Theorem mndlid 18841

Description: The identity element of a monoid is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndlrid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndlid	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mndlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndlrid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		mndlrid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mndlrid 18840	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
5	4	simpld 500	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  +_gcplusg 17335  0_gc0g 17517  Mndcmnd 18821

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822

This theorem is used by:  issubmnd  18848  ress0gOLD  18850  submnd0OLD  18852  mndinvmod  18853  mndpsuppss  18854  prdsidlem  18858  imasmnd  18864  xpsmnd0  18867  mndvlid  18888  0subm  18907  0mhm  18909  mndind  18918  gsumccat  18931  dfgrp2  19060  grplid  19065  dfgrp3  19136  mhmid  19160  mhmmnd  19161  mulgnn0p1  19182  mulgnn0z  19198  mulgnn0dir  19201  cntzsubm  19439  oppgmnd  19455  odmodnn0  19641  lsmub2x  19748  mulgnn0di  19926  gsumval3  20008  gsumzaddlem  20022  gsumzsplit  20028  omndmul2  20234  omndmul3  20235  srgbinomlem4  20342  c0mgm  20574  c0mhm  20575  c0snmgmhm  20577  dsmmacl  21928  dmatmul  22691  mndifsplit  22830  tsmssplit  24346  mndlrinv  33375  mndlactf1  33377  mndlactfo  33378  mndlactf1o  33381  mndractf1o  33382  gsumwun  33427  cntzsnid  33431  slmd0vlid  33573  mndmolinv  42903  primrootsunit1  42905  primrootscoprmpow  42907  primrootscoprbij  42910  cznrng  49067  mndtccatid  50406