndractf1o  33638  gsumwun  33683  cntzsnid  33687  slmd0vlid  33829  mndmolinv  43238  primrootsunit1  43240  primrootscoprmpow  43242  primrootscoprbij  43245  cznrng  49451  mndtccatid  50818