Theorem ssltright 27790

Description: A surreal is less than its right options. Theorem 0(i) of [Conway] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ssltright	⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} <<s ( R ‘𝐴))

Proof of Theorem ssltright

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5399	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ∈ V)
3		fvexd 6880	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) ∈ V)
4		snssi 4780	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ⊆ No )
5		rightf 27785	. . . 4 ⊢ R : No ⟶𝒫 No
6	5	ffvelcdmi 7062	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) ∈ 𝒫 No )
7	6	elpwid 4580	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) ⊆ No )
8		velsn 4613	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
9		rightval 27779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( R ‘𝐴) = {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦}
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) = {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦})
11	10	eleq2d 2815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) ↔ 𝑦 ∈ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦}))
12		rabid 3433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦} ↔ (𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∧ 𝐴 <s 𝑦))
13	11, 12	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∧ 𝐴 <s 𝑦)))
14	13	simplbda 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ ( R ‘𝐴)) → 𝐴 <s 𝑦)
15		breq1 5118	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 <s 𝑦 ↔ 𝐴 <s 𝑦))
16	14, 15	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ ( R ‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝑦))
17	16	expd 415	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ∈ No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
18	8, 17	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → (𝐴 ∈ No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
19	18	3imp21 1113	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ( R ‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝑦)
20	2, 3, 4, 7, 19	ssltd 27710	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} <<s ( R ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3411  Vcvv 3455  𝒫 cpw 4571  {csn 4597   class class class wbr 5115  ‘cfv 6519   No csur 27558   <s cslt 27559   bday cbday 27560   <<s csslt 27699   O cold 27758   R cright 27761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-tp 4602  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-1o 8443  df-2o 8444  df-no 27561  df-slt 27562  df-bday 27563  df-sslt 27700  df-scut 27702  df-made 27762  df-old 27763  df-right 27766

This theorem is referenced by:  lltropt  27791  madebdaylemlrcut  27817  mulsproplem5  28030  mulsproplem6  28031  mulsproplem7  28032  mulsproplem8  28033  mulsuniflem  28059