Theorem sqrtthlem 15336

Description: Lemma for sqrtth 15338. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtthlem	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘𝐴)↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴)) ∧ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+))

Proof of Theorem sqrtthlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrtval 15210	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
2	1	eqcomd 2736	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (√‘𝐴))
3		sqrtcl 15335	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
4		sqreu 15334	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
5		oveq1 7397	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → (𝑥↑2) = ((√‘𝐴)↑2))
6	5	eqeq1d 2732	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → ((𝑥↑2) = 𝐴 ↔ ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴))
7		fveq2 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘(√‘𝐴)))
8	7	breq2d 5122	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴))))
9		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → (i · 𝑥) = (i · (√‘𝐴)))
10		neleq1 3036	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝑥) = (i · (√‘𝐴)) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+))
12	6, 8, 11	3anbi123d 1438	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐴) → (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ (((√‘𝐴)↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴)) ∧ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+)))
13	12	riota2 7372	. . 3 ⊢ (((√‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) → ((((√‘𝐴)↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴)) ∧ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+) ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (√‘𝐴)))
14	3, 4, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((√‘𝐴)↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴)) ∧ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+) ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = (√‘𝐴)))
15	2, 14	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘𝐴)↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴)) ∧ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3030  ∃!wreu 3354   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  ℩crio 7346  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  ici 11077   · cmul 11080   ≤ cle 11216  2c2 12248  ℝ⁺crp 12958  ↑cexp 14033  ℜcre 15070  √csqrt 15206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209

This theorem is referenced by:  sqrtth  15338  sqrtrege0  15339  eqsqrtd  15341