Theorem fsuppinisegfi 32658

Description: The initial segment (^◡𝐹 “ {𝑌}) of a nonzero 𝑌 is finite if 𝐹 has finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppinisegfi.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
fsuppinisegfi.2	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑊)
fsuppinisegfi.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (V ∖ { 0 }))
fsuppinisegfi.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
fsuppinisegfi	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {𝑌}) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppinisegfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppinisegfi.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
2	1	fsuppimpd 9248	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
3		fsuppinisegfi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (V ∖ { 0 }))
4	3	snssd 4759	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ (V ∖ { 0 }))
5		imass2 6048	. . . 4 ⊢ ({𝑌} ⊆ (V ∖ { 0 }) → (◡𝐹 “ {𝑌}) ⊆ (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {𝑌}) ⊆ (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
7		fsuppinisegfi.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
8		fsuppinisegfi.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑊)
9		suppimacnvss 8098	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ 𝑊) → (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
11	6, 10	sstrd 3943	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {𝑌}) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
12	2, 11	ssfid 9148	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {𝑌}) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  Vcvv 3434   ∖ cdif 3897   ⊆ wss 3900  {csn 4574   class class class wbr 5089  ^◡ccnv 5613   “ cima 5617  (class class class)co 7341   supp csupp 8085  Fincfn 8864   finSupp cfsupp 9240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-supp 8086  df-1o 8380  df-en 8865  df-fin 8868  df-fsupp 9241

This theorem is referenced by:  elrspunidl  33383