MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absval 15238
Description: The absolute value (modulus) of a complex number. Proposition 10-3.7(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
absval (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))

Proof of Theorem absval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6893 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∗‘𝑥) = (∗‘𝐴))
2 oveq12 7425 . . . 4 ((𝑥 = 𝐴 ∧ (∗‘𝑥) = (∗‘𝐴)) → (𝑥 · (∗‘𝑥)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
31, 2mpdan 685 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · (∗‘𝑥)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
43fveq2d 6897 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
5 df-abs 15236 . 2 abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
6 fvex 6906 . 2 (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ V
74, 5, 6fvmpt 7001 1 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6546  (class class class)co 7416  cc 11147   · cmul 11154  ccj 15096  csqrt 15233  abscabs 15234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pr 5425
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3949  df-un 3951  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fv 6554  df-ov 7419  df-abs 15236
This theorem is referenced by:  absneg  15277  abscl  15278  abscj  15279  absvalsq  15280  absval2  15284  abs0  15285  absi  15286  absge0  15287  absrpcl  15288  absmul  15294  absid  15296  absre  15301  absf  15337  cphabscl  25201  cphipipcj  25216  tcphcphlem2  25252  siii  30783  norm-iii-i  31069  absfico  44861
  Copyright terms: Public domain W3C validator