MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqrtcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resqrtcl 15147
Description: Closure of the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
resqrtcl ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)

Proof of Theorem resqrtcl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrex 15144 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด))
2 simp1l 1198 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3 recn 11149 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4 sqrtval 15131 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
52, 3, 43syl 18 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
6 simp3r 1203 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)
7 simp3l 1202 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฆ)
8 rere 15016 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (โ„œโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฆ)
983ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฆ)
107, 9breqtrrd 5137 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ))
11 rennim 15133 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)
12113ad2ant2 1135 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)
136, 10, 123jca 1129 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))
14 recn 11149 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
15143ad2ant2 1135 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
16 resqreu 15146 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
17163ad2ant1 1134 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
18 oveq1 7368 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = (๐‘ฆโ†‘2))
1918eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โ†” (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด))
20 fveq2 6846 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โ„œโ€˜๐‘ฅ) = (โ„œโ€˜๐‘ฆ))
2120breq2d 5121 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โ†” 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ)))
22 oveq2 7369 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (i ยท ๐‘ฅ) = (i ยท ๐‘ฆ))
23 neleq1 3051 . . . . . . . . . 10 ((i ยท ๐‘ฅ) = (i ยท ๐‘ฆ) โ†’ ((i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+ โ†” (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+ โ†” (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))
2519, 21, 243anbi123d 1437 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โ†” ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)))
2625riota2 7343 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โ†’ (((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+) โ†” (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) = ๐‘ฆ))
2715, 17, 26syl2anc 585 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ (((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+) โ†” (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) = ๐‘ฆ))
2813, 27mpbid 231 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) = ๐‘ฆ)
295, 28eqtrd 2773 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) = ๐‘ฆ)
30 simp2 1138 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
3129, 30eqeltrd 2834 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
3231rexlimdv3a 3153 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด) โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„))
331, 32mpd 15 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆ‰ wnel 3046  โˆƒwrex 3070  โˆƒ!wreu 3350   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  โ„ฉcrio 7316  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  ici 11061   ยท cmul 11064   โ‰ค cle 11198  2c2 12216  โ„+crp 12923  โ†‘cexp 13976  โ„œcre 14991  โˆšcsqrt 15127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129
This theorem is referenced by:  resqrtthlem  15148  remsqsqrt  15150  sqrtge0  15151  sqrtgt0  15152  sqrtmul  15153  sqrtle  15154  sqrtlt  15155  sqrt11  15156  rpsqrtcl  15158  sqrtdiv  15159  sqrtneglem  15160  sqrtneg  15161  sqrtsq2  15162  abscl  15172  sqreulem  15253  sqreu  15254  amgm2  15263  sqrtcli  15265  resqrtcld  15311  resqrtcn  26125  loglesqrt  26134  1cubrlem  26214  ftc1anclem3  36203  sqrtpwpw2p  45820  flsqrt  45875  requad1  45904  itsclc0lem1  46932  itsclc0lem2  46933
  Copyright terms: Public domain W3C validator