MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absval 15218
Description: The absolute value (modulus) of a complex number. Proposition 10-3.7(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
absval (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) = (โˆšโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))))

Proof of Theorem absval
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6897 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โˆ—โ€˜๐‘ฅ) = (โˆ—โ€˜๐ด))
2 oveq12 7429 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง (โˆ—โ€˜๐‘ฅ) = (โˆ—โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (โˆ—โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
31, 2mpdan 686 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยท (โˆ—โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
43fveq2d 6901 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โˆšโ€˜(๐‘ฅ ยท (โˆ—โ€˜๐‘ฅ))) = (โˆšโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))))
5 df-abs 15216 . 2 abs = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โˆšโ€˜(๐‘ฅ ยท (โˆ—โ€˜๐‘ฅ))))
6 fvex 6910 . 2 (โˆšโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) โˆˆ V
74, 5, 6fvmpt 7005 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) = (โˆšโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137   ยท cmul 11144  โˆ—ccj 15076  โˆšcsqrt 15213  abscabs 15214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fv 6556  df-ov 7423  df-abs 15216
This theorem is referenced by:  absneg  15257  abscl  15258  abscj  15259  absvalsq  15260  absval2  15264  abs0  15265  absi  15266  absge0  15267  absrpcl  15268  absmul  15274  absid  15276  absre  15281  absf  15317  cphabscl  25126  cphipipcj  25141  tcphcphlem2  25177  siii  30676  norm-iii-i  30962  absfico  44591
  Copyright terms: Public domain W3C validator