Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archiabllem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem archiabllem2a 32846
Description: Lemma for archiabl 32850, which requires the group to be both left- and right-ordered. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0 0 = (0g𝑊)
archiabllem.e = (le‘𝑊)
archiabllem.t < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m · = (.g𝑊)
archiabllem.g (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a (𝜑𝑊 ∈ Archi)
archiabllem2.1 + = (+g𝑊)
archiabllem2.2 (𝜑 → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
archiabllem2.3 ((𝜑𝑎𝐵0 < 𝑎) → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎))
archiabllem2a.4 (𝜑𝑋𝐵)
archiabllem2a.5 (𝜑0 < 𝑋)
Assertion
Ref Expression
archiabllem2a (𝜑 → ∃𝑐𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝐵   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐   𝑋,𝑎,𝑏,𝑐   𝜑,𝑎,𝑏   + ,𝑎,𝑏,𝑐   ,𝑎,𝑏,𝑐   < ,𝑎,𝑏,𝑐   0 ,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   · (𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem archiabllem2a
StepHypRef Expression
1 simpllr 773 . . . 4 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) 𝑋) → 𝑏𝐵)
2 simplrl 774 . . . 4 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) 𝑋) → 0 < 𝑏)
3 simpr 484 . . . 4 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) 𝑋) → (𝑏 + 𝑏) 𝑋)
4 breq2 5145 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑏 → ( 0 < 𝑐0 < 𝑏))
5 id 22 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑏𝑐 = 𝑏)
65, 5oveq12d 7423 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑏 → (𝑐 + 𝑐) = (𝑏 + 𝑏))
76breq1d 5151 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑏 → ((𝑐 + 𝑐) 𝑋 ↔ (𝑏 + 𝑏) 𝑋))
84, 7anbi12d 630 . . . . 5 (𝑐 = 𝑏 → (( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) 𝑋) ↔ ( 0 < 𝑏 ∧ (𝑏 + 𝑏) 𝑋)))
98rspcev 3606 . . . 4 ((𝑏𝐵 ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ (𝑏 + 𝑏) 𝑋)) → ∃𝑐𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) 𝑋))
101, 2, 3, 9syl12anc 834 . . 3 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) 𝑋) → ∃𝑐𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) 𝑋))
11 simplll 772 . . . . . 6 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝜑)
12 archiabllem.g . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
13 ogrpgrp 32727 . . . . . 6 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑊 ∈ Grp)
15 archiabllem2a.4 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐵)
1611, 15syl 17 . . . . 5 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑋𝐵)
17 simpllr 773 . . . . 5 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑏𝐵)
18 archiabllem.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑊)
19 eqid 2726 . . . . . 6 (-g𝑊) = (-g𝑊)
2018, 19grpsubcl 18948 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑏𝐵) → (𝑋(-g𝑊)𝑏) ∈ 𝐵)
2114, 16, 17, 20syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g𝑊)𝑏) ∈ 𝐵)
22 archiabllem.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑊)
2318, 22, 19grpsubid 18952 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑏𝐵) → (𝑏(-g𝑊)𝑏) = 0 )
2414, 17, 23syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏(-g𝑊)𝑏) = 0 )
2511, 12syl 17 . . . . . 6 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑊 ∈ oGrp)
26 simplrr 775 . . . . . 6 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑏 < 𝑋)
27 archiabllem.t . . . . . . 7 < = (lt‘𝑊)
2818, 27, 19ogrpsublt 32745 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑏𝐵𝑋𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑏 < 𝑋) → (𝑏(-g𝑊)𝑏) < (𝑋(-g𝑊)𝑏))
2925, 17, 16, 17, 26, 28syl131anc 1380 . . . . 5 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏(-g𝑊)𝑏) < (𝑋(-g𝑊)𝑏))
3024, 29eqbrtrrd 5165 . . . 4 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 0 < (𝑋(-g𝑊)𝑏))
31 archiabllem2.1 . . . . . . 7 + = (+g𝑊)
32 archiabllem2.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
3311, 32syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
3418, 31grpcl 18871 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑏𝐵𝑏𝐵) → (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵)
3514, 17, 17, 34syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵)
36 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑋 < (𝑏 + 𝑏))
3718, 27, 19ogrpsublt 32745 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g𝑊)𝑏) < ((𝑏 + 𝑏)(-g𝑊)𝑏))
3825, 16, 35, 17, 36, 37syl131anc 1380 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g𝑊)𝑏) < ((𝑏 + 𝑏)(-g𝑊)𝑏))
3918, 31, 19grpaddsubass 18958 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑏𝐵𝑏𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑏 + 𝑏)(-g𝑊)𝑏) = (𝑏 + (𝑏(-g𝑊)𝑏)))
4014, 17, 17, 17, 39syl13anc 1369 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑏 + 𝑏)(-g𝑊)𝑏) = (𝑏 + (𝑏(-g𝑊)𝑏)))
4124oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏 + (𝑏(-g𝑊)𝑏)) = (𝑏 + 0 ))
4218, 31, 22grprid 18898 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑏𝐵) → (𝑏 + 0 ) = 𝑏)
4314, 17, 42syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏 + 0 ) = 𝑏)
4440, 41, 433eqtrd 2770 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑏 + 𝑏)(-g𝑊)𝑏) = 𝑏)
4538, 44breqtrd 5167 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g𝑊)𝑏) < 𝑏)
4618, 27, 31, 14, 33, 21, 17, 21, 45ogrpaddltrd 32743 . . . . . 6 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) < ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + 𝑏))
4718, 31, 19grpnpcan 18960 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑏𝐵) → ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + 𝑏) = 𝑋)
4814, 16, 17, 47syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + 𝑏) = 𝑋)
4946, 48breqtrd 5167 . . . . 5 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) < 𝑋)
50 ovexd 7440 . . . . . 6 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) ∈ V)
51 archiabllem.e . . . . . . 7 = (le‘𝑊)
5251, 27pltle 18298 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → (((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) < 𝑋 → ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) 𝑋))
5314, 50, 16, 52syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) < 𝑋 → ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) 𝑋))
5449, 53mpd 15 . . . 4 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) 𝑋)
55 breq2 5145 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑋(-g𝑊)𝑏) → ( 0 < 𝑐0 < (𝑋(-g𝑊)𝑏)))
56 id 22 . . . . . . . 8 (𝑐 = (𝑋(-g𝑊)𝑏) → 𝑐 = (𝑋(-g𝑊)𝑏))
5756, 56oveq12d 7423 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝑋(-g𝑊)𝑏) → (𝑐 + 𝑐) = ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)))
5857breq1d 5151 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑋(-g𝑊)𝑏) → ((𝑐 + 𝑐) 𝑋 ↔ ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) 𝑋))
5955, 58anbi12d 630 . . . . 5 (𝑐 = (𝑋(-g𝑊)𝑏) → (( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) 𝑋) ↔ ( 0 < (𝑋(-g𝑊)𝑏) ∧ ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) 𝑋)))
6059rspcev 3606 . . . 4 (((𝑋(-g𝑊)𝑏) ∈ 𝐵 ∧ ( 0 < (𝑋(-g𝑊)𝑏) ∧ ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) 𝑋)) → ∃𝑐𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) 𝑋))
6121, 30, 54, 60syl12anc 834 . . 3 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ∃𝑐𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) 𝑋))
6212ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) → 𝑊 ∈ oGrp)
63 isogrp 32726 . . . . . 6 (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
6463simprbi 496 . . . . 5 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
65 omndtos 32729 . . . . 5 (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
6662, 64, 653syl 18 . . . 4 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) → 𝑊 ∈ Toset)
6762, 13syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) → 𝑊 ∈ Grp)
68 simplr 766 . . . . 5 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) → 𝑏𝐵)
6967, 68, 68, 34syl3anc 1368 . . . 4 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) → (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵)
7015ad2antrr 723 . . . 4 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) → 𝑋𝐵)
7118, 51, 27tlt2 32644 . . . 4 ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((𝑏 + 𝑏) 𝑋𝑋 < (𝑏 + 𝑏)))
7266, 69, 70, 71syl3anc 1368 . . 3 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) → ((𝑏 + 𝑏) 𝑋𝑋 < (𝑏 + 𝑏)))
7310, 61, 72mpjaodan 955 . 2 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) → ∃𝑐𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) 𝑋))
74 archiabllem2.3 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵0 < 𝑎) → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎))
75743expia 1118 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → ( 0 < 𝑎 → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎)))
7675ralrimiva 3140 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎𝐵 ( 0 < 𝑎 → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎)))
77 archiabllem2a.5 . . 3 (𝜑0 < 𝑋)
78 breq2 5145 . . . . 5 (𝑎 = 𝑋 → ( 0 < 𝑎0 < 𝑋))
79 breq2 5145 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑋 → (𝑏 < 𝑎𝑏 < 𝑋))
8079anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑋 → (( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎) ↔ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)))
8180rexbidv 3172 . . . . 5 (𝑎 = 𝑋 → (∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎) ↔ ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)))
8278, 81imbi12d 344 . . . 4 (𝑎 = 𝑋 → (( 0 < 𝑎 → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋))))
8382rspcv 3602 . . 3 (𝑋𝐵 → (∀𝑎𝐵 ( 0 < 𝑎 → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎)) → ( 0 < 𝑋 → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋))))
8415, 76, 77, 83syl3c 66 . 2 (𝜑 → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋))
8573, 84r19.29a 3156 1 (𝜑 → ∃𝑐𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 844  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3055  wrex 3064  Vcvv 3468   class class class wbr 5141  cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  lecple 17213  0gc0g 17394  ltcplt 18273  Tosetctos 18381  Grpcgrp 18863  -gcsg 18865  .gcmg 18995  oppgcoppg 19261  oMndcomnd 32721  oGrpcogrp 32722  Archicarchi 32829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-dec 12682  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-ple 17226  df-0g 17396  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-toset 18382  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-oppg 19262  df-omnd 32723  df-ogrp 32724
This theorem is referenced by:  archiabllem2c  32847
  Copyright terms: Public domain W3C validator