Theorem sqrt0 15292

Description: The square root of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt0	⊢ (√‘0) = 0

Proof of Theorem sqrt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11197	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		sqrtval 15288	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → (√‘0) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (√‘0) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
4		id 23	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
5		sqeq0 14156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥↑2) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
6	5	biimpa 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) = 0) → 𝑥 = 0)
7	6	3ad2antr1 1205	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) → 𝑥 = 0)
8	7	ex 417	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) → 𝑥 = 0))
9		sq0i 14229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥↑2) = 0)
10		0le0 12341	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
11		fveq2 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘0))
12		re0 15203	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℜ‘0) = 0
13	11, 12	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (ℜ‘𝑥) = 0)
14	10, 13	breqtrrid 5148	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → 0 ≤ (ℜ‘𝑥))
15		0re 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		eleq1 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ 0 ∈ ℝ))
17	15, 16	mpbiri 261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ ℝ)
18		rennim 15290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (i · 𝑥) ∉ ℝ+)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (i · 𝑥) ∉ ℝ+)
20	9, 14, 19	3jca 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
21	8, 20	impbid1 228	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ 𝑥 = 0))
22	21	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ 𝑥 = 0))
23	4, 22	riota5 7396	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = 0)
24	1, 23	ax-mp 5	. 2 ⊢ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+)) = 0
25	3, 24	eqtri 2784	1 ⊢ (√‘0) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ∉ wnel 3062   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  ℩crio 7366  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  ici 11101   · cmul 11104   ≤ cle 11243  2c2 12294  ℝ⁺crp 13015  ↑cexp 14097  ℜcre 15148  √csqrt 15284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286

This theorem is referenced by:  sqrt00  15314  abs0  15336  cnsqrt00  15444  cphsqrtcl2  25324  cxpsqrt  26844  cxpsqrtth  26871  loglesqrt  26902  asin1  27035  normgt0  31445  norm0  31446  constrsqrtcl  34135  ftc1anclem3  38312  areacirc  38330  rrncmslem  38449  sqrtcval  44337