Theorem sqrtthlem 15398

Description: Lemma for sqrtth 15400. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtthlem	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘𝐴)↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴)) ∧ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+))

Proof of Theorem sqrtthlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrtval 15273	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
2	1	eqcomd 2741	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (√‘𝐴))
3		sqrtcl 15397	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
4		sqreu 15396	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
5		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → (𝑥↑2) = ((√‘𝐴)↑2))
6	5	eqeq1d 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → ((𝑥↑2) = 𝐴 ↔ ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴))
7		fveq2 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘(√‘𝐴)))
8	7	breq2d 5160	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴))))
9		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → (i · 𝑥) = (i · (√‘𝐴)))
10		neleq1 3050	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝑥) = (i · (√‘𝐴)) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+))
12	6, 8, 11	3anbi123d 1435	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ (((√‘𝐴)↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴)) ∧ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+)))
13	12	riota2 7413	. . 3 ⊢ (((√‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) → ((((√‘𝐴)↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴)) ∧ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+) ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (√‘𝐴)))
14	3, 4, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((√‘𝐴)↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴)) ∧ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+) ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (√‘𝐴)))
15	2, 14	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘𝐴)↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴)) ∧ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3044  ∃!wreu 3376   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  ℩crio 7387  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  ici 11155   · cmul 11158   ≤ cle 11294  2c2 12319  ℝ⁺crp 13032  ↑cexp 14099  ℜcre 15133  √csqrt 15269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272

This theorem is referenced by:  sqrtth  15400  sqrtrege0  15401  eqsqrtd  15403