MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrt0 15214
Description: The square root of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sqrt0 (√‘0) = 0

Proof of Theorem sqrt0
StepHypRef Expression
1 0cn 11230 . . 3 0 ∈ ℂ
2 sqrtval 15210 . . 3 (0 ∈ ℂ → (√‘0) = (𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
31, 2ax-mp 5 . 2 (√‘0) = (𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
4 id 22 . . . 4 (0 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
5 sqeq0 14110 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥↑2) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
65biimpa 476 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) = 0) → 𝑥 = 0)
763ad2antr1 1186 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) → 𝑥 = 0)
87ex 412 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) → 𝑥 = 0))
9 sq0i 14182 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑥↑2) = 0)
10 0le0 12337 . . . . . . . 8 0 ≤ 0
11 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘0))
12 re0 15125 . . . . . . . . 9 (ℜ‘0) = 0
1311, 12eqtrdi 2784 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (ℜ‘𝑥) = 0)
1410, 13breqtrrid 5180 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → 0 ≤ (ℜ‘𝑥))
15 0re 11240 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
16 eleq1 2817 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ 0 ∈ ℝ))
1715, 16mpbiri 258 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ ℝ)
18 rennim 15212 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (i · 𝑥) ∉ ℝ+)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (i · 𝑥) ∉ ℝ+)
209, 14, 193jca 1126 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
218, 20impbid1 224 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ 𝑥 = 0))
2221adantl 481 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ 𝑥 = 0))
234, 22riota5 7400 . . 3 (0 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = 0)
241, 23ax-mp 5 . 2 (𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = 0
253, 24eqtri 2756 1 (√‘0) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wnel 3042   class class class wbr 5142  cfv 6542  crio 7369  (class class class)co 7414  cc 11130  cr 11131  0cc0 11132  ici 11134   · cmul 11137  cle 11273  2c2 12291  +crp 13000  cexp 14052  cre 15070  csqrt 15206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-seq 13993  df-exp 14053  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208
This theorem is referenced by:  sqrt00  15236  abs0  15258  cnsqrt00  15365  cphsqrtcl2  25107  cxpsqrt  26630  cxpsqrtth  26657  loglesqrt  26686  asin1  26819  normgt0  30930  norm0  30931  ftc1anclem3  37162  areacirc  37180  rrncmslem  37299  sqrtcval  43065
  Copyright terms: Public domain W3C validator