Theorem mndlid 18685

Description: The identity element of a monoid is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndlrid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndlid	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mndlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndlrid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		mndlrid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mndlrid 18684	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
5	4	simpld 494	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  +_gcplusg 17204  0_gc0g 17392  Mndcmnd 18665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666

This theorem is referenced by:  issubmnd  18692  ress0g  18693  submnd0  18694  mndinvmod  18695  prdsidlem  18697  imasmnd  18703  xpsmnd0  18706  0subm  18740  0mhm  18742  mndind  18751  gsumccat  18764  dfgrp2  18890  grplid  18895  dfgrp3  18965  mhmid  18989  mhmmnd  18990  mulgnn0p1  19008  mulgnn0z  19024  mulgnn0dir  19027  cntzsubm  19250  oppgmnd  19269  odmodnn0  19456  lsmub2x  19563  mulgnn0di  19741  gsumval3  19823  gsumzaddlem  19837  gsumzsplit  19843  srgbinomlem4  20130  c0mgm  20357  c0mhm  20358  c0snmgmhm  20360  dsmmacl  21606  mndvlid  22215  dmatmul  22319  mndifsplit  22458  tsmssplit  23976  cntzsnid  32649  omndmul2  32666  omndmul3  32667  slmd0vlid  32803  cznrng  47098  mndpsuppss  47210  mndtccatid  47875