MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absval 15130
Description: The absolute value (modulus) of a complex number. Proposition 10-3.7(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
absval (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) = (โˆšโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))))

Proof of Theorem absval
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6847 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โˆ—โ€˜๐‘ฅ) = (โˆ—โ€˜๐ด))
2 oveq12 7371 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง (โˆ—โ€˜๐‘ฅ) = (โˆ—โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (โˆ—โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
31, 2mpdan 686 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยท (โˆ—โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
43fveq2d 6851 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โˆšโ€˜(๐‘ฅ ยท (โˆ—โ€˜๐‘ฅ))) = (โˆšโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))))
5 df-abs 15128 . 2 abs = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โˆšโ€˜(๐‘ฅ ยท (โˆ—โ€˜๐‘ฅ))))
6 fvex 6860 . 2 (โˆšโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) โˆˆ V
74, 5, 6fvmpt 6953 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) = (โˆšโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056   ยท cmul 11063  โˆ—ccj 14988  โˆšcsqrt 15125  abscabs 15126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fv 6509  df-ov 7365  df-abs 15128
This theorem is referenced by:  absneg  15169  abscl  15170  abscj  15171  absvalsq  15172  absval2  15176  abs0  15177  absi  15178  absge0  15179  absrpcl  15180  absmul  15186  absid  15188  absre  15193  absf  15229  cphabscl  24565  cphipipcj  24580  tcphcphlem2  24616  siii  29837  norm-iii-i  30123  absfico  43513
  Copyright terms: Public domain W3C validator