Theorem fsuppinisegfi 33354

Description: The initial segment (^◡𝐹 “ {𝑌}) of a nonzero 𝑌 is finite if 𝐹 has finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppinisegfi.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
fsuppinisegfi.2	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑊)
fsuppinisegfi.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (V ∖ { 0 }))
fsuppinisegfi.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
fsuppinisegfi	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {𝑌}) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppinisegfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppinisegfi.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
2	1	fsuppimpd 9392	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
3		fsuppinisegfi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (V ∖ { 0 }))
4	3	snssd 4747	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ (V ∖ { 0 }))
5		imass2 6068	. . . 4 ⊢ ({𝑌} ⊆ (V ∖ { 0 }) → (◡𝐹 “ {𝑌}) ⊆ (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {𝑌}) ⊆ (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
7		fsuppinisegfi.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
8		fsuppinisegfi.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑊)
9		suppimacnvss 8221	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ 𝑊) → (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
10	7, 8, 9	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
11	6, 10	sstrd 3923	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {𝑌}) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
12	2, 11	ssfid 9291	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {𝑌}) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  {csn 4588   class class class wbr 5106  ^◡ccnv 5655   “ cima 5659  (class class class)co 7446   supp csupp 8207  Fincfn 9004   finSupp cfsupp 9384

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-supp 8208  df-1o 8507  df-en 9005  df-fin 9008  df-fsupp 9385

This theorem is used by:  elrspunidl  34062