MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrtneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrtneg 15218
Description: The square root of a negative number. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sqrtneg ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โˆšโ€˜-๐ด) = (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)))

Proof of Theorem sqrtneg
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recn 11202 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
21adantr 479 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
32negcld 11562 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
4 sqrtval 15188 . . 3 (-๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆšโ€˜-๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = -๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
53, 4syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โˆšโ€˜-๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = -๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
6 sqrtneglem 15217 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((i ยท (โˆšโ€˜๐ด))โ†‘2) = -๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆง (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆ‰ โ„+))
7 ax-icn 11171 . . . . 5 i โˆˆ โ„‚
8 resqrtcl 15204 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
98recnd 11246 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
10 mulcl 11196 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
117, 9, 10sylancr 585 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
12 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = ((i ยท (โˆšโ€˜๐ด))โ†‘2))
1312eqeq1d 2732 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) = -๐ด โ†” ((i ยท (โˆšโ€˜๐ด))โ†‘2) = -๐ด))
14 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜๐‘ฅ) = (โ„œโ€˜(i ยท (โˆšโ€˜๐ด))))
1514breq2d 5159 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)) โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โ†” 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(i ยท (โˆšโ€˜๐ด)))))
16 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)) โ†’ (i ยท ๐‘ฅ) = (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))))
17 neleq1 3050 . . . . . . . . 9 ((i ยท ๐‘ฅ) = (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โ†’ ((i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+ โ†” (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆ‰ โ„+))
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)) โ†’ ((i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+ โ†” (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆ‰ โ„+))
1913, 15, 183anbi123d 1434 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)) โ†’ (((๐‘ฅโ†‘2) = -๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โ†” (((i ยท (โˆšโ€˜๐ด))โ†‘2) = -๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆง (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆ‰ โ„+)))
2019rspcev 3611 . . . . . 6 (((i ยท (โˆšโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (((i ยท (โˆšโ€˜๐ด))โ†‘2) = -๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆง (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆ‰ โ„+)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = -๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
2111, 6, 20syl2anc 582 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = -๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
22 sqrmo 15202 . . . . . 6 (-๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ*๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = -๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
233, 22syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ โˆƒ*๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = -๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
24 reu5 3376 . . . . 5 (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = -๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = -๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โˆง โˆƒ*๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = -๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
2521, 23, 24sylanbrc 581 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = -๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
2619riota2 7393 . . . 4 (((i ยท (โˆšโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = -๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โ†’ ((((i ยท (โˆšโ€˜๐ด))โ†‘2) = -๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆง (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆ‰ โ„+) โ†” (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = -๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) = (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))))
2711, 25, 26syl2anc 582 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((((i ยท (โˆšโ€˜๐ด))โ†‘2) = -๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆง (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆ‰ โ„+) โ†” (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = -๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) = (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))))
286, 27mpbid 231 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = -๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) = (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)))
295, 28eqtrd 2770 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โˆšโ€˜-๐ด) = (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โˆ‰ wnel 3044  โˆƒwrex 3068  โˆƒ!wreu 3372  โˆƒ*wrmo 3373   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  โ„ฉcrio 7366  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  ici 11114   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253  -cneg 11449  2c2 12271  โ„+crp 12978  โ†‘cexp 14031  โ„œcre 15048  โˆšcsqrt 15184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186
This theorem is referenced by:  sqrtm1  15226  sqrtnegd  15372
  Copyright terms: Public domain W3C validator