Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archiabllem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem archiabllem2a 32880
Description: Lemma for archiabl 32884, which requires the group to be both left- and right-ordered. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
archiabllem.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
archiabllem.e ≀ = (leβ€˜π‘Š)
archiabllem.t < = (ltβ€˜π‘Š)
archiabllem.m Β· = (.gβ€˜π‘Š)
archiabllem.g (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ oGrp)
archiabllem.a (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Archi)
archiabllem2.1 + = (+gβ€˜π‘Š)
archiabllem2.2 (πœ‘ β†’ (oppgβ€˜π‘Š) ∈ oGrp)
archiabllem2.3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 0 < π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < π‘Ž))
archiabllem2a.4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
archiabllem2a.5 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑋)
Assertion
Ref Expression
archiabllem2a (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≀ 𝑋))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝐡   π‘Š,π‘Ž,𝑏,𝑐   𝑋,π‘Ž,𝑏,𝑐   πœ‘,π‘Ž,𝑏   + ,π‘Ž,𝑏,𝑐   ≀ ,π‘Ž,𝑏,𝑐   < ,π‘Ž,𝑏,𝑐   0 ,π‘Ž,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑐)   Β· (π‘Ž,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem archiabllem2a
StepHypRef Expression
1 simpllr 775 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) ≀ 𝑋) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
2 simplrl 776 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) ≀ 𝑋) β†’ 0 < 𝑏)
3 simpr 484 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) ≀ 𝑋) β†’ (𝑏 + 𝑏) ≀ 𝑋)
4 breq2 5146 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑏 β†’ ( 0 < 𝑐 ↔ 0 < 𝑏))
5 id 22 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑏 β†’ 𝑐 = 𝑏)
65, 5oveq12d 7432 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑏 β†’ (𝑐 + 𝑐) = (𝑏 + 𝑏))
76breq1d 5152 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑏 β†’ ((𝑐 + 𝑐) ≀ 𝑋 ↔ (𝑏 + 𝑏) ≀ 𝑋))
84, 7anbi12d 630 . . . . 5 (𝑐 = 𝑏 β†’ (( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≀ 𝑋) ↔ ( 0 < 𝑏 ∧ (𝑏 + 𝑏) ≀ 𝑋)))
98rspcev 3607 . . . 4 ((𝑏 ∈ 𝐡 ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ (𝑏 + 𝑏) ≀ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≀ 𝑋))
101, 2, 3, 9syl12anc 836 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) ≀ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≀ 𝑋))
11 simplll 774 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) β†’ πœ‘)
12 archiabllem.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ oGrp)
13 ogrpgrp 32761 . . . . . 6 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ Grp)
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) β†’ π‘Š ∈ Grp)
15 archiabllem2a.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
1611, 15syl 17 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
17 simpllr 775 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
18 archiabllem.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
19 eqid 2727 . . . . . 6 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
2018, 19grpsubcl 18967 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝐡)
2114, 16, 17, 20syl3anc 1369 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝐡)
22 archiabllem.0 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘Š)
2318, 22, 19grpsubid 18971 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏(-gβ€˜π‘Š)𝑏) = 0 )
2414, 17, 23syl2anc 583 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) β†’ (𝑏(-gβ€˜π‘Š)𝑏) = 0 )
2511, 12syl 17 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) β†’ π‘Š ∈ oGrp)
26 simplrr 777 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) β†’ 𝑏 < 𝑋)
27 archiabllem.t . . . . . . 7 < = (ltβ€˜π‘Š)
2818, 27, 19ogrpsublt 32779 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ oGrp ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 < 𝑋) β†’ (𝑏(-gβ€˜π‘Š)𝑏) < (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏))
2925, 17, 16, 17, 26, 28syl131anc 1381 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) β†’ (𝑏(-gβ€˜π‘Š)𝑏) < (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏))
3024, 29eqbrtrrd 5166 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) β†’ 0 < (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏))
31 archiabllem2.1 . . . . . . 7 + = (+gβ€˜π‘Š)
32 archiabllem2.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (oppgβ€˜π‘Š) ∈ oGrp)
3311, 32syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) β†’ (oppgβ€˜π‘Š) ∈ oGrp)
3418, 31grpcl 18889 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐡)
3514, 17, 17, 34syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) β†’ (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐡)
36 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) β†’ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏))
3718, 27, 19ogrpsublt 32779 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) < ((𝑏 + 𝑏)(-gβ€˜π‘Š)𝑏))
3825, 16, 35, 17, 36, 37syl131anc 1381 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) < ((𝑏 + 𝑏)(-gβ€˜π‘Š)𝑏))
3918, 31, 19grpaddsubass 18977 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑏 + 𝑏)(-gβ€˜π‘Š)𝑏) = (𝑏 + (𝑏(-gβ€˜π‘Š)𝑏)))
4014, 17, 17, 17, 39syl13anc 1370 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) β†’ ((𝑏 + 𝑏)(-gβ€˜π‘Š)𝑏) = (𝑏 + (𝑏(-gβ€˜π‘Š)𝑏)))
4124oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) β†’ (𝑏 + (𝑏(-gβ€˜π‘Š)𝑏)) = (𝑏 + 0 ))
4218, 31, 22grprid 18916 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 + 0 ) = 𝑏)
4314, 17, 42syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) β†’ (𝑏 + 0 ) = 𝑏)
4440, 41, 433eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) β†’ ((𝑏 + 𝑏)(-gβ€˜π‘Š)𝑏) = 𝑏)
4538, 44breqtrd 5168 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) < 𝑏)
4618, 27, 31, 14, 33, 21, 17, 21, 45ogrpaddltrd 32777 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) + (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏)) < ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) + 𝑏))
4718, 31, 19grpnpcan 18979 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) + 𝑏) = 𝑋)
4814, 16, 17, 47syl3anc 1369 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) + 𝑏) = 𝑋)
4946, 48breqtrd 5168 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) + (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏)) < 𝑋)
50 ovexd 7449 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) + (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏)) ∈ V)
51 archiabllem.e . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜π‘Š)
5251, 27pltle 18316 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) + (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏)) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) + (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏)) < 𝑋 β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) + (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏)) ≀ 𝑋))
5314, 50, 16, 52syl3anc 1369 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) β†’ (((𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) + (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏)) < 𝑋 β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) + (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏)) ≀ 𝑋))
5449, 53mpd 15 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) + (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏)) ≀ 𝑋)
55 breq2 5146 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) β†’ ( 0 < 𝑐 ↔ 0 < (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏)))
56 id 22 . . . . . . . 8 (𝑐 = (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) β†’ 𝑐 = (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏))
5756, 56oveq12d 7432 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) β†’ (𝑐 + 𝑐) = ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) + (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏)))
5857breq1d 5152 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) β†’ ((𝑐 + 𝑐) ≀ 𝑋 ↔ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) + (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏)) ≀ 𝑋))
5955, 58anbi12d 630 . . . . 5 (𝑐 = (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) β†’ (( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≀ 𝑋) ↔ ( 0 < (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) ∧ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) + (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏)) ≀ 𝑋)))
6059rspcev 3607 . . . 4 (((𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝐡 ∧ ( 0 < (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) ∧ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏) + (𝑋(-gβ€˜π‘Š)𝑏)) ≀ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≀ 𝑋))
6121, 30, 54, 60syl12anc 836 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≀ 𝑋))
6212ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ oGrp)
63 isogrp 32760 . . . . . 6 (π‘Š ∈ oGrp ↔ (π‘Š ∈ Grp ∧ π‘Š ∈ oMnd))
6463simprbi 496 . . . . 5 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ oMnd)
65 omndtos 32763 . . . . 5 (π‘Š ∈ oMnd β†’ π‘Š ∈ Toset)
6662, 64, 653syl 18 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ Toset)
6762, 13syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ Grp)
68 simplr 768 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
6967, 68, 68, 34syl3anc 1369 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) β†’ (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐡)
7015ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
7118, 51, 27tlt2 32678 . . . 4 ((π‘Š ∈ Toset ∧ (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑏 + 𝑏) ≀ 𝑋 ∨ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)))
7266, 69, 70, 71syl3anc 1369 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) β†’ ((𝑏 + 𝑏) ≀ 𝑋 ∨ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)))
7310, 61, 72mpjaodan 957 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≀ 𝑋))
74 archiabllem2.3 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 0 < π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < π‘Ž))
75743expia 1119 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < π‘Ž)))
7675ralrimiva 3141 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 ( 0 < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < π‘Ž)))
77 archiabllem2a.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑋)
78 breq2 5146 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑋 β†’ ( 0 < π‘Ž ↔ 0 < 𝑋))
79 breq2 5146 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑋 β†’ (𝑏 < π‘Ž ↔ 𝑏 < 𝑋))
8079anbi2d 628 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑋 β†’ (( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < π‘Ž) ↔ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)))
8180rexbidv 3173 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < π‘Ž) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)))
8278, 81imbi12d 344 . . . 4 (π‘Ž = 𝑋 β†’ (( 0 < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < π‘Ž)) ↔ ( 0 < 𝑋 β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋))))
8382rspcv 3603 . . 3 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 ( 0 < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < π‘Ž)) β†’ ( 0 < 𝑋 β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋))))
8415, 76, 77, 83syl3c 66 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋))
8573, 84r19.29a 3157 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≀ 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  +gcplusg 17224  lecple 17231  0gc0g 17412  ltcplt 18291  Tosetctos 18399  Grpcgrp 18881  -gcsg 18883  .gcmg 19014  oppgcoppg 19287  oMndcomnd 32755  oGrpcogrp 32756  Archicarchi 32863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-dec 12700  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-plusg 17237  df-ple 17244  df-0g 17414  df-proset 18278  df-poset 18296  df-plt 18313  df-toset 18400  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-oppg 19288  df-omnd 32757  df-ogrp 32758
This theorem is referenced by:  archiabllem2c  32881
  Copyright terms: Public domain W3C validator