Theorem sqrt0 15176

Description: The square root of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt0	⊢ (√‘0) = 0

Proof of Theorem sqrt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11136	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		sqrtval 15172	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → (√‘0) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (√‘0) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
4		id 22	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
5		sqeq0 14055	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥↑2) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
6	5	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) = 0) → 𝑥 = 0)
7	6	3ad2antr1 1190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) → 𝑥 = 0)
8	7	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) → 𝑥 = 0))
9		sq0i 14128	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥↑2) = 0)
10		0le0 12258	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
11		fveq2 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘0))
12		re0 15087	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℜ‘0) = 0
13	11, 12	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (ℜ‘𝑥) = 0)
14	10, 13	breqtrrid 5138	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → 0 ≤ (ℜ‘𝑥))
15		0re 11146	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		eleq1 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ 0 ∈ ℝ))
17	15, 16	mpbiri 258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ ℝ)
18		rennim 15174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (i · 𝑥) ∉ ℝ+)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (i · 𝑥) ∉ ℝ+)
20	9, 14, 19	3jca 1129	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
21	8, 20	impbid1 225	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ 𝑥 = 0))
22	21	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ 𝑥 = 0))
23	4, 22	riota5 7354	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = 0)
24	1, 23	ax-mp 5	. 2 ⊢ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = 0
25	3, 24	eqtri 2760	1 ⊢ (√‘0) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  ℩crio 7324  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  ici 11040   · cmul 11043   ≤ cle 11179  2c2 12212  ℝ⁺crp 12917  ↑cexp 13996  ℜcre 15032  √csqrt 15168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170

This theorem is referenced by:  sqrt00  15198  abs0  15220  cnsqrt00  15328  cphsqrtcl2  25154  cxpsqrt  26680  cxpsqrtth  26707  loglesqrt  26739  asin1  26872  normgt0  31214  norm0  31215  constrsqrtcl  33956  ftc1anclem3  37935  areacirc  37953  rrncmslem  38072  sqrtcval  43986