Theorem slmd0vcl 33085

Description: The zero vector is a vector. (ax-hv0cl 30936 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmd0vcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
slmd0vcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
slmd0vcl	⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 0 ∈ 𝑉)

Proof of Theorem slmd0vcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slmdmnd 33070	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝑊 ∈ Mnd)
2		slmd0vcl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		slmd0vcl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4	2, 3	mndidcl 18742	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝑉)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 0 ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6554  Basecbs 17213  0_gc0g 17454  Mndcmnd 18727  SLModcslmd 33064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pr 5433

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-cmn 19780  df-slmd 33065

This theorem is referenced by:  slmdvs0  33089