Theorem sqrtneg 14907

Description: The square root of a negative number. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘-𝐴) = (i · (√‘𝐴)))

Proof of Theorem sqrtneg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 10892	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	negcld 11249	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -𝐴 ∈ ℂ)
4		sqrtval 14876	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (√‘-𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘-𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
6		sqrtneglem 14906	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+))
7		ax-icn 10861	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
8		resqrtcl 14893	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	recnd 10934	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
10		mulcl 10886	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (√‘𝐴)) ∈ ℂ)
11	7, 9, 10	sylancr 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (i · (√‘𝐴)) ∈ ℂ)
12		oveq1 7262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → (𝑥↑2) = ((i · (√‘𝐴))↑2))
13	12	eqeq1d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → ((𝑥↑2) = -𝐴 ↔ ((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴))
14		fveq2 6756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘(i · (√‘𝐴))))
15	14	breq2d 5082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴)))))
16		oveq2 7263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → (i · 𝑥) = (i · (i · (√‘𝐴))))
17		neleq1 3053	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · 𝑥) = (i · (i · (√‘𝐴))) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+))
19	13, 15, 18	3anbi123d 1434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → (((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ (((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+)))
20	19	rspcev 3552	. . . . . 6 ⊢ (((i · (√‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
21	11, 6, 20	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
22		sqrmo 14891	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
23	3, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
24		reu5 3351	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
25	21, 23, 24	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
26	19	riota2 7238	. . . 4 ⊢ (((i · (√‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) → ((((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+) ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (i · (√‘𝐴))))
27	11, 25, 26	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+) ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (i · (√‘𝐴))))
28	6, 27	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (i · (√‘𝐴)))
29	5, 28	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘-𝐴) = (i · (√‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3048  ∃wrex 3064  ∃!wreu 3065  ∃*wrmo 3066   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  ℩crio 7211  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  ici 10804   · cmul 10807   ≤ cle 10941  -cneg 11136  2c2 11958  ℝ⁺crp 12659  ↑cexp 13710  ℜcre 14736  √csqrt 14872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874

This theorem is referenced by:  sqrtm1  14915  sqrtnegd  15061