MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssltleft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssltleft 27222
Description: A surreal is greater than its left options. Theorem 0(ii) of [Conway] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
ssltleft (𝐴 ∈ No β†’ ( L β€˜π΄) <<s {𝐴})

Proof of Theorem ssltleft
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6862 . 2 (𝐴 ∈ No β†’ ( L β€˜π΄) ∈ V)
2 snex 5393 . . 3 {𝐴} ∈ V
32a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ No β†’ {𝐴} ∈ V)
4 leftf 27217 . . . 4 L : No βŸΆπ’« No
54ffvelcdmi 7039 . . 3 (𝐴 ∈ No β†’ ( L β€˜π΄) ∈ 𝒫 No )
65elpwid 4574 . 2 (𝐴 ∈ No β†’ ( L β€˜π΄) βŠ† No )
7 snssi 4773 . 2 (𝐴 ∈ No β†’ {𝐴} βŠ† No )
8 velsn 4607 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝐴} ↔ 𝑦 = 𝐴)
9 leftval 27215 . . . . . . . . . 10 ( L β€˜π΄) = {π‘₯ ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ∣ π‘₯ <s 𝐴}
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ No β†’ ( L β€˜π΄) = {π‘₯ ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ∣ π‘₯ <s 𝐴})
1110eleq2d 2824 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ No β†’ (π‘₯ ∈ ( L β€˜π΄) ↔ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ∣ π‘₯ <s 𝐴}))
12 rabid 3430 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ∣ π‘₯ <s 𝐴} ↔ (π‘₯ ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ∧ π‘₯ <s 𝐴))
1311, 12bitrdi 287 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ No β†’ (π‘₯ ∈ ( L β€˜π΄) ↔ (π‘₯ ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ∧ π‘₯ <s 𝐴)))
1413simplbda 501 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ No ∧ π‘₯ ∈ ( L β€˜π΄)) β†’ π‘₯ <s 𝐴)
15 breq2 5114 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 β†’ (π‘₯ <s 𝑦 ↔ π‘₯ <s 𝐴))
1614, 15syl5ibr 246 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 β†’ ((𝐴 ∈ No ∧ π‘₯ ∈ ( L β€˜π΄)) β†’ π‘₯ <s 𝑦))
1716expd 417 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 β†’ (𝐴 ∈ No β†’ (π‘₯ ∈ ( L β€˜π΄) β†’ π‘₯ <s 𝑦)))
188, 17sylbi 216 . . 3 (𝑦 ∈ {𝐴} β†’ (𝐴 ∈ No β†’ (π‘₯ ∈ ( L β€˜π΄) β†’ π‘₯ <s 𝑦)))
19183imp231 1114 . 2 ((𝐴 ∈ No ∧ π‘₯ ∈ ( L β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) β†’ π‘₯ <s 𝑦)
201, 3, 6, 7, 19ssltd 27153 1 (𝐴 ∈ No β†’ ( L β€˜π΄) <<s {𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3410  Vcvv 3448  π’« cpw 4565  {csn 4591   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501   No csur 27004   <s cslt 27005   bday cbday 27006   <<s csslt 27142   O cold 27195   L cleft 27197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-1o 8417  df-2o 8418  df-no 27007  df-slt 27008  df-bday 27009  df-sslt 27143  df-scut 27145  df-made 27199  df-old 27200  df-left 27202
This theorem is referenced by:  lltropt  27224  madebdaylemlrcut  27250  mulsproplem6  27406  mulsproplem7  27407  mulsproplem8  27408  mulsproplem9  27409
  Copyright terms: Public domain W3C validator