Theorem opprsubrng 20495

Description: Being a subring is a symmetric property. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprsubrng.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprsubrng	⊢ (SubRng‘𝑅) = (SubRng‘𝑂)

Proof of Theorem opprsubrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrngrcl 20487	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑅 ∈ Rng)
2		subrngrcl 20487	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂) → 𝑂 ∈ Rng)
3		opprsubrng.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
4	3	opprrngb 20284	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng ↔ 𝑂 ∈ Rng)
5	2, 4	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂) → 𝑅 ∈ Rng)
6	3	opprsubg 20290	. . . . . . 7 ⊢ (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂))
8	7	eleq2d 2815	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂)))
9		ralcom 3283	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑥)
10		eqid 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		eqid 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12		eqid 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
13	10, 11, 3, 12	opprmul 20275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦(.r‘𝑂)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦)
14	13	eleq1i 2820	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑂)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑥)
15	14	2ralbii 3125	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑂)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑥)
16	9, 15	bitr4i 278	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑂)𝑧) ∈ 𝑥)
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑂)𝑧) ∈ 𝑥))
18	8, 17	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑂)𝑧) ∈ 𝑥)))
19	10, 11	issubrng2 20494	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑥)))
20	3, 10	opprbas 20279	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
21	20, 12	issubrng2 20494	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ Rng → (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑂)𝑧) ∈ 𝑥)))
22	4, 21	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑂)𝑧) ∈ 𝑥)))
23	18, 19, 22	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂)))
24	1, 5, 23	pm5.21nii 378	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂))
25	24	eqriv 2725	1 ⊢ (SubRng‘𝑅) = (SubRng‘𝑂)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  ._rcmulr 17233  SubGrpcsubg 19074  Rngcrng 20091  opp_rcoppr 20271  SubRngcsubrng 20481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-subg 19077  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-oppr 20272  df-subrng 20482

This theorem is referenced by: (None)