Theorem mndlid 17623

Description: The identity element of a monoid is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndlrid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndlid	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mndlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndlrid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		mndlrid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mndlrid 17622	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
5	4	simpld 489	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ‘cfv 6099  (class class class)co 6876  Basecbs 16181  +_gcplusg 16264  0_gc0g 16412  Mndcmnd 17606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-0g 16414  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607

This theorem is referenced by:  issubmnd  17630  ress0g  17631  submnd0  17632  prdsidlem  17634  imasmnd  17640  0mhm  17670  mrcmndind  17678  gsumccat  17690  dfgrp2  17760  grplid  17765  dfgrp3  17827  mhmid  17849  mhmmnd  17850  mulgnn0p1  17865  mulgnn0z  17879  mulgnn0dir  17882  cntzsubm  18077  oppgmnd  18093  odmodnn0  18269  lsmub2x  18372  mulgnn0di  18543  gsumval3  18620  gsumzaddlem  18633  gsumzsplit  18639  srgbinomlem4  18856  dsmmacl  20407  mndvlid  20521  dmatmul  20626  mndifsplit  20765  tsmssplit  22280  omndmul2  30220  omndmul3  30221  slmd0vlid  30283  c0mgm  42696  c0mhm  42697  c0snmgmhm  42701  cznrng  42742  mndpsuppss  42939