MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssltright Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssltright 27753
Description: A surreal is less than its right options. Theorem 0(i) of [Conway] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
ssltright (𝐴 ∈ No β†’ {𝐴} <<s ( R β€˜π΄))

Proof of Theorem ssltright
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 5424 . . 3 {𝐴} ∈ V
21a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ No β†’ {𝐴} ∈ V)
3 fvexd 6900 . 2 (𝐴 ∈ No β†’ ( R β€˜π΄) ∈ V)
4 snssi 4806 . 2 (𝐴 ∈ No β†’ {𝐴} βŠ† No )
5 rightf 27748 . . . 4 R : No βŸΆπ’« No
65ffvelcdmi 7079 . . 3 (𝐴 ∈ No β†’ ( R β€˜π΄) ∈ 𝒫 No )
76elpwid 4606 . 2 (𝐴 ∈ No β†’ ( R β€˜π΄) βŠ† No )
8 velsn 4639 . . . 4 (π‘₯ ∈ {𝐴} ↔ π‘₯ = 𝐴)
9 rightval 27746 . . . . . . . . . 10 ( R β€˜π΄) = {𝑦 ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ∣ 𝐴 <s 𝑦}
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ No β†’ ( R β€˜π΄) = {𝑦 ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ∣ 𝐴 <s 𝑦})
1110eleq2d 2813 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ No β†’ (𝑦 ∈ ( R β€˜π΄) ↔ 𝑦 ∈ {𝑦 ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ∣ 𝐴 <s 𝑦}))
12 rabid 3446 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ∣ 𝐴 <s 𝑦} ↔ (𝑦 ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ∧ 𝐴 <s 𝑦))
1311, 12bitrdi 287 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ No β†’ (𝑦 ∈ ( R β€˜π΄) ↔ (𝑦 ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ∧ 𝐴 <s 𝑦)))
1413simplbda 499 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ ( R β€˜π΄)) β†’ 𝐴 <s 𝑦)
15 breq1 5144 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ <s 𝑦 ↔ 𝐴 <s 𝑦))
1614, 15imbitrrid 245 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ ( R β€˜π΄)) β†’ π‘₯ <s 𝑦))
1716expd 415 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝐴 ∈ No β†’ (𝑦 ∈ ( R β€˜π΄) β†’ π‘₯ <s 𝑦)))
188, 17sylbi 216 . . 3 (π‘₯ ∈ {𝐴} β†’ (𝐴 ∈ No β†’ (𝑦 ∈ ( R β€˜π΄) β†’ π‘₯ <s 𝑦)))
19183imp21 1111 . 2 ((𝐴 ∈ No ∧ π‘₯ ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ( R β€˜π΄)) β†’ π‘₯ <s 𝑦)
202, 3, 4, 7, 19ssltd 27679 1 (𝐴 ∈ No β†’ {𝐴} <<s ( R β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468  π’« cpw 4597  {csn 4623   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537   No csur 27528   <s cslt 27529   bday cbday 27530   <<s csslt 27668   O cold 27725   R cright 27728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-1o 8467  df-2o 8468  df-no 27531  df-slt 27532  df-bday 27533  df-sslt 27669  df-scut 27671  df-made 27729  df-old 27730  df-right 27733
This theorem is referenced by:  lltropt  27754  madebdaylemlrcut  27780  mulsproplem5  27975  mulsproplem6  27976  mulsproplem7  27977  mulsproplem8  27978  mulsuniflem  28004
  Copyright terms: Public domain W3C validator