Theorem suppvalbr 8168

Description: The value of the operation constructing the support of a function expressed by binary relations. (Contributed by AV, 7-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppvalbr	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) = {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suppvalbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3421	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑅 “ {𝑥}) ≠ {𝑍}} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ (𝑅 “ {𝑥}) ≠ {𝑍})}
2		vex 3467	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	eldm 5898	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ ∃𝑦 𝑥𝑅𝑦)
4		imasng 6084	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑅 “ {𝑥}) = {𝑦 ∣ 𝑥𝑅𝑦})
5	4	elv 3469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 “ {𝑥}) = {𝑦 ∣ 𝑥𝑅𝑦}
6	5	neeq1i 2995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 “ {𝑥}) ≠ {𝑍} ↔ {𝑦 ∣ 𝑥𝑅𝑦} ≠ {𝑍})
7		df-sn 4625	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑍} = {𝑦 ∣ 𝑦 = 𝑍}
8	7	neeq2i 2996	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑦 ∣ 𝑥𝑅𝑦} ≠ {𝑍} ↔ {𝑦 ∣ 𝑥𝑅𝑦} ≠ {𝑦 ∣ 𝑦 = 𝑍})
9		nabbib 3035	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑦 ∣ 𝑥𝑅𝑦} ≠ {𝑦 ∣ 𝑦 = 𝑍} ↔ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍))
10	6, 8, 9	3bitri 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 “ {𝑥}) ≠ {𝑍} ↔ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍))
11	3, 10	anbi12i 626	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ (𝑅 “ {𝑥}) ≠ {𝑍}) ↔ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍)))
12	11	abbii 2796	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ (𝑅 “ {𝑥}) ≠ {𝑍})} = {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍))}
13	1, 12	eqtr2i 2755	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍))} = {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑅 “ {𝑥}) ≠ {𝑍}}
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍))} = {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑅 “ {𝑥}) ≠ {𝑍}})
15		df-ne 2931	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑍 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍)
16	15	bibi2i 336	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍) ↔ (𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍))
17	16	exbii 1843	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍))
18	17	anbi2i 621	. . . 4 ⊢ ((∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍)) ↔ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍)))
19	18	abbii 2796	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))} = {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍))}
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))} = {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍))})
21		suppval 8166	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑅 “ {𝑥}) ≠ {𝑍}})
22	14, 20, 21	3eqtr4rd 2777	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) = {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099  {cab 2703   ≠ wne 2930  {crab 3420  Vcvv 3463  {csn 4624   class class class wbr 5144  dom cdm 5673   “ cima 5676  (class class class)co 7414   supp csupp 8164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5424  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-br 5145  df-opab 5207  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-supp 8165

This theorem is referenced by:  suppimacnvss  8177  suppimacnv  8178