Theorem sqrtneg 15220

Description: The square root of a negative number. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘-𝐴) = (i · (√‘𝐴)))

Proof of Theorem sqrtneg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11119	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	negcld 11483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -𝐴 ∈ ℂ)
4		sqrtval 15190	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (√‘-𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘-𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
6		sqrtneglem 15219	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+))
7		ax-icn 11088	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
8		resqrtcl 15206	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11164	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
10		mulcl 11113	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (√‘𝐴)) ∈ ℂ)
11	7, 9, 10	sylancr 588	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (i · (√‘𝐴)) ∈ ℂ)
12		oveq1 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → (𝑥↑2) = ((i · (√‘𝐴))↑2))
13	12	eqeq1d 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → ((𝑥↑2) = -𝐴 ↔ ((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴))
14		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘(i · (√‘𝐴))))
15	14	breq2d 5098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴)))))
16		oveq2 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → (i · 𝑥) = (i · (i · (√‘𝐴))))
17		neleq1 3043	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · 𝑥) = (i · (i · (√‘𝐴))) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+))
19	13, 15, 18	3anbi123d 1439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → (((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ (((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+)))
20	19	rspcev 3565	. . . . . 6 ⊢ (((i · (√‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
21	11, 6, 20	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
22		sqrmo 15204	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
23	3, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
24		reu5 3345	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
25	21, 23, 24	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
26	19	riota2 7342	. . . 4 ⊢ (((i · (√‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) → ((((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+) ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (i · (√‘𝐴))))
27	11, 25, 26	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+) ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (i · (√‘𝐴))))
28	6, 27	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (i · (√‘𝐴)))
29	5, 28	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘-𝐴) = (i · (√‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3341  ∃*wrmo 3342   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  ℩crio 7316  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  ici 11031   · cmul 11034   ≤ cle 11171  -cneg 11369  2c2 12227  ℝ⁺crp 12933  ↑cexp 14014  ℜcre 15050  √csqrt 15186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188

This theorem is referenced by:  sqrtm1  15228  sqrtnegd  15375