Theorem sqrt0 15280

Description: The square root of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt0	⊢ (√‘0) = 0

Proof of Theorem sqrt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11253	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		sqrtval 15276	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → (√‘0) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (√‘0) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
4		id 22	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
5		sqeq0 14160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥↑2) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
6	5	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) = 0) → 𝑥 = 0)
7	6	3ad2antr1 1189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) → 𝑥 = 0)
8	7	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) → 𝑥 = 0))
9		sq0i 14232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥↑2) = 0)
10		0le0 12367	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
11		fveq2 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘0))
12		re0 15191	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℜ‘0) = 0
13	11, 12	eqtrdi 2793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (ℜ‘𝑥) = 0)
14	10, 13	breqtrrid 5181	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → 0 ≤ (ℜ‘𝑥))
15		0re 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		eleq1 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ 0 ∈ ℝ))
17	15, 16	mpbiri 258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ ℝ)
18		rennim 15278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (i · 𝑥) ∉ ℝ+)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (i · 𝑥) ∉ ℝ+)
20	9, 14, 19	3jca 1129	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
21	8, 20	impbid1 225	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ 𝑥 = 0))
22	21	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ 𝑥 = 0))
23	4, 22	riota5 7417	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = 0)
24	1, 23	ax-mp 5	. 2 ⊢ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = 0
25	3, 24	eqtri 2765	1 ⊢ (√‘0) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3046   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  ℩crio 7387  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  ici 11157   · cmul 11160   ≤ cle 11296  2c2 12321  ℝ⁺crp 13034  ↑cexp 14102  ℜcre 15136  √csqrt 15272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274

This theorem is referenced by:  sqrt00  15302  abs0  15324  cnsqrt00  15431  cphsqrtcl2  25220  cxpsqrt  26745  cxpsqrtth  26772  loglesqrt  26804  asin1  26937  normgt0  31146  norm0  31147  ftc1anclem3  37702  areacirc  37720  rrncmslem  37839  sqrtcval  43654