Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tlt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tlt2 33353
Description: In a Toset, two elements must compare. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
tlt2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tlt2.e = (le‘𝐾)
tlt2.l < = (lt‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
tlt2 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌𝑌 < 𝑋))

Proof of Theorem tlt2
StepHypRef Expression
1 exmidd 909 . 2 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ∨ ¬ 𝑋 𝑌))
2 tlt2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 tlt2.e . . . . 5 = (le‘𝐾)
4 tlt2.l . . . . 5 < = (lt‘𝐾)
52, 3, 4tltnle 18498 . . . 4 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌 < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 𝑌))
653com23 1144 . . 3 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 𝑌))
76orbi2d 929 . 2 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌𝑌 < 𝑋) ↔ (𝑋 𝑌 ∨ ¬ 𝑋 𝑌)))
81, 7mpbird 260 1 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌𝑌 < 𝑋))
Colors of variables:    wff setvar class
This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wo 861  w3a 1103   = wceq 1570  wcel 2146   class class class wbr 5111  cfv 6540  Basecbs 17291  lecple 17339  ltcplt 18386  Tosetctos 18492
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406
This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-proset 18372  df-poset 18391  df-plt 18406  df-toset 18493
This theorem is used by:  tlt3  33354  archirngz  33573  archiabllem2a  33578
  Copyright terms: Public domain W3C validator