MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqrtcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resqrtcl 15137
Description: Closure of the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
resqrtcl ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqrtcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrex 15134 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴))
2 simp1l 1197 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 recn 11140 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4 sqrtval 15121 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
52, 3, 43syl 18 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → (√‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
6 simp3r 1202 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → (𝑦↑2) = 𝐴)
7 simp3l 1201 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → 0 ≤ 𝑦)
8 rere 15006 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (ℜ‘𝑦) = 𝑦)
983ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → (ℜ‘𝑦) = 𝑦)
107, 9breqtrrd 5133 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘𝑦))
11 rennim 15123 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (i · 𝑦) ∉ ℝ+)
12113ad2ant2 1134 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → (i · 𝑦) ∉ ℝ+)
136, 10, 123jca 1128 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))
14 recn 11140 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
15143ad2ant2 1134 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℂ)
16 resqreu 15136 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
17163ad2ant1 1133 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
18 oveq1 7363 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
1918eqeq1d 2738 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥↑2) = 𝐴 ↔ (𝑦↑2) = 𝐴))
20 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘𝑦))
2120breq2d 5117 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘𝑦)))
22 oveq2 7364 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (i · 𝑥) = (i · 𝑦))
23 neleq1 3054 . . . . . . . . . 10 ((i · 𝑥) = (i · 𝑦) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · 𝑦) ∉ ℝ+))
2519, 21, 243anbi123d 1436 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)))
2625riota2 7338 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) → (((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = 𝑦))
2715, 17, 26syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → (((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = 𝑦))
2813, 27mpbid 231 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = 𝑦)
295, 28eqtrd 2776 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → (√‘𝐴) = 𝑦)
30 simp2 1137 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
3129, 30eqeltrd 2838 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
3231rexlimdv3a 3156 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦↑2) = 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ))
331, 32mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wnel 3049  wrex 3073  ∃!wreu 3351   class class class wbr 5105  cfv 6496  crio 7311  (class class class)co 7356  cc 11048  cr 11049  0cc0 11050  ici 11052   · cmul 11055  cle 11189  2c2 12207  +crp 12914  cexp 13966  cre 14981  csqrt 15117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-pre-sup 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-sup 9377  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-n0 12413  df-z 12499  df-uz 12763  df-rp 12915  df-seq 13906  df-exp 13967  df-cj 14983  df-re 14984  df-im 14985  df-sqrt 15119
This theorem is referenced by:  resqrtthlem  15138  remsqsqrt  15140  sqrtge0  15141  sqrtgt0  15142  sqrtmul  15143  sqrtle  15144  sqrtlt  15145  sqrt11  15146  rpsqrtcl  15148  sqrtdiv  15149  sqrtneglem  15150  sqrtneg  15151  sqrtsq2  15152  abscl  15162  sqreulem  15243  sqreu  15244  amgm2  15253  sqrtcli  15255  resqrtcld  15301  resqrtcn  26100  loglesqrt  26109  1cubrlem  26189  ftc1anclem3  36144  sqrtpwpw2p  45702  flsqrt  45757  requad1  45786  itsclc0lem1  46814  itsclc0lem2  46815
  Copyright terms: Public domain W3C validator