MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqrtthlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resqrtthlem 15207
Description: Lemma for resqrtth 15208. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
resqrtthlem ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((โˆšโ€˜๐ด)โ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)) โˆ‰ โ„+))

Proof of Theorem resqrtthlem
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recn 11202 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 sqrtval 15190 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
32eqcomd 2732 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) = (โˆšโ€˜๐ด))
41, 3syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) = (โˆšโ€˜๐ด))
54adantr 480 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) = (โˆšโ€˜๐ด))
6 resqrtcl 15206 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
76recnd 11246 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
8 resqreu 15205 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
9 oveq1 7412 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (โˆšโ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = ((โˆšโ€˜๐ด)โ†‘2))
109eqeq1d 2728 . . . . 5 (๐‘ฅ = (โˆšโ€˜๐ด) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โ†” ((โˆšโ€˜๐ด)โ†‘2) = ๐ด))
11 fveq2 6885 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (โˆšโ€˜๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐‘ฅ) = (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜๐ด)))
1211breq2d 5153 . . . . 5 (๐‘ฅ = (โˆšโ€˜๐ด) โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โ†” 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜๐ด))))
13 oveq2 7413 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (โˆšโ€˜๐ด) โ†’ (i ยท ๐‘ฅ) = (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)))
14 neleq1 3046 . . . . . 6 ((i ยท ๐‘ฅ) = (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)) โ†’ ((i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+ โ†” (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)) โˆ‰ โ„+))
1513, 14syl 17 . . . . 5 (๐‘ฅ = (โˆšโ€˜๐ด) โ†’ ((i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+ โ†” (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)) โˆ‰ โ„+))
1610, 12, 153anbi123d 1432 . . . 4 (๐‘ฅ = (โˆšโ€˜๐ด) โ†’ (((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โ†” (((โˆšโ€˜๐ด)โ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)) โˆ‰ โ„+)))
1716riota2 7387 . . 3 (((โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โ†’ ((((โˆšโ€˜๐ด)โ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)) โˆ‰ โ„+) โ†” (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) = (โˆšโ€˜๐ด)))
187, 8, 17syl2anc 583 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((((โˆšโ€˜๐ด)โ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)) โˆ‰ โ„+) โ†” (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) = (โˆšโ€˜๐ด)))
195, 18mpbird 257 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((โˆšโ€˜๐ด)โ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)) โˆ‰ โ„+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โˆ‰ wnel 3040  โˆƒ!wreu 3368   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  โ„ฉcrio 7360  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  ici 11114   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253  2c2 12271  โ„+crp 12980  โ†‘cexp 14032  โ„œcre 15050  โˆšcsqrt 15186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188
This theorem is referenced by:  resqrtth  15208  sqrtge0  15210
  Copyright terms: Public domain W3C validator