Theorem sqrtneg 15320

Description: The square root of a negative number. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘-𝐴) = (i · (√‘𝐴)))

Proof of Theorem sqrtneg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11191	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	negcld 11557	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -𝐴 ∈ ℂ)
4		sqrtval 15290	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (√‘-𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘-𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
6		sqrtneglem 15319	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+))
7		ax-icn 11160	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
8		resqrtcl 15306	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
10		mulcl 11185	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (√‘𝐴)) ∈ ℂ)
11	7, 9, 10	sylancr 598	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (i · (√‘𝐴)) ∈ ℂ)
12		oveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → (𝑥↑2) = ((i · (√‘𝐴))↑2))
13	12	eqeq1d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → ((𝑥↑2) = -𝐴 ↔ ((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴))
14		fveq2 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘(i · (√‘𝐴))))
15	14	breq2d 5122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴)))))
16		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → (i · 𝑥) = (i · (i · (√‘𝐴))))
17		neleq1 3070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · 𝑥) = (i · (i · (√‘𝐴))) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+))
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+))
19	13, 15, 18	3anbi123d 1464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → (((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ (((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+)))
20	19	rspcev 3582	. . . . . 6 ⊢ (((i · (√‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
21	11, 6, 20	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
22		sqrmo 15304	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
23	3, 22	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
24		reu5 3371	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
25	21, 23, 24	sylanbrc 594	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
26	19	riota2 7394	. . . 4 ⊢ (((i · (√‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) → ((((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+) ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (i · (√‘𝐴))))
27	11, 25, 26	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+) ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (i · (√‘𝐴))))
28	6, 27	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (i · (√‘𝐴)))
29	5, 28	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘-𝐴) = (i · (√‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∉ wnel 3064  ∃wrex 3089  ∃!wreu 3367  ∃*wrmo 3368   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  ℩crio 7368  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  ici 11103   · cmul 11106   ≤ cle 11245  -cneg 11443  2c2 12296  ℝ⁺crp 13017  ↑cexp 14099  ℜcre 15150  √csqrt 15286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288

This theorem is referenced by:  sqrtm1  15328  sqrtnegd  15475