Theorem subrngint 20578

Description: The intersection of a nonempty collection of subrings is a subring. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
subrngint	⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubRng‘𝑅))

Proof of Theorem subrngint

Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrngsubg 20570	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑟 ∈ (SubGrp‘𝑅))
2	1	ssriv 3931	. . . 4 ⊢ (SubRng‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)
3		sstr 3935	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ (SubRng‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
4	2, 3	mpan2 699	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
5		subgint 19164	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
6	4, 5	sylan 588	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
7		ssel2 3922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅))
8	7	ad4ant14 760	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅))
9		simprl 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑆)
10		elinti 4904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 → (𝑟 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ 𝑟))
11	10	imp 409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑟)
12	9, 11	sylan 588	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑟)
13		simprr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)
14		elinti 4904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝑆 → (𝑟 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝑟))
15	14	imp 409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑟)
16	13, 15	sylan 588	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑟)
17		eqid 2752	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18	17	subrngmcl 20575	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟 ∧ 𝑦 ∈ 𝑟) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
19	8, 12, 16, 18	syl3anc 1382	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
20	19	ralrimiva 3144	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → ∀𝑟 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
21		ovex 7414	. . . . 5 ⊢ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V
22	21	elint2 4902	. . . 4 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
23	20, 22	sylibr 236	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
24	23	ralrimivva 3195	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
25		ssn0 4348	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (SubRng‘𝑅) ≠ ∅)
26		n0 4296	. . . 4 ⊢ ((SubRng‘𝑅) ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅))
27		subrngrcl 20569	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑅 ∈ Rng)
28	27	exlimiv 1940	. . . 4 ⊢ (∃𝑟 𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑅 ∈ Rng)
29	26, 28	sylbi 219	. . 3 ⊢ ((SubRng‘𝑅) ≠ ∅ → 𝑅 ∈ Rng)
30		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31	30, 17	issubrng2 20576	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (∩ 𝑆 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
32	25, 29, 31	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (∩ 𝑆 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
33	6, 24, 32	mpbir2and 721	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubRng‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398  ∃wex 1789   ∈ wcel 2132   ≠ wne 2947  ∀wral 3066   ⊆ wss 3895  ∅c0 4276  ∩ cint 4895  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  Basecbs 17217  ._rcmulr 17259  SubGrpcsubg 19134  Rngcrng 20170  SubRngcsubrng 20563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-0g 17442  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-subg 19137  df-cmn 19794  df-abl 19795  df-mgp 20159  df-rng 20171  df-subrng 20564

This theorem is referenced by:  subrngin  20579  subrngmre  20580