Theorem resqrtcl 14605

Description: Closure of the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
resqrtcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqrtcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrex 14602	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴))
2		simp1l 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		recn 10616	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4		sqrtval 14588	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
5	2, 3, 4	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → (√‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
6		simp3r 1199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → (𝑦↑2) = 𝐴)
7		simp3l 1198	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → 0 ≤ 𝑦)
8		rere 14473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (ℜ‘𝑦) = 𝑦)
9	8	3ad2ant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → (ℜ‘𝑦) = 𝑦)
10	7, 9	breqtrrd 5058	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘𝑦))
11		rennim 14590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · 𝑦) ∉ ℝ+)
12	11	3ad2ant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → (i · 𝑦) ∉ ℝ+)
13	6, 10, 12	3jca 1125	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))
14		recn 10616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
15	14	3ad2ant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℂ)
16		resqreu 14604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
17	16	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
18		oveq1 7142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
19	18	eqeq1d 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥↑2) = 𝐴 ↔ (𝑦↑2) = 𝐴))
20		fveq2 6645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘𝑦))
21	20	breq2d 5042	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘𝑦)))
22		oveq2 7143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (i · 𝑥) = (i · 𝑦))
23		neleq1 3096	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · 𝑥) = (i · 𝑦) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))
25	19, 21, 24	3anbi123d 1433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)))
26	25	riota2 7118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) → (((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+) ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = 𝑦))
27	15, 17, 26	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → (((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+) ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = 𝑦))
28	13, 27	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = 𝑦)
29	5, 28	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → (√‘𝐴) = 𝑦)
30		simp2 1134	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
31	29, 30	eqeltrd 2890	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
32	31	rexlimdv3a 3245	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ))
33	1, 32	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3091  ∃wrex 3107  ∃!wreu 3108   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  ℩crio 7092  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  ici 10528   · cmul 10531   ≤ cle 10665  2c2 11680  ℝ⁺crp 12377  ↑cexp 13425  ℜcre 14448  √csqrt 14584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586

This theorem is referenced by:  resqrtthlem  14606  remsqsqrt  14608  sqrtge0  14609  sqrtgt0  14610  sqrtmul  14611  sqrtle  14612  sqrtlt  14613  sqrt11  14614  rpsqrtcl  14616  sqrtdiv  14617  sqrtneglem  14618  sqrtneg  14619  sqrtsq2  14620  abscl  14630  sqreulem  14711  sqreu  14712  amgm2  14721  sqrtcli  14723  resqrtcld  14769  resqrtcn  25338  loglesqrt  25347  1cubrlem  25427  ftc1anclem3  35132  sqrtpwpw2p  44055  flsqrt  44110  requad1  44140  itsclc0lem1  45170  itsclc0lem2  45171