![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > sqrtval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
sqrtval | โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) = (โฉ๐ฅ โ โ ((๐ฅโ2) = ๐ด โง 0 โค (โโ๐ฅ) โง (i ยท ๐ฅ) โ โ+))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eqeq2 2738 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ด โ ((๐ฅโ2) = ๐ฆ โ (๐ฅโ2) = ๐ด)) | |
2 | 1 | 3anbi1d 1436 | . . 3 โข (๐ฆ = ๐ด โ (((๐ฅโ2) = ๐ฆ โง 0 โค (โโ๐ฅ) โง (i ยท ๐ฅ) โ โ+) โ ((๐ฅโ2) = ๐ด โง 0 โค (โโ๐ฅ) โง (i ยท ๐ฅ) โ โ+))) |
3 | 2 | riotabidv 7362 | . 2 โข (๐ฆ = ๐ด โ (โฉ๐ฅ โ โ ((๐ฅโ2) = ๐ฆ โง 0 โค (โโ๐ฅ) โง (i ยท ๐ฅ) โ โ+)) = (โฉ๐ฅ โ โ ((๐ฅโ2) = ๐ด โง 0 โค (โโ๐ฅ) โง (i ยท ๐ฅ) โ โ+))) |
4 | df-sqrt 15185 | . 2 โข โ = (๐ฆ โ โ โฆ (โฉ๐ฅ โ โ ((๐ฅโ2) = ๐ฆ โง 0 โค (โโ๐ฅ) โง (i ยท ๐ฅ) โ โ+))) | |
5 | riotaex 7364 | . 2 โข (โฉ๐ฅ โ โ ((๐ฅโ2) = ๐ด โง 0 โค (โโ๐ฅ) โง (i ยท ๐ฅ) โ โ+)) โ V | |
6 | 3, 4, 5 | fvmpt 6991 | 1 โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) = (โฉ๐ฅ โ โ ((๐ฅโ2) = ๐ด โง 0 โค (โโ๐ฅ) โง (i ยท ๐ฅ) โ โ+))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wnel 3040 class class class wbr 5141 โcfv 6536 โฉcrio 7359 (class class class)co 7404 โcc 11107 0cc0 11109 ici 11111 ยท cmul 11114 โค cle 11250 2c2 12268 โ+crp 12977 โcexp 14029 โcre 15047 โcsqrt 15183 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pr 5420 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rab 3427 df-v 3470 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fv 6544 df-riota 7360 df-sqrt 15185 |
This theorem is referenced by: sqrt0 15191 resqrtcl 15203 resqrtthlem 15204 sqrtneg 15217 sqrtcl 15311 sqrtthlem 15312 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |