Theorem slmd0vcl 33218

Description: The zero vector is a vector. (ax-hv0cl 30984 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmd0vcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
slmd0vcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
slmd0vcl	⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 0 ∈ 𝑉)

Proof of Theorem slmd0vcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slmdmnd 33203	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝑊 ∈ Mnd)
2		slmd0vcl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		slmd0vcl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4	2, 3	mndidcl 18727	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝑉)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 0 ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  Basecbs 17228  0_gc0g 17453  Mndcmnd 18712  SLModcslmd 33197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-cmn 19763  df-slmd 33198

This theorem is referenced by:  slmdvs0  33222