Theorem ssltleft 33644

Description: A surreal is greater than its left options. Theorem 0(ii) of [Conway] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ssltleft	⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s {𝐴})

Proof of Theorem ssltleft

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leftf 33639	. . . 4 ⊢ L : No ⟶𝒫 No
2	1	ffvelrni 6847	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) ∈ 𝒫 No )
3	2	elpwid 4508	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) ⊆ No )
4		snssi 4701	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ⊆ No )
5		leftval 33637	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) = {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝑦 <s 𝐴})
6	5	eleq2d 2837	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝑦 <s 𝐴}))
7		breq1 5039	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 <s 𝐴 ↔ 𝑥 <s 𝐴))
8	7	elrab 3604	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝑦 <s 𝐴} ↔ (𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∧ 𝑥 <s 𝐴))
9	8	simprbi 500	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝑦 <s 𝐴} → 𝑥 <s 𝐴)
10	6, 9	syl6bi 256	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) → 𝑥 <s 𝐴))
11	10	ralrimiv 3112	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ∀𝑥 ∈ ( L ‘𝐴)𝑥 <s 𝐴)
12		breq2 5040	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 <s 𝑦 ↔ 𝑥 <s 𝐴))
13	12	ralsng 4573	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → (∀𝑦 ∈ {𝐴}𝑥 <s 𝑦 ↔ 𝑥 <s 𝐴))
14	13	ralbidv 3126	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (∀𝑥 ∈ ( L ‘𝐴)∀𝑦 ∈ {𝐴}𝑥 <s 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ( L ‘𝐴)𝑥 <s 𝐴))
15	11, 14	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ∀𝑥 ∈ ( L ‘𝐴)∀𝑦 ∈ {𝐴}𝑥 <s 𝑦)
16		fvex 6676	. . . 4 ⊢ ( L ‘𝐴) ∈ V
17		snex 5304	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
18	16, 17	pm3.2i 474	. . 3 ⊢ (( L ‘𝐴) ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V)
19		brsslt 33577	. . 3 ⊢ (( L ‘𝐴) <<s {𝐴} ↔ ((( L ‘𝐴) ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V) ∧ (( L ‘𝐴) ⊆ No ∧ {𝐴} ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ ( L ‘𝐴)∀𝑦 ∈ {𝐴}𝑥 <s 𝑦)))
20	18, 19	mpbiran 708	. 2 ⊢ (( L ‘𝐴) <<s {𝐴} ↔ (( L ‘𝐴) ⊆ No ∧ {𝐴} ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ ( L ‘𝐴)∀𝑦 ∈ {𝐴}𝑥 <s 𝑦))
21	3, 4, 15, 20	syl3anbrc 1340	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  {crab 3074  Vcvv 3409   ⊆ wss 3860  𝒫 cpw 4497  {csn 4525   class class class wbr 5036  ‘cfv 6340   No csur 33440   <s cslt 33441   bday cbday 33442   <<s csslt 33572   O cold 33621   L cleft 33623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-1o 8118  df-2o 8119  df-no 33443  df-slt 33444  df-bday 33445  df-sslt 33573  df-scut 33575  df-made 33625  df-old 33626  df-left 33628

This theorem is referenced by:  lltropt  33646  madebdaylemlrcut  33670