MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrtval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrtval 15224
Description: Value of square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sqrtval (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem sqrtval
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2740 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด))
213anbi1d 1436 . . 3 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (((๐‘ฅโ†‘2) = ๐‘ฆ โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โ†” ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
32riotabidv 7384 . 2 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐‘ฆ โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
4 df-sqrt 15222 . 2 โˆš = (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐‘ฆ โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
5 riotaex 7386 . 2 (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆˆ V
63, 4, 5fvmpt 7010 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โˆ‰ wnel 3043   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  โ„ฉcrio 7381  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  0cc0 11146  ici 11148   ยท cmul 11151   โ‰ค cle 11287  2c2 12305  โ„+crp 13014  โ†‘cexp 14066  โ„œcre 15084  โˆšcsqrt 15220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fv 6561  df-riota 7382  df-sqrt 15222
This theorem is referenced by:  sqrt0  15228  resqrtcl  15240  resqrtthlem  15241  sqrtneg  15254  sqrtcl  15348  sqrtthlem  15349
  Copyright terms: Public domain W3C validator