Theorem fsuppinisegfi 32599

Description: The initial segment (^◡𝐹 “ {𝑌}) of a nonzero 𝑌 is finite if 𝐹 has finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppinisegfi.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
fsuppinisegfi.2	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑊)
fsuppinisegfi.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (V ∖ { 0 }))
fsuppinisegfi.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
fsuppinisegfi	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {𝑌}) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppinisegfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppinisegfi.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
2	1	fsuppimpd 9413	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
3		fsuppinisegfi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (V ∖ { 0 }))
4	3	snssd 4818	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ (V ∖ { 0 }))
5		imass2 6112	. . . 4 ⊢ ({𝑌} ⊆ (V ∖ { 0 }) → (◡𝐹 “ {𝑌}) ⊆ (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {𝑌}) ⊆ (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
7		fsuppinisegfi.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
8		fsuppinisegfi.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑊)
9		suppimacnvss 8187	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ 𝑊) → (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
10	7, 8, 9	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
11	6, 10	sstrd 3990	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {𝑌}) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
12	2, 11	ssfid 9301	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {𝑌}) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  {csn 4633   class class class wbr 5153  ^◡ccnv 5681   “ cima 5685  (class class class)co 7424   supp csupp 8174  Fincfn 8974   finSupp cfsupp 9405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-supp 8175  df-1o 8496  df-en 8975  df-fin 8978  df-fsupp 9406

This theorem is referenced by:  elrspunidl  33303