MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprsubrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprsubrng 20495
Description: Being a subring is a symmetric property. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)
Hypothesis
Ref Expression
opprsubrng.o 𝑂 = (oppr𝑅)
Assertion
Ref Expression
opprsubrng (SubRng‘𝑅) = (SubRng‘𝑂)

Proof of Theorem opprsubrng
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrngrcl 20487 . . 3 (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑅 ∈ Rng)
2 subrngrcl 20487 . . . 4 (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂) → 𝑂 ∈ Rng)
3 opprsubrng.o . . . . 5 𝑂 = (oppr𝑅)
43opprrngb 20284 . . . 4 (𝑅 ∈ Rng ↔ 𝑂 ∈ Rng)
52, 4sylibr 233 . . 3 (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂) → 𝑅 ∈ Rng)
63opprsubg 20290 . . . . . . 7 (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)
76a1i 11 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Rng → (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂))
87eleq2d 2815 . . . . 5 (𝑅 ∈ Rng → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂)))
9 ralcom 3283 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑧(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑥)
10 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
12 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (.r𝑂) = (.r𝑂)
1310, 11, 3, 12opprmul 20275 . . . . . . . . 9 (𝑦(.r𝑂)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑦)
1413eleq1i 2820 . . . . . . . 8 ((𝑦(.r𝑂)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ (𝑧(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑥)
15142ralbii 3125 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(.r𝑂)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑧(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑥)
169, 15bitr4i 278 . . . . . 6 (∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(.r𝑂)𝑧) ∈ 𝑥)
1716a1i 11 . . . . 5 (𝑅 ∈ Rng → (∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(.r𝑂)𝑧) ∈ 𝑥))
188, 17anbi12d 631 . . . 4 (𝑅 ∈ Rng → ((𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(.r𝑂)𝑧) ∈ 𝑥)))
1910, 11issubrng2 20494 . . . 4 (𝑅 ∈ Rng → (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑥)))
203, 10opprbas 20279 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
2120, 12issubrng2 20494 . . . . 5 (𝑂 ∈ Rng → (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(.r𝑂)𝑧) ∈ 𝑥)))
224, 21sylbi 216 . . . 4 (𝑅 ∈ Rng → (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(.r𝑂)𝑧) ∈ 𝑥)))
2318, 19, 223bitr4d 311 . . 3 (𝑅 ∈ Rng → (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂)))
241, 5, 23pm5.21nii 378 . 2 (𝑥 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubRng‘𝑂))
2524eqriv 2725 1 (SubRng‘𝑅) = (SubRng‘𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3058  cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  .rcmulr 17233  SubGrpcsubg 19074  Rngcrng 20091  opprcoppr 20271  SubRngcsubrng 20481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-subg 19077  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-oppr 20272  df-subrng 20482
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator