Theorem subrngint 20586

Description: The intersection of a nonempty collection of subrings is a subring. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
subrngint	⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubRng‘𝑅))

Proof of Theorem subrngint

Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrngsubg 20578	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑟 ∈ (SubGrp‘𝑅))
2	1	ssriv 4012	. . . 4 ⊢ (SubRng‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)
3		sstr 4017	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ (SubRng‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
4	2, 3	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
5		subgint 19190	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
6	4, 5	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
7		ssel2 4003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅))
8	7	ad4ant14 751	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅))
9		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑆)
10		elinti 4979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 → (𝑟 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ 𝑟))
11	10	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑟)
12	9, 11	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑟)
13		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)
14		elinti 4979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝑆 → (𝑟 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝑟))
15	14	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑟)
16	13, 15	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑟)
17		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18	17	subrngmcl 20583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟 ∧ 𝑦 ∈ 𝑟) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
19	8, 12, 16, 18	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
20	19	ralrimiva 3152	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → ∀𝑟 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
21		ovex 7481	. . . . 5 ⊢ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V
22	21	elint2 4977	. . . 4 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
23	20, 22	sylibr 234	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
24	23	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
25		ssn0 4427	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (SubRng‘𝑅) ≠ ∅)
26		n0 4376	. . . 4 ⊢ ((SubRng‘𝑅) ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅))
27		subrngrcl 20577	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑅 ∈ Rng)
28	27	exlimiv 1929	. . . 4 ⊢ (∃𝑟 𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑅 ∈ Rng)
29	26, 28	sylbi 217	. . 3 ⊢ ((SubRng‘𝑅) ≠ ∅ → 𝑅 ∈ Rng)
30		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31	30, 17	issubrng2 20584	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (∩ 𝑆 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
32	25, 29, 31	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (∩ 𝑆 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
33	6, 24, 32	mpbir2and 712	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubRng‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ∩ cint 4970  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  SubGrpcsubg 19160  Rngcrng 20179  SubRngcsubrng 20571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-subg 19163  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-subrng 20572

This theorem is referenced by:  subrngin  20587  subrngmre  20588