MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrngint Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrngint 20501
Description: The intersection of a nonempty collection of subrings is a subring. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)
Assertion
Ref Expression
subrngint ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (SubRng‘𝑅))

Proof of Theorem subrngint
Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrngsubg 20493 . . . . 5 (𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑟 ∈ (SubGrp‘𝑅))
21ssriv 3976 . . . 4 (SubRng‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)
3 sstr 3981 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ (SubRng‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
42, 3mpan2 689 . . 3 (𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
5 subgint 19109 . . 3 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
64, 5sylan 578 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
7 ssel2 3967 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑟𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅))
87ad4ant14 750 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑟𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅))
9 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → 𝑥 𝑆)
10 elinti 4953 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑆 → (𝑟𝑆𝑥𝑟))
1110imp 405 . . . . . . 7 ((𝑥 𝑆𝑟𝑆) → 𝑥𝑟)
129, 11sylan 578 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑟𝑆) → 𝑥𝑟)
13 simprr 771 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → 𝑦 𝑆)
14 elinti 4953 . . . . . . . 8 (𝑦 𝑆 → (𝑟𝑆𝑦𝑟))
1514imp 405 . . . . . . 7 ((𝑦 𝑆𝑟𝑆) → 𝑦𝑟)
1613, 15sylan 578 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑟𝑆) → 𝑦𝑟)
17 eqid 2725 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1817subrngmcl 20498 . . . . . 6 ((𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑥𝑟𝑦𝑟) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
198, 12, 16, 18syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑟𝑆) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
2019ralrimiva 3136 . . . 4 (((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → ∀𝑟𝑆 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
21 ovex 7449 . . . . 5 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ V
2221elint2 4951 . . . 4 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑟𝑆 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
2320, 22sylibr 233 . . 3 (((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)
2423ralrimivva 3191 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑥 𝑆𝑦 𝑆(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)
25 ssn0 4396 . . 3 ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (SubRng‘𝑅) ≠ ∅)
26 n0 4342 . . . 4 ((SubRng‘𝑅) ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅))
27 subrngrcl 20492 . . . . 5 (𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑅 ∈ Rng)
2827exlimiv 1925 . . . 4 (∃𝑟 𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑅 ∈ Rng)
2926, 28sylbi 216 . . 3 ((SubRng‘𝑅) ≠ ∅ → 𝑅 ∈ Rng)
30 eqid 2725 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3130, 17issubrng2 20499 . . 3 (𝑅 ∈ Rng → ( 𝑆 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ ( 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 𝑆𝑦 𝑆(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
3225, 29, 313syl 18 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ( 𝑆 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ ( 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 𝑆𝑦 𝑆(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
336, 24, 32mpbir2and 711 1 ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (SubRng‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wex 1773  wcel 2098  wne 2930  wral 3051  wss 3939  c0 4318   cint 4944  cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  .rcmulr 17233  SubGrpcsubg 19079  Rngcrng 20096  SubRngcsubrng 20486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-subg 19082  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-subrng 20487
This theorem is referenced by:  subrngin  20502  subrngmre  20503
  Copyright terms: Public domain W3C validator