MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqrtthlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resqrtthlem 15148
Description: Lemma for resqrtth 15149. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
resqrtthlem ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((โˆšโ€˜๐ด)โ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)) โˆ‰ โ„+))

Proof of Theorem resqrtthlem
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recn 11149 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 sqrtval 15131 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
32eqcomd 2739 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) = (โˆšโ€˜๐ด))
41, 3syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) = (โˆšโ€˜๐ด))
54adantr 482 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) = (โˆšโ€˜๐ด))
6 resqrtcl 15147 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
76recnd 11191 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
8 resqreu 15146 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
9 oveq1 7368 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (โˆšโ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = ((โˆšโ€˜๐ด)โ†‘2))
109eqeq1d 2735 . . . . 5 (๐‘ฅ = (โˆšโ€˜๐ด) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โ†” ((โˆšโ€˜๐ด)โ†‘2) = ๐ด))
11 fveq2 6846 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (โˆšโ€˜๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐‘ฅ) = (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜๐ด)))
1211breq2d 5121 . . . . 5 (๐‘ฅ = (โˆšโ€˜๐ด) โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โ†” 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜๐ด))))
13 oveq2 7369 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (โˆšโ€˜๐ด) โ†’ (i ยท ๐‘ฅ) = (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)))
14 neleq1 3051 . . . . . 6 ((i ยท ๐‘ฅ) = (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)) โ†’ ((i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+ โ†” (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)) โˆ‰ โ„+))
1513, 14syl 17 . . . . 5 (๐‘ฅ = (โˆšโ€˜๐ด) โ†’ ((i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+ โ†” (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)) โˆ‰ โ„+))
1610, 12, 153anbi123d 1437 . . . 4 (๐‘ฅ = (โˆšโ€˜๐ด) โ†’ (((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โ†” (((โˆšโ€˜๐ด)โ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)) โˆ‰ โ„+)))
1716riota2 7343 . . 3 (((โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) โ†’ ((((โˆšโ€˜๐ด)โ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)) โˆ‰ โ„+) โ†” (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) = (โˆšโ€˜๐ด)))
187, 8, 17syl2anc 585 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((((โˆšโ€˜๐ด)โ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)) โˆ‰ โ„+) โ†” (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)) = (โˆšโ€˜๐ด)))
195, 18mpbird 257 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((โˆšโ€˜๐ด)โ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜๐ด)) โˆง (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)) โˆ‰ โ„+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆ‰ wnel 3046  โˆƒ!wreu 3350   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  โ„ฉcrio 7316  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  ici 11061   ยท cmul 11064   โ‰ค cle 11198  2c2 12216  โ„+crp 12923  โ†‘cexp 13976  โ„œcre 14991  โˆšcsqrt 15127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129
This theorem is referenced by:  resqrtth  15149  sqrtge0  15151
  Copyright terms: Public domain W3C validator