Theorem slmd0vcl 32949

Description: The zero vector is a vector. (ax-hv0cl 30833 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmd0vcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
slmd0vcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
slmd0vcl	⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 0 ∈ 𝑉)

Proof of Theorem slmd0vcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slmdmnd 32934	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝑊 ∈ Mnd)
2		slmd0vcl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		slmd0vcl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4	2, 3	mndidcl 18716	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝑉)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 0 ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6553  Basecbs 17187  0_gc0g 17428  Mndcmnd 18701  SLModcslmd 32928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-cmn 19744  df-slmd 32929

This theorem is referenced by:  slmdvs0  32953