Theorem mndlid 18778

Description: The identity element of a monoid is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndlrid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndlid	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mndlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndlrid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		mndlrid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mndlrid 18777	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
5	4	simpld 498	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Basecbs 17235  +_gcplusg 17276  0_gc0g 17458  Mndcmnd 18758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-0g 17460  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759

This theorem is referenced by:  issubmnd  18785  ress0g  18786  submnd0  18787  mndinvmod  18788  mndpsuppss  18789  prdsidlem  18793  imasmnd  18799  xpsmnd0  18802  mndvlid  18823  0subm  18841  0mhm  18843  mndind  18852  gsumccat  18865  dfgrp2  18994  grplid  18999  dfgrp3  19071  mhmid  19095  mhmmnd  19096  mulgnn0p1  19117  mulgnn0z  19133  mulgnn0dir  19136  cntzsubm  19368  oppgmnd  19384  odmodnn0  19570  lsmub2x  19677  mulgnn0di  19855  gsumval3  19937  gsumzaddlem  19951  gsumzsplit  19957  omndmul2  20163  omndmul3  20164  srgbinomlem4  20265  c0mgm  20494  c0mhm  20495  c0snmgmhm  20497  dsmmacl  21780  dmatmul  22544  mndifsplit  22683  tsmssplit  24199  mndlrinv  33162  mndlactf1  33164  mndlactfo  33165  mndlactf1o  33168  mndractf1o  33169  gsumwun  33216  cntzsnid  33220  slmd0vlid  33362  mndmolinv  42672  primrootsunit1  42674  primrootscoprmpow  42676  primrootscoprbij  42679  cznrng  48843  mndtccatid  50168