Theorem tlt2 33147

Description: In a Toset, two elements must compare. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
tlt2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tlt2.e	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
tlt2.l	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
tlt2	⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋))

Proof of Theorem tlt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidd 906	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ∨ ¬ 𝑋 ≤ 𝑌))
2		tlt2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		tlt2.e	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		tlt2.l	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
5	2, 3, 4	tltnle 18452	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ≤ 𝑌))
6	5	3com23 1139	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ≤ 𝑌))
7	6	orbi2d 926	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋) ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∨ ¬ 𝑋 ≤ 𝑌)))
8	1, 7	mpbird 259	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∨ wo 858   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  Basecbs 17245  lecple 17293  ltcplt 18340  Tosetctos 18446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fv 6529  df-proset 18326  df-poset 18345  df-plt 18360  df-toset 18447

This theorem is referenced by:  tlt3  33148  archirngz  33369  archiabllem2a  33374