Theorem mndlid 18666

Description: The identity element of a monoid is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndlrid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndlid	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mndlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndlrid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		mndlrid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mndlrid 18665	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
5	4	simpld 494	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  Basecbs 17124  +_gcplusg 17165  0_gc0g 17347  Mndcmnd 18646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-0g 17349  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647

This theorem is referenced by:  issubmnd  18673  ress0g  18674  submnd0  18675  mndinvmod  18676  mndpsuppss  18677  prdsidlem  18681  imasmnd  18687  xpsmnd0  18690  mndvlid  18711  0subm  18729  0mhm  18731  mndind  18740  gsumccat  18753  dfgrp2  18879  grplid  18884  dfgrp3  18956  mhmid  18980  mhmmnd  18981  mulgnn0p1  19002  mulgnn0z  19018  mulgnn0dir  19021  cntzsubm  19254  oppgmnd  19270  odmodnn0  19456  lsmub2x  19563  mulgnn0di  19741  gsumval3  19823  gsumzaddlem  19837  gsumzsplit  19843  omndmul2  20049  omndmul3  20050  srgbinomlem4  20151  c0mgm  20381  c0mhm  20382  c0snmgmhm  20384  dsmmacl  21682  dmatmul  22415  mndifsplit  22554  tsmssplit  24070  mndlrinv  33014  mndlactf1  33016  mndlactfo  33017  mndlactf1o  33020  mndractf1o  33021  gsumwun  33054  cntzsnid  33058  slmd0vlid  33200  mndmolinv  42211  primrootsunit1  42213  primrootscoprmpow  42215  primrootscoprbij  42218  cznrng  48388  mndtccatid  49715