Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archiabllem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem archiabllem2a 31199
Description: Lemma for archiabl 31203, which requires the group to be both left- and right-ordered. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0 0 = (0g𝑊)
archiabllem.e = (le‘𝑊)
archiabllem.t < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m · = (.g𝑊)
archiabllem.g (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a (𝜑𝑊 ∈ Archi)
archiabllem2.1 + = (+g𝑊)
archiabllem2.2 (𝜑 → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
archiabllem2.3 ((𝜑𝑎𝐵0 < 𝑎) → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎))
archiabllem2a.4 (𝜑𝑋𝐵)
archiabllem2a.5 (𝜑0 < 𝑋)
Assertion
Ref Expression
archiabllem2a (𝜑 → ∃𝑐𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝐵   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐   𝑋,𝑎,𝑏,𝑐   𝜑,𝑎,𝑏   + ,𝑎,𝑏,𝑐   ,𝑎,𝑏,𝑐   < ,𝑎,𝑏,𝑐   0 ,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   · (𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem archiabllem2a
StepHypRef Expression
1 simpllr 776 . . . 4 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) 𝑋) → 𝑏𝐵)
2 simplrl 777 . . . 4 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) 𝑋) → 0 < 𝑏)
3 simpr 488 . . . 4 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) 𝑋) → (𝑏 + 𝑏) 𝑋)
4 breq2 5074 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑏 → ( 0 < 𝑐0 < 𝑏))
5 id 22 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑏𝑐 = 𝑏)
65, 5oveq12d 7253 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑏 → (𝑐 + 𝑐) = (𝑏 + 𝑏))
76breq1d 5080 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑏 → ((𝑐 + 𝑐) 𝑋 ↔ (𝑏 + 𝑏) 𝑋))
84, 7anbi12d 634 . . . . 5 (𝑐 = 𝑏 → (( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) 𝑋) ↔ ( 0 < 𝑏 ∧ (𝑏 + 𝑏) 𝑋)))
98rspcev 3552 . . . 4 ((𝑏𝐵 ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ (𝑏 + 𝑏) 𝑋)) → ∃𝑐𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) 𝑋))
101, 2, 3, 9syl12anc 837 . . 3 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) 𝑋) → ∃𝑐𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) 𝑋))
11 simplll 775 . . . . . 6 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝜑)
12 archiabllem.g . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
13 ogrpgrp 31080 . . . . . 6 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑊 ∈ Grp)
15 archiabllem2a.4 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐵)
1611, 15syl 17 . . . . 5 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑋𝐵)
17 simpllr 776 . . . . 5 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑏𝐵)
18 archiabllem.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑊)
19 eqid 2739 . . . . . 6 (-g𝑊) = (-g𝑊)
2018, 19grpsubcl 18476 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑏𝐵) → (𝑋(-g𝑊)𝑏) ∈ 𝐵)
2114, 16, 17, 20syl3anc 1373 . . . 4 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g𝑊)𝑏) ∈ 𝐵)
22 archiabllem.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑊)
2318, 22, 19grpsubid 18480 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑏𝐵) → (𝑏(-g𝑊)𝑏) = 0 )
2414, 17, 23syl2anc 587 . . . . 5 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏(-g𝑊)𝑏) = 0 )
2511, 12syl 17 . . . . . 6 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑊 ∈ oGrp)
26 simplrr 778 . . . . . 6 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑏 < 𝑋)
27 archiabllem.t . . . . . . 7 < = (lt‘𝑊)
2818, 27, 19ogrpsublt 31098 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑏𝐵𝑋𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑏 < 𝑋) → (𝑏(-g𝑊)𝑏) < (𝑋(-g𝑊)𝑏))
2925, 17, 16, 17, 26, 28syl131anc 1385 . . . . 5 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏(-g𝑊)𝑏) < (𝑋(-g𝑊)𝑏))
3024, 29eqbrtrrd 5094 . . . 4 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 0 < (𝑋(-g𝑊)𝑏))
31 archiabllem2.1 . . . . . . 7 + = (+g𝑊)
32 archiabllem2.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
3311, 32syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
3418, 31grpcl 18406 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑏𝐵𝑏𝐵) → (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵)
3514, 17, 17, 34syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵)
36 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑋 < (𝑏 + 𝑏))
3718, 27, 19ogrpsublt 31098 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g𝑊)𝑏) < ((𝑏 + 𝑏)(-g𝑊)𝑏))
3825, 16, 35, 17, 36, 37syl131anc 1385 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g𝑊)𝑏) < ((𝑏 + 𝑏)(-g𝑊)𝑏))
3918, 31, 19grpaddsubass 18486 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑏𝐵𝑏𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑏 + 𝑏)(-g𝑊)𝑏) = (𝑏 + (𝑏(-g𝑊)𝑏)))
4014, 17, 17, 17, 39syl13anc 1374 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑏 + 𝑏)(-g𝑊)𝑏) = (𝑏 + (𝑏(-g𝑊)𝑏)))
4124oveq2d 7251 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏 + (𝑏(-g𝑊)𝑏)) = (𝑏 + 0 ))
4218, 31, 22grprid 18431 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑏𝐵) → (𝑏 + 0 ) = 𝑏)
4314, 17, 42syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏 + 0 ) = 𝑏)
4440, 41, 433eqtrd 2783 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑏 + 𝑏)(-g𝑊)𝑏) = 𝑏)
4538, 44breqtrd 5096 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g𝑊)𝑏) < 𝑏)
4618, 27, 31, 14, 33, 21, 17, 21, 45ogrpaddltrd 31096 . . . . . 6 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) < ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + 𝑏))
4718, 31, 19grpnpcan 18488 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑏𝐵) → ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + 𝑏) = 𝑋)
4814, 16, 17, 47syl3anc 1373 . . . . . 6 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + 𝑏) = 𝑋)
4946, 48breqtrd 5096 . . . . 5 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) < 𝑋)
50 ovexd 7270 . . . . . 6 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) ∈ V)
51 archiabllem.e . . . . . . 7 = (le‘𝑊)
5251, 27pltle 17872 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → (((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) < 𝑋 → ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) 𝑋))
5314, 50, 16, 52syl3anc 1373 . . . . 5 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) < 𝑋 → ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) 𝑋))
5449, 53mpd 15 . . . 4 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) 𝑋)
55 breq2 5074 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑋(-g𝑊)𝑏) → ( 0 < 𝑐0 < (𝑋(-g𝑊)𝑏)))
56 id 22 . . . . . . . 8 (𝑐 = (𝑋(-g𝑊)𝑏) → 𝑐 = (𝑋(-g𝑊)𝑏))
5756, 56oveq12d 7253 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝑋(-g𝑊)𝑏) → (𝑐 + 𝑐) = ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)))
5857breq1d 5080 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑋(-g𝑊)𝑏) → ((𝑐 + 𝑐) 𝑋 ↔ ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) 𝑋))
5955, 58anbi12d 634 . . . . 5 (𝑐 = (𝑋(-g𝑊)𝑏) → (( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) 𝑋) ↔ ( 0 < (𝑋(-g𝑊)𝑏) ∧ ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) 𝑋)))
6059rspcev 3552 . . . 4 (((𝑋(-g𝑊)𝑏) ∈ 𝐵 ∧ ( 0 < (𝑋(-g𝑊)𝑏) ∧ ((𝑋(-g𝑊)𝑏) + (𝑋(-g𝑊)𝑏)) 𝑋)) → ∃𝑐𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) 𝑋))
6121, 30, 54, 60syl12anc 837 . . 3 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ∃𝑐𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) 𝑋))
6212ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) → 𝑊 ∈ oGrp)
63 isogrp 31079 . . . . . 6 (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
6463simprbi 500 . . . . 5 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
65 omndtos 31082 . . . . 5 (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
6662, 64, 653syl 18 . . . 4 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) → 𝑊 ∈ Toset)
6762, 13syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) → 𝑊 ∈ Grp)
68 simplr 769 . . . . 5 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) → 𝑏𝐵)
6967, 68, 68, 34syl3anc 1373 . . . 4 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) → (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵)
7015ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) → 𝑋𝐵)
7118, 51, 27tlt2 30998 . . . 4 ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((𝑏 + 𝑏) 𝑋𝑋 < (𝑏 + 𝑏)))
7266, 69, 70, 71syl3anc 1373 . . 3 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) → ((𝑏 + 𝑏) 𝑋𝑋 < (𝑏 + 𝑏)))
7310, 61, 72mpjaodan 959 . 2 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)) → ∃𝑐𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) 𝑋))
74 archiabllem2.3 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵0 < 𝑎) → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎))
75743expia 1123 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → ( 0 < 𝑎 → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎)))
7675ralrimiva 3108 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎𝐵 ( 0 < 𝑎 → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎)))
77 archiabllem2a.5 . . 3 (𝜑0 < 𝑋)
78 breq2 5074 . . . . 5 (𝑎 = 𝑋 → ( 0 < 𝑎0 < 𝑋))
79 breq2 5074 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑋 → (𝑏 < 𝑎𝑏 < 𝑋))
8079anbi2d 632 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑋 → (( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎) ↔ ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)))
8180rexbidv 3226 . . . . 5 (𝑎 = 𝑋 → (∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎) ↔ ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋)))
8278, 81imbi12d 348 . . . 4 (𝑎 = 𝑋 → (( 0 < 𝑎 → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋))))
8382rspcv 3547 . . 3 (𝑋𝐵 → (∀𝑎𝐵 ( 0 < 𝑎 → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎)) → ( 0 < 𝑋 → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋))))
8415, 76, 77, 83syl3c 66 . 2 (𝜑 → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑋))
8573, 84r19.29a 3218 1 (𝜑 → ∃𝑐𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 847  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2112  wral 3064  wrex 3065  Vcvv 3423   class class class wbr 5070  cfv 6401  (class class class)co 7235  Basecbs 16793  +gcplusg 16835  lecple 16842  0gc0g 16977  ltcplt 17848  Tosetctos 17955  Grpcgrp 18398  -gcsg 18400  .gcmg 18521  oppgcoppg 18770  oMndcomnd 31074  oGrpcogrp 31075  Archicarchi 31182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5209  ax-nul 5216  ax-pow 5275  ax-pr 5339  ax-un 7545  ax-cnex 10815  ax-resscn 10816  ax-1cn 10817  ax-icn 10818  ax-addcl 10819  ax-addrcl 10820  ax-mulcl 10821  ax-mulrcl 10822  ax-mulcom 10823  ax-addass 10824  ax-mulass 10825  ax-distr 10826  ax-i2m1 10827  ax-1ne0 10828  ax-1rid 10829  ax-rnegex 10830  ax-rrecex 10831  ax-cnre 10832  ax-pre-lttri 10833  ax-pre-lttrn 10834  ax-pre-ltadd 10835  ax-pre-mulgt0 10836
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5179  df-id 5472  df-eprel 5478  df-po 5486  df-so 5487  df-fr 5527  df-we 5529  df-xp 5575  df-rel 5576  df-cnv 5577  df-co 5578  df-dm 5579  df-rn 5580  df-res 5581  df-ima 5582  df-pred 6179  df-ord 6237  df-on 6238  df-lim 6239  df-suc 6240  df-iota 6359  df-fun 6403  df-fn 6404  df-f 6405  df-f1 6406  df-fo 6407  df-f1o 6408  df-fv 6409  df-riota 7192  df-ov 7238  df-oprab 7239  df-mpo 7240  df-om 7667  df-1st 7783  df-2nd 7784  df-tpos 7992  df-wrecs 8071  df-recs 8132  df-rdg 8170  df-er 8415  df-en 8651  df-dom 8652  df-sdom 8653  df-pnf 10899  df-mnf 10900  df-xr 10901  df-ltxr 10902  df-le 10903  df-sub 11094  df-neg 11095  df-nn 11861  df-2 11923  df-3 11924  df-4 11925  df-5 11926  df-6 11927  df-7 11928  df-8 11929  df-9 11930  df-dec 12324  df-sets 16750  df-slot 16768  df-ndx 16778  df-base 16794  df-plusg 16848  df-ple 16855  df-0g 16979  df-proset 17835  df-poset 17853  df-plt 17869  df-toset 17956  df-mgm 18147  df-sgrp 18196  df-mnd 18207  df-grp 18401  df-minusg 18402  df-sbg 18403  df-oppg 18771  df-omnd 31076  df-ogrp 31077
This theorem is referenced by:  archiabllem2c  31200
  Copyright terms: Public domain W3C validator