MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssltright Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssltright 27930
Description: A surreal is less than its right options. Theorem 0(i) of [Conway] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
ssltright (𝐴 No → {𝐴} <<s ( R ‘𝐴))

Proof of Theorem ssltright
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 5451 . . 3 {𝐴} ∈ V
21a1i 11 . 2 (𝐴 No → {𝐴} ∈ V)
3 fvexd 6937 . 2 (𝐴 No → ( R ‘𝐴) ∈ V)
4 snssi 4833 . 2 (𝐴 No → {𝐴} ⊆ No )
5 rightf 27925 . . . 4 R : No ⟶𝒫 No
65ffvelcdmi 7119 . . 3 (𝐴 No → ( R ‘𝐴) ∈ 𝒫 No )
76elpwid 4631 . 2 (𝐴 No → ( R ‘𝐴) ⊆ No )
8 velsn 4664 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
9 rightval 27923 . . . . . . . . . 10 ( R ‘𝐴) = {𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦}
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 No → ( R ‘𝐴) = {𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦})
1110eleq2d 2830 . . . . . . . 8 (𝐴 No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) ↔ 𝑦 ∈ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦}))
12 rabid 3465 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦} ↔ (𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∧ 𝐴 <s 𝑦))
1311, 12bitrdi 287 . . . . . . 7 (𝐴 No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∧ 𝐴 <s 𝑦)))
1413simplbda 499 . . . . . 6 ((𝐴 No 𝑦 ∈ ( R ‘𝐴)) → 𝐴 <s 𝑦)
15 breq1 5169 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 <s 𝑦𝐴 <s 𝑦))
1614, 15imbitrrid 246 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 No 𝑦 ∈ ( R ‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝑦))
1716expd 415 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
188, 17sylbi 217 . . 3 (𝑥 ∈ {𝐴} → (𝐴 No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
19183imp21 1114 . 2 ((𝐴 No 𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ( R ‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝑦)
202, 3, 4, 7, 19ssltd 27856 1 (𝐴 No → {𝐴} <<s ( R ‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488  𝒫 cpw 4622  {csn 4648   class class class wbr 5166  cfv 6575   No csur 27704   <s cslt 27705   bday cbday 27706   <<s csslt 27845   O cold 27902   R cright 27905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-1o 8524  df-2o 8525  df-no 27707  df-slt 27708  df-bday 27709  df-sslt 27846  df-scut 27848  df-made 27906  df-old 27907  df-right 27910
This theorem is referenced by:  lltropt  27931  madebdaylemlrcut  27957  mulsproplem5  28166  mulsproplem6  28167  mulsproplem7  28168  mulsproplem8  28169  mulsuniflem  28195
  Copyright terms: Public domain W3C validator