Theorem opprsubrng 20576

Description: Being a subring is a symmetric property. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprsubrng.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprsubrng	⊢ (SubRng‘𝑅) = (SubRng‘𝑂)

Proof of Theorem opprsubrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrngrcl 20568	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑅 ∈ Rng)
2		subrngrcl 20568	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂) → 𝑂 ∈ Rng)
3		opprsubrng.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
4	3	opprrngb 20363	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng ↔ 𝑂 ∈ Rng)
5	2, 4	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂) → 𝑅 ∈ Rng)
6	3	opprsubg 20369	. . . . . . 7 ⊢ (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂))
8	7	eleq2d 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂)))
9		ralcom 3287	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑥)
10		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
13	10, 11, 3, 12	opprmul 20354	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦(.r‘𝑂)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)
14	13	eleq1i 2830	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑂)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑥)
15	14	2ralbii 3126	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑂)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑥)
16	9, 15	bitr4i 278	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑂)𝑧) ∈ 𝑥)
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑂)𝑧) ∈ 𝑥))
18	8, 17	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑂)𝑧) ∈ 𝑥)))
19	10, 11	issubrng2 20575	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑥)))
20	3, 10	opprbas 20358	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
21	20, 12	issubrng2 20575	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ Rng → (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑂)𝑧) ∈ 𝑥)))
22	4, 21	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑂)𝑧) ∈ 𝑥)))
23	18, 19, 22	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂)))
24	1, 5, 23	pm5.21nii 378	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂))
25	24	eqriv 2732	1 ⊢ (SubRng‘𝑅) = (SubRng‘𝑂)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299  SubGrpcsubg 19151  Rngcrng 20170  opp_rcoppr 20350  SubRngcsubrng 20562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-oppr 20351  df-subrng 20563

This theorem is referenced by: (None)