Theorem tlt2 32785

Description: In a Toset, two elements must compare. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
tlt2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tlt2.e	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
tlt2.l	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
tlt2	⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋))

Proof of Theorem tlt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidd 893	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ∨ ¬ 𝑋 ≤ 𝑌))
2		tlt2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		tlt2.e	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		tlt2.l	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
5	2, 3, 4	tltnle 18417	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ≤ 𝑌))
6	5	3com23 1123	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ≤ 𝑌))
7	6	orbi2d 913	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋) ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∨ ¬ 𝑋 ≤ 𝑌)))
8	1, 7	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  Basecbs 17183  lecple 17243  ltcplt 18303  Tosetctos 18411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fv 6557  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-toset 18412

This theorem is referenced by:  tlt3  32786  archirngz  32989  archiabllem2a  32994