Theorem slmd0vcl 33565

Description: The zero vector is a vector. (ax-hv0cl 31385 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmd0vcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
slmd0vcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
slmd0vcl	⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 0 ∈ 𝑉)

Proof of Theorem slmd0vcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slmdmnd 33550	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝑊 ∈ Mnd)
2		slmd0vcl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		slmd0vcl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4	2, 3	mndidcl 18832	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝑉)
5	1, 4	syl 18	1 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 0 ∈ 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  Basecbs 17294  0_gc0g 17517  Mndcmnd 18817  SLModcslmd 33544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18802  df-mnd 18818  df-cmn 19877  df-slmd 33545

This theorem is used by:  slmdvs0  33569