Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tlt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tlt2 32691
Description: In a Toset, two elements must compare. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
tlt2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tlt2.e ≀ = (leβ€˜πΎ)
tlt2.l < = (ltβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
tlt2 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ∨ π‘Œ < 𝑋))

Proof of Theorem tlt2
StepHypRef Expression
1 exmidd 894 . 2 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ∨ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ))
2 tlt2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 tlt2.e . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 tlt2.l . . . . 5 < = (ltβ€˜πΎ)
52, 3, 4tltnle 18408 . . . 4 ((𝐾 ∈ Toset ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ < 𝑋 ↔ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ))
653com23 1124 . . 3 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ < 𝑋 ↔ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ))
76orbi2d 914 . 2 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∨ π‘Œ < 𝑋) ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∨ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ)))
81, 7mpbird 257 1 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ∨ π‘Œ < 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  Basecbs 17174  lecple 17234  ltcplt 18294  Tosetctos 18402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5424
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-proset 18281  df-poset 18299  df-plt 18316  df-toset 18403
This theorem is referenced by:  tlt3  32692  archirngz  32892  archiabllem2a  32897
  Copyright terms: Public domain W3C validator