MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssltleft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssltleft 27848
Description: A surreal is greater than its left options. Theorem 0(ii) of [Conway] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
ssltleft (𝐴 No → ( L ‘𝐴) <<s {𝐴})

Proof of Theorem ssltleft
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6911 . 2 (𝐴 No → ( L ‘𝐴) ∈ V)
2 snex 5433 . . 3 {𝐴} ∈ V
32a1i 11 . 2 (𝐴 No → {𝐴} ∈ V)
4 leftf 27843 . . . 4 L : No ⟶𝒫 No
54ffvelcdmi 7092 . . 3 (𝐴 No → ( L ‘𝐴) ∈ 𝒫 No )
65elpwid 4613 . 2 (𝐴 No → ( L ‘𝐴) ⊆ No )
7 snssi 4813 . 2 (𝐴 No → {𝐴} ⊆ No )
8 velsn 4646 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝐴} ↔ 𝑦 = 𝐴)
9 leftval 27841 . . . . . . . . . 10 ( L ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∣ 𝑥 <s 𝐴}
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 No → ( L ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∣ 𝑥 <s 𝐴})
1110eleq2d 2811 . . . . . . . 8 (𝐴 No → (𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∣ 𝑥 <s 𝐴}))
12 rabid 3439 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∣ 𝑥 <s 𝐴} ↔ (𝑥 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∧ 𝑥 <s 𝐴))
1311, 12bitrdi 286 . . . . . . 7 (𝐴 No → (𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∧ 𝑥 <s 𝐴)))
1413simplbda 498 . . . . . 6 ((𝐴 No 𝑥 ∈ ( L ‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝐴)
15 breq2 5153 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 <s 𝑦𝑥 <s 𝐴))
1614, 15imbitrrid 245 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐴 No 𝑥 ∈ ( L ‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝑦))
1716expd 414 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → (𝐴 No → (𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
188, 17sylbi 216 . . 3 (𝑦 ∈ {𝐴} → (𝐴 No → (𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
19183imp231 1110 . 2 ((𝐴 No 𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → 𝑥 <s 𝑦)
201, 3, 6, 7, 19ssltd 27775 1 (𝐴 No → ( L ‘𝐴) <<s {𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3418  Vcvv 3461  𝒫 cpw 4604  {csn 4630   class class class wbr 5149  cfv 6549   No csur 27623   <s cslt 27624   bday cbday 27625   <<s csslt 27764   O cold 27821   L cleft 27823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-1o 8487  df-2o 8488  df-no 27626  df-slt 27627  df-bday 27628  df-sslt 27765  df-scut 27767  df-made 27825  df-old 27826  df-left 27828
This theorem is referenced by:  lltropt  27850  madebdaylemlrcut  27876  mulsproplem5  28075  mulsproplem6  28076  mulsproplem7  28077  mulsproplem8  28078  mulsuniflem  28104
  Copyright terms: Public domain W3C validator