Theorem opprsubrng 20669

Description: Being a subring is a symmetric property. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprsubrng.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprsubrng	⊢ (SubRng‘𝑅) = (SubRng‘𝑂)

Proof of Theorem opprsubrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrngrcl 20661	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑅 ∈ Rng)
2		subrngrcl 20661	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂) → 𝑂 ∈ Rng)
3		opprsubrng.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
4	3	opprrngb 20435	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng ↔ 𝑂 ∈ Rng)
5	2, 4	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂) → 𝑅 ∈ Rng)
6	3	opprsubg 20441	. . . . . . 7 ⊢ (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂))
8	7	eleq2d 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂)))
9		ralcom 3292	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑥)
10		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
13	10, 11, 3, 12	opprmul 20429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦(.r‘𝑂)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)
14	13	eleq1i 2853	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑂)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑥)
15	14	2ralbii 3139	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑂)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑥)
16	9, 15	bitr4i 281	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑂)𝑧) ∈ 𝑥)
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑂)𝑧) ∈ 𝑥))
18	8, 17	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑂)𝑧) ∈ 𝑥)))
19	10, 11	issubrng2 20668	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑥)))
20	3, 10	opprbas 20432	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
21	20, 12	issubrng2 20668	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ Rng → (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑂)𝑧) ∈ 𝑥)))
22	4, 21	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑂)𝑧) ∈ 𝑥)))
23	18, 19, 22	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂)))
24	1, 5, 23	pm5.21nii 381	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂))
25	24	eqriv 2759	1 ⊢ (SubRng‘𝑅) = (SubRng‘𝑂)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  ._rcmulr 17317  SubGrpcsubg 19192  Rngcrng 20236  opp_rcoppr 20425  SubRngcsubrng 20655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-subg 19195  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-oppr 20426  df-subrng 20656

This theorem is used by: (None)