Theorem sqrtneg 15218

Description: The square root of a negative number. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘-𝐴) = (i · (√‘𝐴)))

Proof of Theorem sqrtneg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11202	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	negcld 11562	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -𝐴 ∈ ℂ)
4		sqrtval 15188	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (√‘-𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘-𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
6		sqrtneglem 15217	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+))
7		ax-icn 11171	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
8		resqrtcl 15204	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11246	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
10		mulcl 11196	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (√‘𝐴)) ∈ ℂ)
11	7, 9, 10	sylancr 585	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (i · (√‘𝐴)) ∈ ℂ)
12		oveq1 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → (𝑥↑2) = ((i · (√‘𝐴))↑2))
13	12	eqeq1d 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → ((𝑥↑2) = -𝐴 ↔ ((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴))
14		fveq2 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘(i · (√‘𝐴))))
15	14	breq2d 5159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴)))))
16		oveq2 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → (i · 𝑥) = (i · (i · (√‘𝐴))))
17		neleq1 3050	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · 𝑥) = (i · (i · (√‘𝐴))) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+))
19	13, 15, 18	3anbi123d 1434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → (((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ (((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+)))
20	19	rspcev 3611	. . . . . 6 ⊢ (((i · (√‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
21	11, 6, 20	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
22		sqrmo 15202	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
23	3, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
24		reu5 3376	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
25	21, 23, 24	sylanbrc 581	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
26	19	riota2 7393	. . . 4 ⊢ (((i · (√‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) → ((((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+) ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (i · (√‘𝐴))))
27	11, 25, 26	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+) ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (i · (√‘𝐴))))
28	6, 27	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (i · (√‘𝐴)))
29	5, 28	eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘-𝐴) = (i · (√‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ∉ wnel 3044  ∃wrex 3068  ∃!wreu 3372  ∃*wrmo 3373   class class class wbr 5147  ‘cfv 6542  ℩crio 7366  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  ici 11114   · cmul 11117   ≤ cle 11253  -cneg 11449  2c2 12271  ℝ⁺crp 12978  ↑cexp 14031  ℜcre 15048  √csqrt 15184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186

This theorem is referenced by:  sqrtm1  15226  sqrtnegd  15372