Theorem ssltleft 27782

Description: A surreal is greater than its left options. Theorem 0(ii) of [Conway] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ssltleft	⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s {𝐴})

Proof of Theorem ssltleft

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6873	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) ∈ V)
2		snex 5391	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ∈ V)
4		leftf 27777	. . . 4 ⊢ L : No ⟶𝒫 No
5	4	ffvelcdmi 7055	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) ∈ 𝒫 No )
6	5	elpwid 4572	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) ⊆ No )
7		snssi 4772	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ⊆ No )
8		velsn 4605	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐴} ↔ 𝑦 = 𝐴)
9		leftval 27771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( L ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝑥 <s 𝐴}
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝑥 <s 𝐴})
11	10	eleq2d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝑥 <s 𝐴}))
12		rabid 3427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝑥 <s 𝐴} ↔ (𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∧ 𝑥 <s 𝐴))
13	11, 12	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∧ 𝑥 <s 𝐴)))
14	13	simplbda 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑥 ∈ ( L ‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝐴)
15		breq2 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 <s 𝑦 ↔ 𝑥 <s 𝐴))
16	14, 15	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑥 ∈ ( L ‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝑦))
17	16	expd 415	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐴 ∈ No → (𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
18	8, 17	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐴} → (𝐴 ∈ No → (𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
19	18	3imp231 1112	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → 𝑥 <s 𝑦)
20	1, 3, 6, 7, 19	ssltd 27703	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3405  Vcvv 3447  𝒫 cpw 4563  {csn 4589   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511   No csur 27551   <s cslt 27552   bday cbday 27553   <<s csslt 27692   O cold 27751   L cleft 27753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-1o 8434  df-2o 8435  df-no 27554  df-slt 27555  df-bday 27556  df-sslt 27693  df-scut 27695  df-made 27755  df-old 27756  df-left 27758

This theorem is referenced by:  lltropt  27784  madebdaylemlrcut  27810  mulsproplem5  28023  mulsproplem6  28024  mulsproplem7  28025  mulsproplem8  28026  mulsuniflem  28052