Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tlt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tlt2 32126
Description: In a Toset, two elements must compare. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
tlt2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tlt2.e ≀ = (leβ€˜πΎ)
tlt2.l < = (ltβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
tlt2 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ∨ π‘Œ < 𝑋))

Proof of Theorem tlt2
StepHypRef Expression
1 exmidd 894 . 2 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ∨ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ))
2 tlt2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 tlt2.e . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 tlt2.l . . . . 5 < = (ltβ€˜πΎ)
52, 3, 4tltnle 18371 . . . 4 ((𝐾 ∈ Toset ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ < 𝑋 ↔ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ))
653com23 1126 . . 3 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ < 𝑋 ↔ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ))
76orbi2d 914 . 2 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∨ π‘Œ < 𝑋) ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∨ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ)))
81, 7mpbird 256 1 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ∨ π‘Œ < 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  Basecbs 17140  lecple 17200  ltcplt 18257  Tosetctos 18365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fv 6548  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-toset 18366
This theorem is referenced by:  tlt3  32127  archirngz  32322  archiabllem2a  32327
  Copyright terms: Public domain W3C validator