Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | subrngrcl 20477 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑅 ∈ Rng) |
2 | 1 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Rng) |
3 | | eqid 2727 |
. . . . . . . . 9
⊢
(Base‘𝑆) =
(Base‘𝑆) |
4 | 3 | subrngss 20474 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆)) |
5 | 4 | adantl 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆)) |
6 | | subsubrng.s |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴) |
7 | 6 | subrngbas 20480 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆)) |
8 | 7 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆)) → 𝐴 = (Base‘𝑆)) |
9 | 5, 8 | sseqtrrd 4019 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ 𝐴) |
10 | 6 | oveq1i 7424 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = ((𝑅 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) |
11 | | ressabs 17221 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)) |
12 | 10, 11 | eqtrid 2779 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)) |
13 | 9, 12 | syldan 590 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆)) → (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)) |
14 | | eqid 2727 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s 𝐵) |
15 | 14 | subrngrng 20476 |
. . . . . 6
⊢ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆) → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Rng) |
16 | 15 | adantl 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆)) → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Rng) |
17 | 13, 16 | eqeltrrd 2829 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆)) → (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ Rng) |
18 | | eqid 2727 |
. . . . . . 7
⊢
(Base‘𝑅) =
(Base‘𝑅) |
19 | 18 | subrngss 20474 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅)) |
20 | 19 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆)) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅)) |
21 | 9, 20 | sstrd 3988 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑅)) |
22 | 18 | issubrng 20473 |
. . . 4
⊢ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ Rng ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑅))) |
23 | 2, 17, 21, 22 | syl3anbrc 1341 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆)) → 𝐵 ∈ (SubRng‘𝑅)) |
24 | 23, 9 | jca 511 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆)) → (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) |
25 | 6 | subrngrng 20476 |
. . . 4
⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑆 ∈ Rng) |
26 | 25 | adantr 480 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝑆 ∈ Rng) |
27 | 12 | adantrl 715 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)) |
28 | | eqid 2727 |
. . . . . 6
⊢ (𝑅 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵) |
29 | 28 | subrngrng 20476 |
. . . . 5
⊢ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ Rng) |
30 | 29 | ad2antrl 727 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ Rng) |
31 | 27, 30 | eqeltrd 2828 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Rng) |
32 | | simprr 772 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ⊆ 𝐴) |
33 | 7 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐴 = (Base‘𝑆)) |
34 | 32, 33 | sseqtrd 4018 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆)) |
35 | 3 | issubrng 20473 |
. . 3
⊢ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆) ↔ (𝑆 ∈ Rng ∧ (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Rng ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))) |
36 | 26, 31, 34, 35 | syl3anbrc 1341 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆)) |
37 | 24, 36 | impbida 800 |
1
⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))) |