Theorem fsuppinisegfi 30923

Description: The initial segment (^◡𝐹 “ {𝑌}) of a nonzero 𝑌 is finite if 𝐹 has finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppinisegfi.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
fsuppinisegfi.2	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑊)
fsuppinisegfi.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (V ∖ { 0 }))
fsuppinisegfi.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
fsuppinisegfi	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {𝑌}) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppinisegfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppinisegfi.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
2	1	fsuppimpd 9065	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
3		fsuppinisegfi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (V ∖ { 0 }))
4	3	snssd 4739	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ (V ∖ { 0 }))
5		imass2 5999	. . . 4 ⊢ ({𝑌} ⊆ (V ∖ { 0 }) → (◡𝐹 “ {𝑌}) ⊆ (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {𝑌}) ⊆ (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
7		fsuppinisegfi.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
8		fsuppinisegfi.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑊)
9		suppimacnvss 7960	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ 𝑊) → (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
10	7, 8, 9	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
11	6, 10	sstrd 3927	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {𝑌}) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
12	2, 11	ssfid 8971	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {𝑌}) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4558   class class class wbr 5070  ^◡ccnv 5579   “ cima 5583  (class class class)co 7255   supp csupp 7948  Fincfn 8691   finSupp cfsupp 9058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-supp 7949  df-1o 8267  df-en 8692  df-fin 8695  df-fsupp 9059

This theorem is referenced by:  elrspunidl  31508