![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > sqrtval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
sqrtval | โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) = (โฉ๐ฅ โ โ ((๐ฅโ2) = ๐ด โง 0 โค (โโ๐ฅ) โง (i ยท ๐ฅ) โ โ+))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eqeq2 2748 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ด โ ((๐ฅโ2) = ๐ฆ โ (๐ฅโ2) = ๐ด)) | |
2 | 1 | 3anbi1d 1440 | . . 3 โข (๐ฆ = ๐ด โ (((๐ฅโ2) = ๐ฆ โง 0 โค (โโ๐ฅ) โง (i ยท ๐ฅ) โ โ+) โ ((๐ฅโ2) = ๐ด โง 0 โค (โโ๐ฅ) โง (i ยท ๐ฅ) โ โ+))) |
3 | 2 | riotabidv 7315 | . 2 โข (๐ฆ = ๐ด โ (โฉ๐ฅ โ โ ((๐ฅโ2) = ๐ฆ โง 0 โค (โโ๐ฅ) โง (i ยท ๐ฅ) โ โ+)) = (โฉ๐ฅ โ โ ((๐ฅโ2) = ๐ด โง 0 โค (โโ๐ฅ) โง (i ยท ๐ฅ) โ โ+))) |
4 | df-sqrt 15120 | . 2 โข โ = (๐ฆ โ โ โฆ (โฉ๐ฅ โ โ ((๐ฅโ2) = ๐ฆ โง 0 โค (โโ๐ฅ) โง (i ยท ๐ฅ) โ โ+))) | |
5 | riotaex 7317 | . 2 โข (โฉ๐ฅ โ โ ((๐ฅโ2) = ๐ด โง 0 โค (โโ๐ฅ) โง (i ยท ๐ฅ) โ โ+)) โ V | |
6 | 3, 4, 5 | fvmpt 6948 | 1 โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) = (โฉ๐ฅ โ โ ((๐ฅโ2) = ๐ด โง 0 โค (โโ๐ฅ) โง (i ยท ๐ฅ) โ โ+))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1087 = wceq 1541 โ wcel 2106 โ wnel 3049 class class class wbr 5105 โcfv 6496 โฉcrio 7312 (class class class)co 7357 โcc 11049 0cc0 11051 ici 11053 ยท cmul 11056 โค cle 11190 2c2 12208 โ+crp 12915 โcexp 13967 โcre 14982 โcsqrt 15118 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pr 5384 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-ral 3065 df-rex 3074 df-rab 3408 df-v 3447 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-nul 4283 df-if 4487 df-sn 4587 df-pr 4589 df-op 4593 df-uni 4866 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5189 df-id 5531 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fv 6504 df-riota 7313 df-sqrt 15120 |
This theorem is referenced by: sqrt0 15126 resqrtcl 15138 resqrtthlem 15139 sqrtneg 15152 sqrtcl 15246 sqrtthlem 15247 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |