Theorem mndlid 18976

Description: The identity element of a monoid is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndlrid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndlid	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mndlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndlrid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		mndlrid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mndlrid 18975	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
5	4	simpld 500	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419  +_gcplusg 17460  0_gc0g 17642  Mndcmnd 18955

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956

This theorem is used by:  issubmnd  18985  ress0gOLD  18987  submnd0OLD  18989  mndinvmod  18990  mndpsuppss  18991  prdsidlem  18995  imasmnd  19001  xpsmnd0  19004  mndvlid  19026  0subm  19045  0mhm  19047  mndind  19056  gsumccat  19069  dfgrp2  19205  grplid  19210  dfgrp3  19281  mhmid  19305  mhmmnd  19306  mulgnn0p1  19327  mulgnn0z  19343  mulgnn0dir  19346  cntzsubm  19585  oppgmnd  19601  odmodnn0  19787  lsmub2x  19894  mulgnn0di  20072  gsumval3  20154  gsumzaddlem  20168  gsumzsplit  20174  omndmul2  20380  omndmul3  20381  srgbinomlem4  20488  c0mgm  20722  c0mhm  20723  c0snmgmhm  20725  dsmmacl  22080  dmatmul  22845  mndifsplit  22984  tsmssplit  24504  mndlrinv  33661  mndlactf1  33663  mndlactfo  33664  mndlactf1o  33667  mndractf1o  33668  gsumwun  33713  cntzsnid  33717  slmd0vlid  33859  mndmolinv  43348  primrootsunit1  43350  primrootscoprmpow  43352  primrootscoprbij  43355  cznrng  49573  mndtccatid  50940