Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsuppinisegfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppinisegfi 31498
Description: The initial segment (𝐹 “ {𝑌}) of a nonzero 𝑌 is finite if 𝐹 has finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppinisegfi.1 (𝜑𝐹𝑉)
fsuppinisegfi.2 (𝜑0𝑊)
fsuppinisegfi.3 (𝜑𝑌 ∈ (V ∖ { 0 }))
fsuppinisegfi.4 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
fsuppinisegfi (𝜑 → (𝐹 “ {𝑌}) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppinisegfi
StepHypRef Expression
1 fsuppinisegfi.4 . . 3 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
21fsuppimpd 9309 . 2 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
3 fsuppinisegfi.3 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (V ∖ { 0 }))
43snssd 4768 . . . 4 (𝜑 → {𝑌} ⊆ (V ∖ { 0 }))
5 imass2 6053 . . . 4 ({𝑌} ⊆ (V ∖ { 0 }) → (𝐹 “ {𝑌}) ⊆ (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ {𝑌}) ⊆ (𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
7 fsuppinisegfi.1 . . . 4 (𝜑𝐹𝑉)
8 fsuppinisegfi.2 . . . 4 (𝜑0𝑊)
9 suppimacnvss 8101 . . . 4 ((𝐹𝑉0𝑊) → (𝐹 “ (V ∖ { 0 })) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
107, 8, 9syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ (V ∖ { 0 })) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
116, 10sstrd 3953 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ {𝑌}) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
122, 11ssfid 9208 1 (𝜑 → (𝐹 “ {𝑌}) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  Vcvv 3444  cdif 3906  wss 3909  {csn 4585   class class class wbr 5104  ccnv 5631  cima 5635  (class class class)co 7354   supp csupp 8089  Fincfn 8880   finSupp cfsupp 9302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pr 5383  ax-un 7669
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-supp 8090  df-1o 8409  df-en 8881  df-fin 8884  df-fsupp 9303
This theorem is referenced by:  elrspunidl  32094
  Copyright terms: Public domain W3C validator