MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssltleft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssltleft 27923
Description: A surreal is greater than its left options. Theorem 0(ii) of [Conway] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
ssltleft (𝐴 No → ( L ‘𝐴) <<s {𝐴})

Proof of Theorem ssltleft
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6921 . 2 (𝐴 No → ( L ‘𝐴) ∈ V)
2 snex 5441 . . 3 {𝐴} ∈ V
32a1i 11 . 2 (𝐴 No → {𝐴} ∈ V)
4 leftf 27918 . . . 4 L : No ⟶𝒫 No
54ffvelcdmi 7102 . . 3 (𝐴 No → ( L ‘𝐴) ∈ 𝒫 No )
65elpwid 4613 . 2 (𝐴 No → ( L ‘𝐴) ⊆ No )
7 snssi 4812 . 2 (𝐴 No → {𝐴} ⊆ No )
8 velsn 4646 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝐴} ↔ 𝑦 = 𝐴)
9 leftval 27916 . . . . . . . . . 10 ( L ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∣ 𝑥 <s 𝐴}
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 No → ( L ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∣ 𝑥 <s 𝐴})
1110eleq2d 2824 . . . . . . . 8 (𝐴 No → (𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∣ 𝑥 <s 𝐴}))
12 rabid 3454 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∣ 𝑥 <s 𝐴} ↔ (𝑥 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∧ 𝑥 <s 𝐴))
1311, 12bitrdi 287 . . . . . . 7 (𝐴 No → (𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∧ 𝑥 <s 𝐴)))
1413simplbda 499 . . . . . 6 ((𝐴 No 𝑥 ∈ ( L ‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝐴)
15 breq2 5151 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 <s 𝑦𝑥 <s 𝐴))
1614, 15imbitrrid 246 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐴 No 𝑥 ∈ ( L ‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝑦))
1716expd 415 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → (𝐴 No → (𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
188, 17sylbi 217 . . 3 (𝑦 ∈ {𝐴} → (𝐴 No → (𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
19183imp231 1112 . 2 ((𝐴 No 𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → 𝑥 <s 𝑦)
201, 3, 6, 7, 19ssltd 27850 1 (𝐴 No → ( L ‘𝐴) <<s {𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  {crab 3432  Vcvv 3477  𝒫 cpw 4604  {csn 4630   class class class wbr 5147  cfv 6562   No csur 27698   <s cslt 27699   bday cbday 27700   <<s csslt 27839   O cold 27896   L cleft 27898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-1o 8504  df-2o 8505  df-no 27701  df-slt 27702  df-bday 27703  df-sslt 27840  df-scut 27842  df-made 27900  df-old 27901  df-left 27903
This theorem is referenced by:  lltropt  27925  madebdaylemlrcut  27951  mulsproplem5  28160  mulsproplem6  28161  mulsproplem7  28162  mulsproplem8  28163  mulsuniflem  28189
  Copyright terms: Public domain W3C validator