Theorem tlt2 30677

Description: In a Toset, two elements must compare. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
tlt2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tlt2.e	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
tlt2.l	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
tlt2	⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋))

Proof of Theorem tlt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidd 893	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ∨ ¬ 𝑋 ≤ 𝑌))
2		tlt2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		tlt2.e	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		tlt2.l	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
5	2, 3, 4	tltnle 30675	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ≤ 𝑌))
6	5	3com23 1123	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ≤ 𝑌))
7	6	orbi2d 913	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋) ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∨ ¬ 𝑋 ≤ 𝑌)))
8	1, 7	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  Basecbs 16475  lecple 16564  ltcplt 17543  Tosetctos 17635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-toset 17636

This theorem is referenced by:  tlt3  30678  archirngz  30868  archiabllem2a  30873