Theorem sqrtval 15384

Description: Value of square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem sqrtval

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2773	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑥↑2) = 𝑦 ↔ (𝑥↑2) = 𝐴))
2	1	3anbi1d 1468	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝑥↑2) = 𝑦 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
3	2	riotabidv 7371	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝑦 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
4		df-sqrt 15382	. 2 ⊢ √ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝑦 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
5		riotaex 7373	. 2 ⊢ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6985	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3062   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  ℩crio 7368  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  ici 11183   · cmul 11186   ≤ cle 11325  2c2 12378  ℝ⁺crp 13101  ↑cexp 14184  ℜcre 15244  √csqrt 15380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fv 6539  df-riota 7369  df-sqrt 15382

This theorem is used by:  sqrt0  15388  resqrtcl  15400  resqrtthlem  15401  sqrtneg  15414  sqrtcl  15509  sqrtthlem  15510