Theorem fsuppinisegfi 32780

Description: The initial segment (^◡𝐹 “ {𝑌}) of a nonzero 𝑌 is finite if 𝐹 has finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppinisegfi.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
fsuppinisegfi.2	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑊)
fsuppinisegfi.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (V ∖ { 0 }))
fsuppinisegfi.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
fsuppinisegfi	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {𝑌}) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppinisegfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppinisegfi.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
2	1	fsuppimpd 9273	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
3		fsuppinisegfi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (V ∖ { 0 }))
4	3	snssd 4753	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ (V ∖ { 0 }))
5		imass2 6059	. . . 4 ⊢ ({𝑌} ⊆ (V ∖ { 0 }) → (◡𝐹 “ {𝑌}) ⊆ (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {𝑌}) ⊆ (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
7		fsuppinisegfi.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
8		fsuppinisegfi.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑊)
9		suppimacnvss 8114	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ 𝑊) → (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
10	7, 8, 9	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
11	6, 10	sstrd 3933	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {𝑌}) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
12	2, 11	ssfid 9170	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {𝑌}) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  {csn 4568   class class class wbr 5086  ^◡ccnv 5621   “ cima 5625  (class class class)co 7358   supp csupp 8101  Fincfn 8884   finSupp cfsupp 9265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-supp 8102  df-1o 8396  df-en 8885  df-fin 8888  df-fsupp 9266

This theorem is referenced by:  elrspunidl  33508