Theorem subrngint 20498

Description: The intersection of a nonempty collection of subrings is a subring. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
subrngint	⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubRng‘𝑅))

Proof of Theorem subrngint

Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrngsubg 20490	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑟 ∈ (SubGrp‘𝑅))
2	1	ssriv 3938	. . . 4 ⊢ (SubRng‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)
3		sstr 3943	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ (SubRng‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
4	2, 3	mpan2 692	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
5		subgint 19085	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
6	4, 5	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
7		ssel2 3929	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅))
8	7	ad4ant14 753	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅))
9		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑆)
10		elinti 4912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 → (𝑟 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ 𝑟))
11	10	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑟)
12	9, 11	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑟)
13		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)
14		elinti 4912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝑆 → (𝑟 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝑟))
15	14	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑟)
16	13, 15	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑟)
17		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18	17	subrngmcl 20495	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟 ∧ 𝑦 ∈ 𝑟) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
19	8, 12, 16, 18	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
20	19	ralrimiva 3129	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → ∀𝑟 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
21		ovex 7394	. . . . 5 ⊢ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V
22	21	elint2 4910	. . . 4 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
23	20, 22	sylibr 234	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
24	23	ralrimivva 3180	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
25		ssn0 4357	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (SubRng‘𝑅) ≠ ∅)
26		n0 4306	. . . 4 ⊢ ((SubRng‘𝑅) ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅))
27		subrngrcl 20489	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑅 ∈ Rng)
28	27	exlimiv 1932	. . . 4 ⊢ (∃𝑟 𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑅 ∈ Rng)
29	26, 28	sylbi 217	. . 3 ⊢ ((SubRng‘𝑅) ≠ ∅ → 𝑅 ∈ Rng)
30		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31	30, 17	issubrng2 20496	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (∩ 𝑆 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
32	25, 29, 31	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (∩ 𝑆 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
33	6, 24, 32	mpbir2and 714	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubRng‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286  ∩ cint 4903  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17141  ._rcmulr 17183  SubGrpcsubg 19055  Rngcrng 20092  SubRngcsubrng 20483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-0g 17366  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18871  df-minusg 18872  df-subg 19058  df-cmn 19716  df-abl 19717  df-mgp 20081  df-rng 20093  df-subrng 20484

This theorem is referenced by:  subrngin  20499  subrngmre  20500