MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssltright Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssltright 27816
Description: A surreal is less than its right options. Theorem 0(i) of [Conway] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
ssltright (𝐴 ∈ No β†’ {𝐴} <<s ( R β€˜π΄))

Proof of Theorem ssltright
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 5427 . . 3 {𝐴} ∈ V
21a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ No β†’ {𝐴} ∈ V)
3 fvexd 6907 . 2 (𝐴 ∈ No β†’ ( R β€˜π΄) ∈ V)
4 snssi 4807 . 2 (𝐴 ∈ No β†’ {𝐴} βŠ† No )
5 rightf 27811 . . . 4 R : No βŸΆπ’« No
65ffvelcdmi 7088 . . 3 (𝐴 ∈ No β†’ ( R β€˜π΄) ∈ 𝒫 No )
76elpwid 4607 . 2 (𝐴 ∈ No β†’ ( R β€˜π΄) βŠ† No )
8 velsn 4640 . . . 4 (π‘₯ ∈ {𝐴} ↔ π‘₯ = 𝐴)
9 rightval 27809 . . . . . . . . . 10 ( R β€˜π΄) = {𝑦 ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ∣ 𝐴 <s 𝑦}
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ No β†’ ( R β€˜π΄) = {𝑦 ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ∣ 𝐴 <s 𝑦})
1110eleq2d 2811 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ No β†’ (𝑦 ∈ ( R β€˜π΄) ↔ 𝑦 ∈ {𝑦 ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ∣ 𝐴 <s 𝑦}))
12 rabid 3440 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ∣ 𝐴 <s 𝑦} ↔ (𝑦 ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ∧ 𝐴 <s 𝑦))
1311, 12bitrdi 286 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ No β†’ (𝑦 ∈ ( R β€˜π΄) ↔ (𝑦 ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ∧ 𝐴 <s 𝑦)))
1413simplbda 498 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ ( R β€˜π΄)) β†’ 𝐴 <s 𝑦)
15 breq1 5146 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ <s 𝑦 ↔ 𝐴 <s 𝑦))
1614, 15imbitrrid 245 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ ( R β€˜π΄)) β†’ π‘₯ <s 𝑦))
1716expd 414 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝐴 ∈ No β†’ (𝑦 ∈ ( R β€˜π΄) β†’ π‘₯ <s 𝑦)))
188, 17sylbi 216 . . 3 (π‘₯ ∈ {𝐴} β†’ (𝐴 ∈ No β†’ (𝑦 ∈ ( R β€˜π΄) β†’ π‘₯ <s 𝑦)))
19183imp21 1111 . 2 ((𝐴 ∈ No ∧ π‘₯ ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ( R β€˜π΄)) β†’ π‘₯ <s 𝑦)
202, 3, 4, 7, 19ssltd 27742 1 (𝐴 ∈ No β†’ {𝐴} <<s ( R β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463  π’« cpw 4598  {csn 4624   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543   No csur 27591   <s cslt 27592   bday cbday 27593   <<s csslt 27731   O cold 27788   R cright 27791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-1o 8485  df-2o 8486  df-no 27594  df-slt 27595  df-bday 27596  df-sslt 27732  df-scut 27734  df-made 27792  df-old 27793  df-right 27796
This theorem is referenced by:  lltropt  27817  madebdaylemlrcut  27843  mulsproplem5  28042  mulsproplem6  28043  mulsproplem7  28044  mulsproplem8  28045  mulsuniflem  28071
  Copyright terms: Public domain W3C validator