Theorem sqrtval 15172

Description: Value of square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem sqrtval

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2749	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥↑2) = 𝑦 ↔ (𝑥↑2) = 𝐴))
2	1	3anbi1d 1443	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝑥↑2) = 𝑦 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
3	2	riotabidv 7327	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝑦 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
4		df-sqrt 15170	. 2 ⊢ √ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝑦 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
5		riotaex 7329	. 2 ⊢ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6949	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  ℩crio 7324  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  ici 11040   · cmul 11043   ≤ cle 11179  2c2 12212  ℝ⁺crp 12917  ↑cexp 13996  ℜcre 15032  √csqrt 15168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-riota 7325  df-sqrt 15170

This theorem is referenced by:  sqrt0  15176  resqrtcl  15188  resqrtthlem  15189  sqrtneg  15202  sqrtcl  15297  sqrtthlem  15298