Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tlt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tlt2 30657
Description: In a Toset, two elements must compare. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
tlt2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tlt2.e = (le‘𝐾)
tlt2.l < = (lt‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
tlt2 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌𝑌 < 𝑋))

Proof of Theorem tlt2
StepHypRef Expression
1 exmidd 893 . 2 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ∨ ¬ 𝑋 𝑌))
2 tlt2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 tlt2.e . . . . 5 = (le‘𝐾)
4 tlt2.l . . . . 5 < = (lt‘𝐾)
52, 3, 4tltnle 30655 . . . 4 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌 < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 𝑌))
653com23 1123 . . 3 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 𝑌))
76orbi2d 913 . 2 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌𝑌 < 𝑋) ↔ (𝑋 𝑌 ∨ ¬ 𝑋 𝑌)))
81, 7mpbird 260 1 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌𝑌 < 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5053  cfv 6344  Basecbs 16481  lecple 16570  ltcplt 17549  Tosetctos 17641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pr 5318
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fv 6352  df-proset 17536  df-poset 17554  df-plt 17566  df-toset 17642
This theorem is referenced by:  tlt3  30658  archirngz  30845  archiabllem2a  30850
  Copyright terms: Public domain W3C validator