Theorem suppvalbr 7981

Description: The value of the operation constructing the support of a function expressed by binary relations. (Contributed by AV, 7-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppvalbr	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) = {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suppvalbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppval 7979	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑅 “ {𝑥}) ≠ {𝑍}})
2		df-rab 3073	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑅 “ {𝑥}) ≠ {𝑍}} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ (𝑅 “ {𝑥}) ≠ {𝑍})}
3		vex 3436	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	eldm 5809	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ ∃𝑦 𝑥𝑅𝑦)
5		df-sn 4562	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑍} = {𝑦 ∣ 𝑦 = 𝑍}
6	5	neeq2i 3009	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑦 ∣ 𝑥𝑅𝑦} ≠ {𝑍} ↔ {𝑦 ∣ 𝑥𝑅𝑦} ≠ {𝑦 ∣ 𝑦 = 𝑍})
7		imasng 5991	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑅 “ {𝑥}) = {𝑦 ∣ 𝑥𝑅𝑦})
8	7	elv 3438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 “ {𝑥}) = {𝑦 ∣ 𝑥𝑅𝑦}
9	8	neeq1i 3008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 “ {𝑥}) ≠ {𝑍} ↔ {𝑦 ∣ 𝑥𝑅𝑦} ≠ {𝑍})
10		nabbi 3047	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍) ↔ {𝑦 ∣ 𝑥𝑅𝑦} ≠ {𝑦 ∣ 𝑦 = 𝑍})
11	6, 9, 10	3bitr4i 303	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 “ {𝑥}) ≠ {𝑍} ↔ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍))
12	4, 11	anbi12i 627	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ (𝑅 “ {𝑥}) ≠ {𝑍}) ↔ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍)))
13	12	abbii 2808	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ (𝑅 “ {𝑥}) ≠ {𝑍})} = {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍))}
14	2, 13	eqtri 2766	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑅 “ {𝑥}) ≠ {𝑍}} = {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍))}
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑅 “ {𝑥}) ≠ {𝑍}} = {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍))})
16		df-ne 2944	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑍 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍)
17	16	bicomi 223	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑦 = 𝑍 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍)
18	17	bibi2i 338	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍) ↔ (𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))
19	18	exbii 1850	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))
20	19	anbi2i 623	. . . 4 ⊢ ((∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍)) ↔ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍)))
21	20	abbii 2808	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍))} = {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))}
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍))} = {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))})
23	1, 15, 22	3eqtrd 2782	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) = {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  {cab 2715   ≠ wne 2943  {crab 3068  Vcvv 3432  {csn 4561   class class class wbr 5074  dom cdm 5589   “ cima 5592  (class class class)co 7275   supp csupp 7977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-supp 7978

This theorem is referenced by:  suppimacnvss  7989  suppimacnv  7990