![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > sqrtval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
sqrtval | โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) = (โฉ๐ฅ โ โ ((๐ฅโ2) = ๐ด โง 0 โค (โโ๐ฅ) โง (i ยท ๐ฅ) โ โ+))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eqeq2 2740 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ด โ ((๐ฅโ2) = ๐ฆ โ (๐ฅโ2) = ๐ด)) | |
2 | 1 | 3anbi1d 1436 | . . 3 โข (๐ฆ = ๐ด โ (((๐ฅโ2) = ๐ฆ โง 0 โค (โโ๐ฅ) โง (i ยท ๐ฅ) โ โ+) โ ((๐ฅโ2) = ๐ด โง 0 โค (โโ๐ฅ) โง (i ยท ๐ฅ) โ โ+))) |
3 | 2 | riotabidv 7384 | . 2 โข (๐ฆ = ๐ด โ (โฉ๐ฅ โ โ ((๐ฅโ2) = ๐ฆ โง 0 โค (โโ๐ฅ) โง (i ยท ๐ฅ) โ โ+)) = (โฉ๐ฅ โ โ ((๐ฅโ2) = ๐ด โง 0 โค (โโ๐ฅ) โง (i ยท ๐ฅ) โ โ+))) |
4 | df-sqrt 15222 | . 2 โข โ = (๐ฆ โ โ โฆ (โฉ๐ฅ โ โ ((๐ฅโ2) = ๐ฆ โง 0 โค (โโ๐ฅ) โง (i ยท ๐ฅ) โ โ+))) | |
5 | riotaex 7386 | . 2 โข (โฉ๐ฅ โ โ ((๐ฅโ2) = ๐ด โง 0 โค (โโ๐ฅ) โง (i ยท ๐ฅ) โ โ+)) โ V | |
6 | 3, 4, 5 | fvmpt 7010 | 1 โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) = (โฉ๐ฅ โ โ ((๐ฅโ2) = ๐ด โง 0 โค (โโ๐ฅ) โง (i ยท ๐ฅ) โ โ+))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wnel 3043 class class class wbr 5152 โcfv 6553 โฉcrio 7381 (class class class)co 7426 โcc 11144 0cc0 11146 ici 11148 ยท cmul 11151 โค cle 11287 2c2 12305 โ+crp 13014 โcexp 14066 โcre 15084 โcsqrt 15220 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pr 5433 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rab 3431 df-v 3475 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4327 df-if 4533 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-id 5580 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fv 6561 df-riota 7382 df-sqrt 15222 |
This theorem is referenced by: sqrt0 15228 resqrtcl 15240 resqrtthlem 15241 sqrtneg 15254 sqrtcl 15348 sqrtthlem 15349 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |