Theorem suppvalbr 8205

Description: The value of the operation constructing the support of a function expressed by binary relations. (Contributed by AV, 7-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppvalbr	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) = {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suppvalbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3444	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑅 “ {𝑥}) ≠ {𝑍}} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ (𝑅 “ {𝑥}) ≠ {𝑍})}
2		vex 3492	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	eldm 5925	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ ∃𝑦 𝑥𝑅𝑦)
4		imasng 6113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑅 “ {𝑥}) = {𝑦 ∣ 𝑥𝑅𝑦})
5	4	elv 3493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 “ {𝑥}) = {𝑦 ∣ 𝑥𝑅𝑦}
6	5	neeq1i 3011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 “ {𝑥}) ≠ {𝑍} ↔ {𝑦 ∣ 𝑥𝑅𝑦} ≠ {𝑍})
7		df-sn 4649	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑍} = {𝑦 ∣ 𝑦 = 𝑍}
8	7	neeq2i 3012	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑦 ∣ 𝑥𝑅𝑦} ≠ {𝑍} ↔ {𝑦 ∣ 𝑥𝑅𝑦} ≠ {𝑦 ∣ 𝑦 = 𝑍})
9		nabbib 3051	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑦 ∣ 𝑥𝑅𝑦} ≠ {𝑦 ∣ 𝑦 = 𝑍} ↔ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍))
10	6, 8, 9	3bitri 297	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 “ {𝑥}) ≠ {𝑍} ↔ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍))
11	3, 10	anbi12i 627	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ (𝑅 “ {𝑥}) ≠ {𝑍}) ↔ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍)))
12	11	abbii 2812	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ (𝑅 “ {𝑥}) ≠ {𝑍})} = {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍))}
13	1, 12	eqtr2i 2769	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍))} = {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑅 “ {𝑥}) ≠ {𝑍}}
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍))} = {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑅 “ {𝑥}) ≠ {𝑍}})
15		df-ne 2947	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑍 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍)
16	15	bibi2i 337	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍) ↔ (𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍))
17	16	exbii 1846	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍))
18	17	anbi2i 622	. . . 4 ⊢ ((∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍)) ↔ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍)))
19	18	abbii 2812	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))} = {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍))}
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))} = {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑍))})
21		suppval 8203	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑅 “ {𝑥}) ≠ {𝑍}})
22	14, 20, 21	3eqtr4rd 2791	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) = {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  {cab 2717   ≠ wne 2946  {crab 3443  Vcvv 3488  {csn 4648   class class class wbr 5166  dom cdm 5700   “ cima 5703  (class class class)co 7448   supp csupp 8201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-supp 8202

This theorem is referenced by:  suppimacnvss  8214  suppimacnv  8215