MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprsubrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprsubrng 20498
Description: Being a subring is a symmetric property. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)
Hypothesis
Ref Expression
opprsubrng.o 𝑂 = (oppr𝑅)
Assertion
Ref Expression
opprsubrng (SubRng‘𝑅) = (SubRng‘𝑂)

Proof of Theorem opprsubrng
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrngrcl 20490 . . 3 (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑅 ∈ Rng)
2 subrngrcl 20490 . . . 4 (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂) → 𝑂 ∈ Rng)
3 opprsubrng.o . . . . 5 𝑂 = (oppr𝑅)
43opprrngb 20287 . . . 4 (𝑅 ∈ Rng ↔ 𝑂 ∈ Rng)
52, 4sylibr 233 . . 3 (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂) → 𝑅 ∈ Rng)
63opprsubg 20293 . . . . . . 7 (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)
76a1i 11 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Rng → (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂))
87eleq2d 2811 . . . . 5 (𝑅 ∈ Rng → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂)))
9 ralcom 3277 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑧(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑥)
10 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
12 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (.r𝑂) = (.r𝑂)
1310, 11, 3, 12opprmul 20278 . . . . . . . . 9 (𝑦(.r𝑂)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑦)
1413eleq1i 2816 . . . . . . . 8 ((𝑦(.r𝑂)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ (𝑧(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑥)
15142ralbii 3118 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(.r𝑂)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑧(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑥)
169, 15bitr4i 277 . . . . . 6 (∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(.r𝑂)𝑧) ∈ 𝑥)
1716a1i 11 . . . . 5 (𝑅 ∈ Rng → (∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(.r𝑂)𝑧) ∈ 𝑥))
188, 17anbi12d 630 . . . 4 (𝑅 ∈ Rng → ((𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(.r𝑂)𝑧) ∈ 𝑥)))
1910, 11issubrng2 20497 . . . 4 (𝑅 ∈ Rng → (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑥)))
203, 10opprbas 20282 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
2120, 12issubrng2 20497 . . . . 5 (𝑂 ∈ Rng → (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(.r𝑂)𝑧) ∈ 𝑥)))
224, 21sylbi 216 . . . 4 (𝑅 ∈ Rng → (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(.r𝑂)𝑧) ∈ 𝑥)))
2318, 19, 223bitr4d 310 . . 3 (𝑅 ∈ Rng → (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂)))
241, 5, 23pm5.21nii 377 . 2 (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂))
2524eqriv 2722 1 (SubRng‘𝑅) = (SubRng‘𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3051  cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  .rcmulr 17231  SubGrpcsubg 19077  Rngcrng 20094  opprcoppr 20274  SubRngcsubrng 20484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-subg 19080  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-oppr 20275  df-subrng 20485
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator