MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absval 15189
Description: The absolute value (modulus) of a complex number. Proposition 10-3.7(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
absval (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) = (โˆšโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))))

Proof of Theorem absval
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6884 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โˆ—โ€˜๐‘ฅ) = (โˆ—โ€˜๐ด))
2 oveq12 7413 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง (โˆ—โ€˜๐‘ฅ) = (โˆ—โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (โˆ—โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
31, 2mpdan 684 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยท (โˆ—โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
43fveq2d 6888 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โˆšโ€˜(๐‘ฅ ยท (โˆ—โ€˜๐‘ฅ))) = (โˆšโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))))
5 df-abs 15187 . 2 abs = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โˆšโ€˜(๐‘ฅ ยท (โˆ—โ€˜๐‘ฅ))))
6 fvex 6897 . 2 (โˆšโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) โˆˆ V
74, 5, 6fvmpt 6991 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) = (โˆšโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107   ยท cmul 11114  โˆ—ccj 15047  โˆšcsqrt 15184  abscabs 15185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7407  df-abs 15187
This theorem is referenced by:  absneg  15228  abscl  15229  abscj  15230  absvalsq  15231  absval2  15235  abs0  15236  absi  15237  absge0  15238  absrpcl  15239  absmul  15245  absid  15247  absre  15252  absf  15288  cphabscl  25064  cphipipcj  25079  tcphcphlem2  25115  siii  30611  norm-iii-i  30897  absfico  44470
  Copyright terms: Public domain W3C validator