MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrtval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrtval 15122
Description: Value of square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sqrtval (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem sqrtval
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2748 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด))
213anbi1d 1440 . . 3 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (((๐‘ฅโ†‘2) = ๐‘ฆ โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โ†” ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
32riotabidv 7315 . 2 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐‘ฆ โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
4 df-sqrt 15120 . 2 โˆš = (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐‘ฆ โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
5 riotaex 7317 . 2 (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โˆˆ V
63, 4, 5fvmpt 6948 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โˆ‰ wnel 3049   class class class wbr 5105  โ€˜cfv 6496  โ„ฉcrio 7312  (class class class)co 7357  โ„‚cc 11049  0cc0 11051  ici 11053   ยท cmul 11056   โ‰ค cle 11190  2c2 12208  โ„+crp 12915  โ†‘cexp 13967  โ„œcre 14982  โˆšcsqrt 15118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fv 6504  df-riota 7313  df-sqrt 15120
This theorem is referenced by:  sqrt0  15126  resqrtcl  15138  resqrtthlem  15139  sqrtneg  15152  sqrtcl  15246  sqrtthlem  15247
  Copyright terms: Public domain W3C validator