Theorem ssltright 27789

Description: A surreal is less than its right options. Theorem 0(i) of [Conway] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ssltright	⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} <<s ( R ‘𝐴))

Proof of Theorem ssltright

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5393	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ∈ V)
3		fvexd 6875	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) ∈ V)
4		snssi 4774	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ⊆ No )
5		rightf 27784	. . . 4 ⊢ R : No ⟶𝒫 No
6	5	ffvelcdmi 7057	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) ∈ 𝒫 No )
7	6	elpwid 4574	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) ⊆ No )
8		velsn 4607	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
9		rightval 27778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( R ‘𝐴) = {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦}
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) = {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦})
11	10	eleq2d 2815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) ↔ 𝑦 ∈ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦}))
12		rabid 3430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦} ↔ (𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∧ 𝐴 <s 𝑦))
13	11, 12	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∧ 𝐴 <s 𝑦)))
14	13	simplbda 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ ( R ‘𝐴)) → 𝐴 <s 𝑦)
15		breq1 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 <s 𝑦 ↔ 𝐴 <s 𝑦))
16	14, 15	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ ( R ‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝑦))
17	16	expd 415	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ∈ No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
18	8, 17	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → (𝐴 ∈ No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
19	18	3imp21 1113	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ( R ‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝑦)
20	2, 3, 4, 7, 19	ssltd 27709	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} <<s ( R ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408  Vcvv 3450  𝒫 cpw 4565  {csn 4591   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513   No csur 27557   <s cslt 27558   bday cbday 27559   <<s csslt 27698   O cold 27757   R cright 27760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-1o 8436  df-2o 8437  df-no 27560  df-slt 27561  df-bday 27562  df-sslt 27699  df-scut 27701  df-made 27761  df-old 27762  df-right 27765

This theorem is referenced by:  lltropt  27790  madebdaylemlrcut  27816  mulsproplem5  28029  mulsproplem6  28030  mulsproplem7  28031  mulsproplem8  28032  mulsuniflem  28058