Theorem archiabllem2a 33288

Description: Lemma for archiabl 33292, which requires the group to be both left- and right-ordered. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiabllem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiabllem.e	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archiabllem.t	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m	⊢ · = (.g‘𝑊)
archiabllem.g	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archiabllem2.1	⊢ + = (+g‘𝑊)
archiabllem2.2	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
archiabllem2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
archiabllem2a.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
archiabllem2a.5	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
archiabllem2a	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝐵   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐   𝑋,𝑎,𝑏,𝑐   𝜑,𝑎,𝑏   + ,𝑎,𝑏,𝑐   ≤ ,𝑎,𝑏,𝑐   < ,𝑎,𝑏,𝑐   0 ,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   · (𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem archiabllem2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 776	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋) → 𝑏 ∈ 𝐵)
2		simplrl 777	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋) → 0 < 𝑏)
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋) → (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋)
4		breq2 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ( 0 < 𝑐 ↔ 0 < 𝑏))
5		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → 𝑐 = 𝑏)
6	5, 5	oveq12d 7386	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑐 + 𝑐) = (𝑏 + 𝑏))
7	6	breq1d 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋 ↔ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋))
8	4, 7	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋) ↔ ( 0 < 𝑏 ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋)))
9	8	rspcev 3578	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋)) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))
10	1, 2, 3, 9	syl12anc 837	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))
11		simplll 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝜑)
12		archiabllem.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
13		ogrpgrp 20066	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑊 ∈ Grp)
15		archiabllem2a.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	11, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17		simpllr 776	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
18		archiabllem.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
19		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
20	18, 19	grpsubcl 18962	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝐵)
21	14, 16, 17, 20	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝐵)
22		archiabllem.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
23	18, 22, 19	grpsubid 18966	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏(-g‘𝑊)𝑏) = 0 )
24	14, 17, 23	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏(-g‘𝑊)𝑏) = 0 )
25	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑊 ∈ oGrp)
26		simplrr 778	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑏 < 𝑋)
27		archiabllem.t	. . . . . . 7 ⊢ < = (lt‘𝑊)
28	18, 27, 19	ogrpsublt 20083	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 < 𝑋) → (𝑏(-g‘𝑊)𝑏) < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏))
29	25, 17, 16, 17, 26, 28	syl131anc 1386	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏(-g‘𝑊)𝑏) < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏))
30	24, 29	eqbrtrrd 5124	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 0 < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏))
31		archiabllem2.1	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑊)
32		archiabllem2.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
33	11, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
34	18, 31	grpcl 18883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵)
35	14, 17, 17, 34	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵)
36		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑋 < (𝑏 + 𝑏))
37	18, 27, 19	ogrpsublt 20083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) < ((𝑏 + 𝑏)(-g‘𝑊)𝑏))
38	25, 16, 35, 17, 36, 37	syl131anc 1386	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) < ((𝑏 + 𝑏)(-g‘𝑊)𝑏))
39	18, 31, 19	grpaddsubass 18972	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑏 + 𝑏)(-g‘𝑊)𝑏) = (𝑏 + (𝑏(-g‘𝑊)𝑏)))
40	14, 17, 17, 17, 39	syl13anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑏 + 𝑏)(-g‘𝑊)𝑏) = (𝑏 + (𝑏(-g‘𝑊)𝑏)))
41	24	oveq2d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏 + (𝑏(-g‘𝑊)𝑏)) = (𝑏 + 0 ))
42	18, 31, 22	grprid 18910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏 + 0 ) = 𝑏)
43	14, 17, 42	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏 + 0 ) = 𝑏)
44	40, 41, 43	3eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑏 + 𝑏)(-g‘𝑊)𝑏) = 𝑏)
45	38, 44	breqtrd 5126	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) < 𝑏)
46	18, 27, 31, 14, 33, 21, 17, 21, 45	ogrpaddltrd 20081	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) < ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + 𝑏))
47	18, 31, 19	grpnpcan 18974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + 𝑏) = 𝑋)
48	14, 16, 17, 47	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + 𝑏) = 𝑋)
49	46, 48	breqtrd 5126	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) < 𝑋)
50		ovexd 7403	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ∈ V)
51		archiabllem.e	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
52	51, 27	pltle 18266	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) < 𝑋 → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋))
53	14, 50, 16, 52	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) < 𝑋 → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋))
54	49, 53	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋)
55		breq2 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) → ( 0 < 𝑐 ↔ 0 < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)))
56		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) → 𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏))
57	56, 56	oveq12d 7386	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) → (𝑐 + 𝑐) = ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)))
58	57	breq1d 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) → ((𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋 ↔ ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋))
59	55, 58	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) → (( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋) ↔ ( 0 < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) ∧ ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋)))
60	59	rspcev 3578	. . . 4 ⊢ (((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝐵 ∧ ( 0 < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) ∧ ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋)) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))
61	21, 30, 54, 60	syl12anc 837	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))
62	12	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → 𝑊 ∈ oGrp)
63		isogrp 20065	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
64	63	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
65		omndtos 20068	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
66	62, 64, 65	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → 𝑊 ∈ Toset)
67	62, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → 𝑊 ∈ Grp)
68		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
69	67, 68, 68, 34	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵)
70	15	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
71	18, 51, 27	tlt2 33062	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋 ∨ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)))
72	66, 69, 70, 71	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → ((𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋 ∨ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)))
73	10, 61, 72	mpjaodan 961	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))
74		archiabllem2.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
75	74	3expia 1122	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑎 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)))
76	75	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑎 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)))
77		archiabllem2a.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
78		breq2 5104	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ( 0 < 𝑎 ↔ 0 < 𝑋))
79		breq2 5104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑏 < 𝑎 ↔ 𝑏 < 𝑋))
80	79	anbi2d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎) ↔ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)))
81	80	rexbidv 3162	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)))
82	78, 81	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (( 0 < 𝑎 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋))))
83	82	rspcv 3574	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑎 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → ( 0 < 𝑋 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋))))
84	15, 76, 77, 83	syl3c 66	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋))
85	73, 84	r19.29a 3146	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  lecple 17196  0_gc0g 17371  ltcplt 18243  Tosetctos 18349  Grpcgrp 18875  -_gcsg 18877  ._gcmg 19009  opp_gcoppg 19286  oMndcomnd 20060  oGrpcogrp 20061  Archicarchi 33271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-dec 12620  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-ple 17209  df-0g 17373  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-toset 18350  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-oppg 19287  df-omnd 20062  df-ogrp 20063

This theorem is referenced by:  archiabllem2c  33289