Theorem sqrtthlem 15272

Description: Lemma for sqrtth 15274. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtthlem	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘𝐴)↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴)) ∧ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+))

Proof of Theorem sqrtthlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrtval 15146	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
2	1	eqcomd 2739	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (√‘𝐴))
3		sqrtcl 15271	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
4		sqreu 15270	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
5		oveq1 7359	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → (𝑥↑2) = ((√‘𝐴)↑2))
6	5	eqeq1d 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → ((𝑥↑2) = 𝐴 ↔ ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴))
7		fveq2 6828	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘(√‘𝐴)))
8	7	breq2d 5105	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴))))
9		oveq2 7360	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → (i · 𝑥) = (i · (√‘𝐴)))
10		neleq1 3039	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝑥) = (i · (√‘𝐴)) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+))
12	6, 8, 11	3anbi123d 1438	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ (((√‘𝐴)↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴)) ∧ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+)))
13	12	riota2 7334	. . 3 ⊢ (((√‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) → ((((√‘𝐴)↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴)) ∧ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+) ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (√‘𝐴)))
14	3, 4, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((√‘𝐴)↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴)) ∧ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+) ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (√‘𝐴)))
15	2, 14	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘𝐴)↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴)) ∧ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∉ wnel 3033  ∃!wreu 3345   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  ℩crio 7308  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  0cc0 11013  ici 11015   · cmul 11018   ≤ cle 11154  2c2 12187  ℝ⁺crp 12892  ↑cexp 13970  ℜcre 15006  √csqrt 15142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9333  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-seq 13911  df-exp 13971  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145

This theorem is referenced by:  sqrtth  15274  sqrtrege0  15275  eqsqrtd  15277