Theorem tlt2 32895

Description: In a Toset, two elements must compare. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
tlt2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tlt2.e	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
tlt2.l	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
tlt2	⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋))

Proof of Theorem tlt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidd 895	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ∨ ¬ 𝑋 ≤ 𝑌))
2		tlt2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		tlt2.e	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		tlt2.l	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
5	2, 3, 4	tltnle 18381	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ≤ 𝑌))
6	5	3com23 1126	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ≤ 𝑌))
7	6	orbi2d 915	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋) ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∨ ¬ 𝑋 ≤ 𝑌)))
8	1, 7	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  lecple 17227  ltcplt 18269  Tosetctos 18375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-toset 18376

This theorem is referenced by:  tlt3  32896  archirngz  33143  archiabllem2a  33148