Theorem sqrt0 15276

Description: The square root of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt0	⊢ (√‘0) = 0

Proof of Theorem sqrt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11250	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		sqrtval 15272	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → (√‘0) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (√‘0) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
4		id 22	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
5		sqeq0 14156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥↑2) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
6	5	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) = 0) → 𝑥 = 0)
7	6	3ad2antr1 1187	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) → 𝑥 = 0)
8	7	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) → 𝑥 = 0))
9		sq0i 14228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥↑2) = 0)
10		0le0 12364	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
11		fveq2 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘0))
12		re0 15187	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℜ‘0) = 0
13	11, 12	eqtrdi 2790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (ℜ‘𝑥) = 0)
14	10, 13	breqtrrid 5185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → 0 ≤ (ℜ‘𝑥))
15		0re 11260	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		eleq1 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ 0 ∈ ℝ))
17	15, 16	mpbiri 258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ ℝ)
18		rennim 15274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (i · 𝑥) ∉ ℝ+)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (i · 𝑥) ∉ ℝ+)
20	9, 14, 19	3jca 1127	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
21	8, 20	impbid1 225	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ 𝑥 = 0))
22	21	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ 𝑥 = 0))
23	4, 22	riota5 7416	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = 0)
24	1, 23	ax-mp 5	. 2 ⊢ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = 0
25	3, 24	eqtri 2762	1 ⊢ (√‘0) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ∉ wnel 3043   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  ℩crio 7386  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152  ici 11154   · cmul 11157   ≤ cle 11293  2c2 12318  ℝ⁺crp 13031  ↑cexp 14098  ℜcre 15132  √csqrt 15268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270

This theorem is referenced by:  sqrt00  15298  abs0  15320  cnsqrt00  15427  cphsqrtcl2  25233  cxpsqrt  26759  cxpsqrtth  26786  loglesqrt  26818  asin1  26951  normgt0  31155  norm0  31156  ftc1anclem3  37681  areacirc  37699  rrncmslem  37818  sqrtcval  43630