Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archiabllem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem archiabllem2a 30816
 Description: Lemma for archiabl 30820, which requires the group to be both left- and right-ordered. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0 0 = (0g𝑊)
archiabllem.e = (le‘𝑊)
archiabllem.t < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m · = (.g𝑊)
archiabllem.g (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a (𝜑𝑊 ∈ Archi)
archiabllem2.1 + = (+g𝑊)
archiabllem2.2 (𝜑 → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
archiabllem2.3 ((𝜑𝑎𝐵0 < 𝑎) → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎))
archiabllem2a.4 (𝜑𝑋𝐵)
archiabllem2a.5 (𝜑0 < 𝑋)
Assertion
Ref Expression
archiabllem2a (𝜑 → ∃𝑐𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝐵   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐   𝑋,𝑎,𝑏,𝑐   𝜑,𝑎,𝑏   + ,𝑎,𝑏,𝑐   ,𝑎,𝑏,𝑐   < ,𝑎,𝑏,𝑐   0 ,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   · (𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem archiabllem2a
StepHypRef Expression
1 simpllr 774 . . . 4 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) 𝑋) → 𝑏𝐵)
2 simplrl 775 . . . 4 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) 𝑋) → 0 < 𝑏)
3 simpr 487 . . . 4 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) 𝑋) → (𝑏 + 𝑏) 𝑋)
4 breq2 5061 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑏 → ( 0 < 𝑐0 < 𝑏))
5 id 22 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑏𝑐 = 𝑏)
65, 5oveq12d 7166 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑏 → (𝑐 + 𝑐) = (𝑏 + 𝑏))
76breq1d 5067 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑏 → ((𝑐 + 𝑐) 𝑋 ↔ (𝑏 + 𝑏) 𝑋))
84, 7anbi12d 632 . . . . 5 (𝑐 = 𝑏 → (( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) 𝑋) ↔ ( 0 < 𝑏 ∧ (𝑏 + 𝑏) 𝑋)))
98rspcev 3621 . . . 4 ((𝑏𝐵 ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ (𝑏 + 𝑏) 𝑋)) → ∃𝑐𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) 𝑋))
101, 2, 3, 9syl12anc 834 . . 3 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) 𝑋) → ∃𝑐𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) 𝑋))
11 simplll 773 . . . . . 6 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝜑)
12 archiabllem.g . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
13 ogrpgrp 30697 . . . . . 6 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑊 ∈ Grp)
15 archiabllem2a.4 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐵)
1611, 15syl 17 . . . . 5 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑋𝐵)
17 simpllr 774 . . . . 5 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑏𝐵)
18 archiabllem.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑊)
19 eqid 2819 . . . . . 6 (-g𝑊) = (-g𝑊)
2018, 19grpsubcl 18171 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑏𝐵) → (𝑋(-g𝑊)𝑏) ∈ 𝐵)
2114, 16, 17, 20syl3anc 1365 . . . 4 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g𝑊)𝑏) ∈ 𝐵)
22 archiabllem.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑊)
2318, 22, 19grpsubid 18175 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑏𝐵) → (𝑏(-g𝑊)𝑏) = 0 )
2414, 17, 23syl2anc 586 . . . . 5 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏(-g𝑊)𝑏) = 0 )
2511, 12syl 17 . . . . . 6 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑊 ∈ oGrp)
26 simplrr 776 . . . . . 6 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑏 < 𝑋)
27 archiabllem.t . . . . . . 7 < = (lt‘𝑊)
2818, 27, 19ogrpsublt 30715 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑏𝐵𝑋𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑏 < 𝑋) → (𝑏(-g𝑊)𝑏) < (𝑋(-g𝑊)𝑏))
2925, 17, 16, 17, 26, 28syl131anc 1377 . . . . 5 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏(-g𝑊)𝑏) < (𝑋(-g𝑊)𝑏))
3024, 29eqbrtrrd 5081 . . . 4 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 0 < (𝑋(-g𝑊)𝑏))
31 archiabllem2.1 . . . . . . 7 + = (+g𝑊)
32 archiabllem2.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
3311, 32syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
3418, 31grpcl 18103 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑏𝐵𝑏𝐵) → (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵)
3514, 17, 17, 34syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵)
36 simpr 487 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑋 < (𝑏 + 𝑏))
3718, 27, 19ogrpsublt 30715 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g𝑊)𝑏) < ((𝑏 + 𝑏)(-g𝑊)𝑏))
3825, 16, 35, 17, 36, 37syl131anc 1377 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g𝑊)𝑏) < ((𝑏 + 𝑏)(-g𝑊)𝑏))
3918, 31, 19grpaddsubass 18181 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑏𝐵𝑏𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑏 + 𝑏)(-g𝑊)𝑏) = (𝑏 + (𝑏(-g𝑊)𝑏)))
4014, 17, 17, 17, 39syl13anc 1366 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑏 + 𝑏)(-g𝑊)𝑏) = (𝑏 + (𝑏(-g𝑊)𝑏)))
4124oveq2d 7164 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏 + (𝑏(-g𝑊)𝑏)) = (𝑏 + 0 ))
4218, 31, 22grprid 18126 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑏𝐵) → (𝑏 + 0 ) = 𝑏)
4314, 17, 42syl2anc 586 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏 + 0 ) = 𝑏)
4440, 41, 433eqtrd 2858 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑏 + 𝑏)(-g𝑊)𝑏) = 𝑏)
4538, 44breqtrd 5083 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g𝑊)𝑏) < 𝑏)
4618, 27, 31, 14, 33, 21, 17, 21, 45ogrpaddltrd 30713 . . . . . 6 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) < ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + 𝑏))
4718, 31, 19grpnpcan 18183 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑏𝐵) → ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + 𝑏) = 𝑋)
4814, 16, 17, 47syl3anc 1365 . . . . . 6 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + 𝑏) = 𝑋)
4946, 48breqtrd 5083 . . . . 5 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) < 𝑋)
50 ovexd 7183 . . . . . 6 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) ∈ V)
51 archiabllem.e . . . . . . 7 = (le‘𝑊)
5251, 27pltle 17563 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → (((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) < 𝑋 → ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) 𝑋))
5314, 50, 16, 52syl3anc 1365 . . . . 5 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) < 𝑋 → ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) 𝑋))
5449, 53mpd 15 . . . 4 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) 𝑋)
55 breq2 5061 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑋(-g𝑊)𝑏) → ( 0 < 𝑐0 < (𝑋(-g𝑊)𝑏)))
56 id 22 . . . . . . . 8 (𝑐 = (𝑋(-g𝑊)𝑏) → 𝑐 = (𝑋(-g𝑊)𝑏))
5756, 56oveq12d 7166 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝑋(-g𝑊)𝑏) → (𝑐 + 𝑐) = ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)))
5857breq1d 5067 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑋(-g𝑊)𝑏) → ((𝑐 + 𝑐) 𝑋 ↔ ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) 𝑋))
5955, 58anbi12d 632 . . . . 5 (𝑐 = (𝑋(-g𝑊)𝑏) → (( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) 𝑋) ↔ ( 0 < (𝑋(-g𝑊)𝑏) ∧ ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) 𝑋)))
6059rspcev 3621 . . . 4 (((𝑋(-g𝑊)𝑏) ∈ 𝐵 ∧ ( 0 < (𝑋(-g𝑊)𝑏) ∧ ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) 𝑋)) → ∃𝑐𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) 𝑋))
6121, 30, 54, 60syl12anc 834 . . 3 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ∃𝑐𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) 𝑋))
6212ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) → 𝑊 ∈ oGrp)
63 isogrp 30696 . . . . . 6 (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
6463simprbi 499 . . . . 5 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
65 omndtos 30699 . . . . 5 (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
6662, 64, 653syl 18 . . . 4 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) → 𝑊 ∈ Toset)
6762, 13syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) → 𝑊 ∈ Grp)
68 simplr 767 . . . . 5 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) → 𝑏𝐵)
6967, 68, 68, 34syl3anc 1365 . . . 4 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) → (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵)
7015ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) → 𝑋𝐵)
7118, 51, 27tlt2 30644 . . . 4 ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((𝑏 + 𝑏) 𝑋𝑋 < (𝑏 + 𝑏)))
7266, 69, 70, 71syl3anc 1365 . . 3 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) → ((𝑏 + 𝑏) 𝑋𝑋 < (𝑏 + 𝑏)))
7310, 61, 72mpjaodan 954 . 2 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) → ∃𝑐𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) 𝑋))
74 archiabllem2.3 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵0 < 𝑎) → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎))
75743expia 1115 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → ( 0 < 𝑎 → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎)))
7675ralrimiva 3180 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎𝐵 ( 0 < 𝑎 → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎)))
77 archiabllem2a.5 . . 3 (𝜑0 < 𝑋)
78 breq2 5061 . . . . 5 (𝑎 = 𝑋 → ( 0 < 𝑎0 < 𝑋))
79 breq2 5061 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑋 → (𝑏 < 𝑎𝑏 < 𝑋))
8079anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑋 → (( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎) ↔ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)))
8180rexbidv 3295 . . . . 5 (𝑎 = 𝑋 → (∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎) ↔ ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)))
8278, 81imbi12d 347 . . . 4 (𝑎 = 𝑋 → (( 0 < 𝑎 → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋))))
8382rspcv 3616 . . 3 (𝑋𝐵 → (∀𝑎𝐵 ( 0 < 𝑎 → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎)) → ( 0 < 𝑋 → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋))))
8415, 76, 77, 83syl3c 66 . 2 (𝜑 → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋))
8573, 84r19.29a 3287 1 (𝜑 → ∃𝑐𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3136  ∃wrex 3137  Vcvv 3493   class class class wbr 5057  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  lecple 16564  0gc0g 16705  ltcplt 17543  Tosetctos 17635  Grpcgrp 18095  -gcsg 18097  .gcmg 18216  oppgcoppg 18465  oMndcomnd 30691  oGrpcogrp 30692  Archicarchi 30799 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-dec 12091  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-ple 16577  df-0g 16707  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-toset 17636  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-oppg 18466  df-omnd 30693  df-ogrp 30694 This theorem is referenced by:  archiabllem2c  30817
 Copyright terms: Public domain W3C validator