Theorem mndlid 18646

Description: The identity element of a monoid is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndlrid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndlid	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mndlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndlrid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		mndlrid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mndlrid 18645	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
5	4	simpld 494	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  0_gc0g 17361  Mndcmnd 18626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627

This theorem is referenced by:  issubmnd  18653  ress0g  18654  submnd0  18655  mndinvmod  18656  mndpsuppss  18657  prdsidlem  18661  imasmnd  18667  xpsmnd0  18670  mndvlid  18691  0subm  18709  0mhm  18711  mndind  18720  gsumccat  18733  dfgrp2  18859  grplid  18864  dfgrp3  18936  mhmid  18960  mhmmnd  18961  mulgnn0p1  18982  mulgnn0z  18998  mulgnn0dir  19001  cntzsubm  19235  oppgmnd  19251  odmodnn0  19437  lsmub2x  19544  mulgnn0di  19722  gsumval3  19804  gsumzaddlem  19818  gsumzsplit  19824  omndmul2  20030  omndmul3  20031  srgbinomlem4  20132  c0mgm  20362  c0mhm  20363  c0snmgmhm  20365  dsmmacl  21666  dmatmul  22400  mndifsplit  22539  tsmssplit  24055  mndlrinv  32991  mndlactf1  32993  mndlactfo  32994  mndlactf1o  32997  mndractf1o  32998  gsumwun  33031  cntzsnid  33035  slmd0vlid  33177  mndmolinv  42071  primrootsunit1  42073  primrootscoprmpow  42075  primrootscoprbij  42078  cznrng  48249  mndtccatid  49576