MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrt0 15135
Description: The square root of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sqrt0 (√‘0) = 0

Proof of Theorem sqrt0
StepHypRef Expression
1 0cn 11155 . . 3 0 ∈ ℂ
2 sqrtval 15131 . . 3 (0 ∈ ℂ → (√‘0) = (𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
31, 2ax-mp 5 . 2 (√‘0) = (𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
4 id 22 . . . 4 (0 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
5 sqeq0 14034 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥↑2) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
65biimpa 478 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) = 0) → 𝑥 = 0)
763ad2antr1 1189 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) → 𝑥 = 0)
87ex 414 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) → 𝑥 = 0))
9 sq0i 14106 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑥↑2) = 0)
10 0le0 12262 . . . . . . . 8 0 ≤ 0
11 fveq2 6846 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘0))
12 re0 15046 . . . . . . . . 9 (ℜ‘0) = 0
1311, 12eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (ℜ‘𝑥) = 0)
1410, 13breqtrrid 5147 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → 0 ≤ (ℜ‘𝑥))
15 0re 11165 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
16 eleq1 2822 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ 0 ∈ ℝ))
1715, 16mpbiri 258 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ ℝ)
18 rennim 15133 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (i · 𝑥) ∉ ℝ+)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (i · 𝑥) ∉ ℝ+)
209, 14, 193jca 1129 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
218, 20impbid1 224 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ 𝑥 = 0))
2221adantl 483 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ 𝑥 = 0))
234, 22riota5 7347 . . 3 (0 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = 0)
241, 23ax-mp 5 . 2 (𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = 0
253, 24eqtri 2761 1 (√‘0) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wnel 3046   class class class wbr 5109  cfv 6500  crio 7316  (class class class)co 7361  cc 11057  cr 11058  0cc0 11059  ici 11061   · cmul 11064  cle 11198  2c2 12216  +crp 12923  cexp 13976  cre 14991  csqrt 15127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129
This theorem is referenced by:  sqrt00  15157  abs0  15179  cnsqrt00  15286  cphsqrtcl2  24573  cxpsqrt  26081  cxpsqrtth  26107  loglesqrt  26134  asin1  26267  normgt0  30118  norm0  30119  ftc1anclem3  36203  areacirc  36221  rrncmslem  36341  sqrtcval  42005
  Copyright terms: Public domain W3C validator