MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrtval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrtval 15187
Description: Value of square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sqrtval (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem sqrtval
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2738 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด))
213anbi1d 1436 . . 3 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (((๐‘ฅโ†‘2) = ๐‘ฆ โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โ†” ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
32riotabidv 7362 . 2 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐‘ฆ โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
4 df-sqrt 15185 . 2 โˆš = (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐‘ฆ โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
5 riotaex 7364 . 2 (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆˆ V
63, 4, 5fvmpt 6991 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โˆ‰ wnel 3040   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6536  โ„ฉcrio 7359  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  0cc0 11109  ici 11111   ยท cmul 11114   โ‰ค cle 11250  2c2 12268  โ„+crp 12977  โ†‘cexp 14029  โ„œcre 15047  โˆšcsqrt 15183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fv 6544  df-riota 7360  df-sqrt 15185
This theorem is referenced by:  sqrt0  15191  resqrtcl  15203  resqrtthlem  15204  sqrtneg  15217  sqrtcl  15311  sqrtthlem  15312
  Copyright terms: Public domain W3C validator