Theorem archiabllem2a 31448

Description: Lemma for archiabl 31452, which requires the group to be both left- and right-ordered. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiabllem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiabllem.e	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archiabllem.t	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m	⊢ · = (.g‘𝑊)
archiabllem.g	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archiabllem2.1	⊢ + = (+g‘𝑊)
archiabllem2.2	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
archiabllem2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
archiabllem2a.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
archiabllem2a.5	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
archiabllem2a	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝐵   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐   𝑋,𝑎,𝑏,𝑐   𝜑,𝑎,𝑏   + ,𝑎,𝑏,𝑐   ≤ ,𝑎,𝑏,𝑐   < ,𝑎,𝑏,𝑐   0 ,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   · (𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem archiabllem2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 773	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋) → 𝑏 ∈ 𝐵)
2		simplrl 774	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋) → 0 < 𝑏)
3		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋) → (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋)
4		breq2 5078	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ( 0 < 𝑐 ↔ 0 < 𝑏))
5		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → 𝑐 = 𝑏)
6	5, 5	oveq12d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑐 + 𝑐) = (𝑏 + 𝑏))
7	6	breq1d 5084	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋 ↔ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋))
8	4, 7	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋) ↔ ( 0 < 𝑏 ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋)))
9	8	rspcev 3561	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋)) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))
10	1, 2, 3, 9	syl12anc 834	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))
11		simplll 772	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝜑)
12		archiabllem.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
13		ogrpgrp 31329	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑊 ∈ Grp)
15		archiabllem2a.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	11, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17		simpllr 773	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
18		archiabllem.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
19		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
20	18, 19	grpsubcl 18655	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝐵)
21	14, 16, 17, 20	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝐵)
22		archiabllem.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
23	18, 22, 19	grpsubid 18659	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏(-g‘𝑊)𝑏) = 0 )
24	14, 17, 23	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏(-g‘𝑊)𝑏) = 0 )
25	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑊 ∈ oGrp)
26		simplrr 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑏 < 𝑋)
27		archiabllem.t	. . . . . . 7 ⊢ < = (lt‘𝑊)
28	18, 27, 19	ogrpsublt 31347	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 < 𝑋) → (𝑏(-g‘𝑊)𝑏) < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏))
29	25, 17, 16, 17, 26, 28	syl131anc 1382	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏(-g‘𝑊)𝑏) < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏))
30	24, 29	eqbrtrrd 5098	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 0 < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏))
31		archiabllem2.1	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑊)
32		archiabllem2.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
33	11, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
34	18, 31	grpcl 18585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵)
35	14, 17, 17, 34	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵)
36		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑋 < (𝑏 + 𝑏))
37	18, 27, 19	ogrpsublt 31347	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) < ((𝑏 + 𝑏)(-g‘𝑊)𝑏))
38	25, 16, 35, 17, 36, 37	syl131anc 1382	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) < ((𝑏 + 𝑏)(-g‘𝑊)𝑏))
39	18, 31, 19	grpaddsubass 18665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑏 + 𝑏)(-g‘𝑊)𝑏) = (𝑏 + (𝑏(-g‘𝑊)𝑏)))
40	14, 17, 17, 17, 39	syl13anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑏 + 𝑏)(-g‘𝑊)𝑏) = (𝑏 + (𝑏(-g‘𝑊)𝑏)))
41	24	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏 + (𝑏(-g‘𝑊)𝑏)) = (𝑏 + 0 ))
42	18, 31, 22	grprid 18610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏 + 0 ) = 𝑏)
43	14, 17, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏 + 0 ) = 𝑏)
44	40, 41, 43	3eqtrd 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑏 + 𝑏)(-g‘𝑊)𝑏) = 𝑏)
45	38, 44	breqtrd 5100	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) < 𝑏)
46	18, 27, 31, 14, 33, 21, 17, 21, 45	ogrpaddltrd 31345	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) < ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + 𝑏))
47	18, 31, 19	grpnpcan 18667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + 𝑏) = 𝑋)
48	14, 16, 17, 47	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + 𝑏) = 𝑋)
49	46, 48	breqtrd 5100	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) < 𝑋)
50		ovexd 7310	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ∈ V)
51		archiabllem.e	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
52	51, 27	pltle 18051	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) < 𝑋 → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋))
53	14, 50, 16, 52	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) < 𝑋 → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋))
54	49, 53	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋)
55		breq2 5078	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) → ( 0 < 𝑐 ↔ 0 < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)))
56		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) → 𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏))
57	56, 56	oveq12d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) → (𝑐 + 𝑐) = ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)))
58	57	breq1d 5084	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) → ((𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋 ↔ ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋))
59	55, 58	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) → (( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋) ↔ ( 0 < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) ∧ ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋)))
60	59	rspcev 3561	. . . 4 ⊢ (((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝐵 ∧ ( 0 < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) ∧ ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋)) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))
61	21, 30, 54, 60	syl12anc 834	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))
62	12	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → 𝑊 ∈ oGrp)
63		isogrp 31328	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
64	63	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
65		omndtos 31331	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
66	62, 64, 65	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → 𝑊 ∈ Toset)
67	62, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → 𝑊 ∈ Grp)
68		simplr 766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
69	67, 68, 68, 34	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵)
70	15	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
71	18, 51, 27	tlt2 31247	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋 ∨ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)))
72	66, 69, 70, 71	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → ((𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋 ∨ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)))
73	10, 61, 72	mpjaodan 956	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))
74		archiabllem2.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
75	74	3expia 1120	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑎 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)))
76	75	ralrimiva 3103	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑎 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)))
77		archiabllem2a.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
78		breq2 5078	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ( 0 < 𝑎 ↔ 0 < 𝑋))
79		breq2 5078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑏 < 𝑎 ↔ 𝑏 < 𝑋))
80	79	anbi2d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎) ↔ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)))
81	80	rexbidv 3226	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)))
82	78, 81	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (( 0 < 𝑎 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋))))
83	82	rspcv 3557	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑎 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → ( 0 < 𝑋 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋))))
84	15, 76, 77, 83	syl3c 66	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋))
85	73, 84	r19.29a 3218	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  lecple 16969  0_gc0g 17150  ltcplt 18026  Tosetctos 18134  Grpcgrp 18577  -_gcsg 18579  ._gcmg 18700  opp_gcoppg 18949  oMndcomnd 31323  oGrpcogrp 31324  Archicarchi 31431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-dec 12438  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-ple 16982  df-0g 17152  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-toset 18135  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-oppg 18950  df-omnd 31325  df-ogrp 31326

This theorem is referenced by:  archiabllem2c  31449