Proof of Theorem subsubrng
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | subrngrcl 20551 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑅 ∈ Rng) |
| 2 | 1 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Rng) |
| 3 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . 9
⊢
(Base‘𝑆) =
(Base‘𝑆) |
| 4 | 3 | subrngss 20548 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆)) |
| 5 | 4 | adantl 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆)) |
| 6 | | subsubrng.s |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴) |
| 7 | 6 | subrngbas 20554 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆)) |
| 8 | 7 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆)) → 𝐴 = (Base‘𝑆)) |
| 9 | 5, 8 | sseqtrrd 4021 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ 𝐴) |
| 10 | 6 | oveq1i 7441 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = ((𝑅 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) |
| 11 | | ressabs 17294 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)) |
| 12 | 10, 11 | eqtrid 2789 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)) |
| 13 | 9, 12 | syldan 591 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆)) → (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)) |
| 14 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s 𝐵) |
| 15 | 14 | subrngrng 20550 |
. . . . . 6
⊢ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆) → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Rng) |
| 16 | 15 | adantl 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆)) → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Rng) |
| 17 | 13, 16 | eqeltrrd 2842 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆)) → (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ Rng) |
| 18 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
⊢
(Base‘𝑅) =
(Base‘𝑅) |
| 19 | 18 | subrngss 20548 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅)) |
| 20 | 19 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆)) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅)) |
| 21 | 9, 20 | sstrd 3994 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑅)) |
| 22 | 18 | issubrng 20547 |
. . . 4
⊢ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ Rng ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑅))) |
| 23 | 2, 17, 21, 22 | syl3anbrc 1344 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆)) → 𝐵 ∈ (SubRng‘𝑅)) |
| 24 | 23, 9 | jca 511 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆)) → (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) |
| 25 | 6 | subrngrng 20550 |
. . . 4
⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑆 ∈ Rng) |
| 26 | 25 | adantr 480 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝑆 ∈ Rng) |
| 27 | 12 | adantrl 716 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)) |
| 28 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
⊢ (𝑅 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵) |
| 29 | 28 | subrngrng 20550 |
. . . . 5
⊢ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ Rng) |
| 30 | 29 | ad2antrl 728 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ Rng) |
| 31 | 27, 30 | eqeltrd 2841 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Rng) |
| 32 | | simprr 773 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ⊆ 𝐴) |
| 33 | 7 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐴 = (Base‘𝑆)) |
| 34 | 32, 33 | sseqtrd 4020 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆)) |
| 35 | 3 | issubrng 20547 |
. . 3
⊢ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆) ↔ (𝑆 ∈ Rng ∧ (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Rng ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))) |
| 36 | 26, 31, 34, 35 | syl3anbrc 1344 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆)) |
| 37 | 24, 36 | impbida 801 |
1
⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))) |