MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssltright Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssltright 27919
Description: A surreal is less than its right options. Theorem 0(i) of [Conway] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
ssltright (𝐴 No → {𝐴} <<s ( R ‘𝐴))

Proof of Theorem ssltright
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 5454 . . 3 {𝐴} ∈ V
21a1i 11 . 2 (𝐴 No → {𝐴} ∈ V)
3 fvexd 6934 . 2 (𝐴 No → ( R ‘𝐴) ∈ V)
4 snssi 4833 . 2 (𝐴 No → {𝐴} ⊆ No )
5 rightf 27914 . . . 4 R : No ⟶𝒫 No
65ffvelcdmi 7115 . . 3 (𝐴 No → ( R ‘𝐴) ∈ 𝒫 No )
76elpwid 4631 . 2 (𝐴 No → ( R ‘𝐴) ⊆ No )
8 velsn 4664 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
9 rightval 27912 . . . . . . . . . 10 ( R ‘𝐴) = {𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦}
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 No → ( R ‘𝐴) = {𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦})
1110eleq2d 2824 . . . . . . . 8 (𝐴 No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) ↔ 𝑦 ∈ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦}))
12 rabid 3459 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦} ↔ (𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∧ 𝐴 <s 𝑦))
1311, 12bitrdi 287 . . . . . . 7 (𝐴 No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ( O ‘( bday 𝐴)) ∧ 𝐴 <s 𝑦)))
1413simplbda 499 . . . . . 6 ((𝐴 No 𝑦 ∈ ( R ‘𝐴)) → 𝐴 <s 𝑦)
15 breq1 5172 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 <s 𝑦𝐴 <s 𝑦))
1614, 15imbitrrid 246 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 No 𝑦 ∈ ( R ‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝑦))
1716expd 415 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
188, 17sylbi 217 . . 3 (𝑥 ∈ {𝐴} → (𝐴 No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
19183imp21 1114 . 2 ((𝐴 No 𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ( R ‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝑦)
202, 3, 4, 7, 19ssltd 27845 1 (𝐴 No → {𝐴} <<s ( R ‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2103  {crab 3438  Vcvv 3482  𝒫 cpw 4622  {csn 4648   class class class wbr 5169  cfv 6572   No csur 27693   <s cslt 27694   bday cbday 27695   <<s csslt 27834   O cold 27891   R cright 27894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-1o 8518  df-2o 8519  df-no 27696  df-slt 27697  df-bday 27698  df-sslt 27835  df-scut 27837  df-made 27895  df-old 27896  df-right 27899
This theorem is referenced by:  lltropt  27920  madebdaylemlrcut  27946  mulsproplem5  28155  mulsproplem6  28156  mulsproplem7  28157  mulsproplem8  28158  mulsuniflem  28184
  Copyright terms: Public domain W3C validator