Theorem subrngint 20529

Description: The intersection of a nonempty collection of subrings is a subring. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
subrngint	⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubRng‘𝑅))

Proof of Theorem subrngint

Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrngsubg 20521	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑟 ∈ (SubGrp‘𝑅))
2	1	ssriv 3967	. . . 4 ⊢ (SubRng‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)
3		sstr 3972	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ (SubRng‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
4	2, 3	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
5		subgint 19138	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
6	4, 5	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
7		ssel2 3958	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅))
8	7	ad4ant14 752	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅))
9		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑆)
10		elinti 4935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 → (𝑟 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ 𝑟))
11	10	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑟)
12	9, 11	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑟)
13		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)
14		elinti 4935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝑆 → (𝑟 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝑟))
15	14	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑟)
16	13, 15	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑟)
17		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18	17	subrngmcl 20526	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟 ∧ 𝑦 ∈ 𝑟) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
19	8, 12, 16, 18	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
20	19	ralrimiva 3133	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → ∀𝑟 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
21		ovex 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V
22	21	elint2 4933	. . . 4 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
23	20, 22	sylibr 234	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
24	23	ralrimivva 3189	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
25		ssn0 4384	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (SubRng‘𝑅) ≠ ∅)
26		n0 4333	. . . 4 ⊢ ((SubRng‘𝑅) ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅))
27		subrngrcl 20520	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑅 ∈ Rng)
28	27	exlimiv 1929	. . . 4 ⊢ (∃𝑟 𝑟 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑅 ∈ Rng)
29	26, 28	sylbi 217	. . 3 ⊢ ((SubRng‘𝑅) ≠ ∅ → 𝑅 ∈ Rng)
30		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31	30, 17	issubrng2 20527	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (∩ 𝑆 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
32	25, 29, 31	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (∩ 𝑆 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
33	6, 24, 32	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubRng‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∀wral 3050   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  ∩ cint 4926  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  Basecbs 17230  ._rcmulr 17275  SubGrpcsubg 19108  Rngcrng 20118  SubRngcsubrng 20514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17254  df-plusg 17287  df-mulr 17288  df-0g 17458  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-subg 19111  df-cmn 19769  df-abl 19770  df-mgp 20107  df-rng 20119  df-subrng 20515

This theorem is referenced by:  subrngin  20530  subrngmre  20531