MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqrtcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resqrtcl 15202
Description: Closure of the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
resqrtcl ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)

Proof of Theorem resqrtcl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrex 15199 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด))
2 simp1l 1194 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3 recn 11197 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4 sqrtval 15186 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
52, 3, 43syl 18 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
6 simp3r 1199 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)
7 simp3l 1198 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฆ)
8 rere 15071 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (โ„œโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฆ)
983ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฆ)
107, 9breqtrrd 5167 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ))
11 rennim 15188 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)
12113ad2ant2 1131 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)
136, 10, 123jca 1125 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))
14 recn 11197 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
15143ad2ant2 1131 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
16 resqreu 15201 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
17163ad2ant1 1130 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
18 oveq1 7409 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = (๐‘ฆโ†‘2))
1918eqeq1d 2726 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โ†” (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด))
20 fveq2 6882 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โ„œโ€˜๐‘ฅ) = (โ„œโ€˜๐‘ฆ))
2120breq2d 5151 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โ†” 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ)))
22 oveq2 7410 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (i ยท ๐‘ฅ) = (i ยท ๐‘ฆ))
23 neleq1 3044 . . . . . . . . . 10 ((i ยท ๐‘ฅ) = (i ยท ๐‘ฆ) โ†’ ((i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+ โ†” (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+ โ†” (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+))
2519, 21, 243anbi123d 1432 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โ†” ((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+)))
2625riota2 7384 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โ†’ (((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+) โ†” (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) = ๐‘ฆ))
2715, 17, 26syl2anc 583 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ (((๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฆ) โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆ‰ โ„+) โ†” (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) = ๐‘ฆ))
2813, 27mpbid 231 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) = ๐‘ฆ)
295, 28eqtrd 2764 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) = ๐‘ฆ)
30 simp2 1134 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
3129, 30eqeltrd 2825 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
3231rexlimdv3a 3151 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆโ†‘2) = ๐ด) โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„))
331, 32mpd 15 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โˆ‰ wnel 3038  โˆƒwrex 3062  โˆƒ!wreu 3366   class class class wbr 5139  โ€˜cfv 6534  โ„ฉcrio 7357  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  โ„cr 11106  0cc0 11107  ici 11109   ยท cmul 11112   โ‰ค cle 11248  2c2 12266  โ„+crp 12975  โ†‘cexp 14028  โ„œcre 15046  โˆšcsqrt 15182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184
This theorem is referenced by:  resqrtthlem  15203  remsqsqrt  15205  sqrtge0  15206  sqrtgt0  15207  sqrtmul  15208  sqrtle  15209  sqrtlt  15210  sqrt11  15211  rpsqrtcl  15213  sqrtdiv  15214  sqrtneglem  15215  sqrtneg  15216  sqrtsq2  15217  abscl  15227  sqreulem  15308  sqreu  15309  amgm2  15318  sqrtcli  15320  resqrtcld  15366  resqrtcn  26624  loglesqrt  26633  1cubrlem  26713  ftc1anclem3  37066  sqrtpwpw2p  46751  flsqrt  46806  requad1  46835  itsclc0lem1  47690  itsclc0lem2  47691
  Copyright terms: Public domain W3C validator