Theorem subrngrcl 20714

Description: Reverse closure for a subring predicate. (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
subrngrcl	⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑅 ∈ Rng)

Proof of Theorem subrngrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2	1	issubrng 20710	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Rng ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅)))
3	2	simp1bi 1163	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑅 ∈ Rng)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305   ↾_s cress 17326  Rngcrng 20288  SubRngcsubrng 20708

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7419  df-subrng 20709

This theorem is used by:  subrngsubg  20715  subrngringnsg  20716  opprsubrng  20722  subrngint  20723  subsubrng  20726