Theorem sqrtneg 15277

Description: The square root of a negative number. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘-𝐴) = (i · (√‘𝐴)))

Proof of Theorem sqrtneg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11160	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	negcld 11526	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -𝐴 ∈ ℂ)
4		sqrtval 15247	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (√‘-𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘-𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
6		sqrtneglem 15276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+))
7		ax-icn 11129	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
8		resqrtcl 15263	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11207	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
10		mulcl 11154	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (√‘𝐴)) ∈ ℂ)
11	7, 9, 10	sylancr 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (i · (√‘𝐴)) ∈ ℂ)
12		oveq1 7399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → (𝑥↑2) = ((i · (√‘𝐴))↑2))
13	12	eqeq1d 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → ((𝑥↑2) = -𝐴 ↔ ((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴))
14		fveq2 6863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘(i · (√‘𝐴))))
15	14	breq2d 5111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴)))))
16		oveq2 7400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → (i · 𝑥) = (i · (i · (√‘𝐴))))
17		neleq1 3066	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · 𝑥) = (i · (i · (√‘𝐴))) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+))
19	13, 15, 18	3anbi123d 1456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (i · (√‘𝐴)) → (((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ (((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+)))
20	19	rspcev 3581	. . . . . 6 ⊢ (((i · (√‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
21	11, 6, 20	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
22		sqrmo 15261	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
23	3, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
24		reu5 3368	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
25	21, 23, 24	sylanbrc 592	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
26	19	riota2 7374	. . . 4 ⊢ (((i · (√‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) → ((((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+) ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (i · (√‘𝐴))))
27	11, 25, 26	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+) ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (i · (√‘𝐴))))
28	6, 27	mpbid 234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (i · (√‘𝐴)))
29	5, 28	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘-𝐴) = (i · (√‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∉ wnel 3060  ∃wrex 3085  ∃!wreu 3364  ∃*wrmo 3365   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  ℩crio 7348  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  ℝcr 11069  0cc0 11070  ici 11072   · cmul 11075   ≤ cle 11214  -cneg 11412  2c2 12269  ℝ⁺crp 12990  ↑cexp 14071  ℜcre 15107  √csqrt 15243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245

This theorem is referenced by:  sqrtm1  15285  sqrtnegd  15432