MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssltright Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssltright 27791
Description: A surreal is less than its right options. Theorem 0(i) of [Conway] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
ssltright (𝐴 No → {𝐴} <<s ( R ‘𝐴))

Proof of Theorem ssltright
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 5427 . . 3 {𝐴} ∈ V
21a1i 11 . 2 (𝐴 No → {𝐴} ∈ V)
3 fvexd 6906 . 2 (𝐴 No → ( R ‘𝐴) ∈ V)
4 snssi 4807 . 2 (𝐴 No → {𝐴} ⊆ No )
5 rightf 27786 . . . 4 R : No ⟶𝒫 No
65ffvelcdmi 7087 . . 3 (𝐴 No → ( R ‘𝐴) ∈ 𝒫 No )
76elpwid 4607 . 2 (𝐴 No → ( R ‘𝐴) ⊆ No )
8 velsn 4640 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
9 rightval 27784 . . . . . . . . . 10 ( R ‘𝐴) = {𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦}
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 No → ( R ‘𝐴) = {𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦})
1110eleq2d 2815 . . . . . . . 8 (𝐴 No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) ↔ 𝑦 ∈ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦}))
12 rabid 3448 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦} ↔ (𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∧ 𝐴 <s 𝑦))
1311, 12bitrdi 287 . . . . . . 7 (𝐴 No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∧ 𝐴 <s 𝑦)))
1413simplbda 499 . . . . . 6 ((𝐴 No 𝑦 ∈ ( R ‘𝐴)) → 𝐴 <s 𝑦)
15 breq1 5145 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 <s 𝑦𝐴 <s 𝑦))
1614, 15imbitrrid 245 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 No 𝑦 ∈ ( R ‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝑦))
1716expd 415 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
188, 17sylbi 216 . . 3 (𝑥 ∈ {𝐴} → (𝐴 No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
19183imp21 1112 . 2 ((𝐴 No 𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ( R ‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝑦)
202, 3, 4, 7, 19ssltd 27717 1 (𝐴 No → {𝐴} <<s ( R ‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  {crab 3428  Vcvv 3470  𝒫 cpw 4598  {csn 4624   class class class wbr 5142  cfv 6542   No csur 27566   <s cslt 27567   bday cbday 27568   <<s csslt 27706   O cold 27763   R cright 27766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-1o 8480  df-2o 8481  df-no 27569  df-slt 27570  df-bday 27571  df-sslt 27707  df-scut 27709  df-made 27767  df-old 27768  df-right 27771
This theorem is referenced by:  lltropt  27792  madebdaylemlrcut  27818  mulsproplem5  28013  mulsproplem6  28014  mulsproplem7  28015  mulsproplem8  28016  mulsuniflem  28042
  Copyright terms: Public domain W3C validator