Theorem archiabllem2a 32942

Description: Lemma for archiabl 32946, which requires the group to be both left- and right-ordered. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiabllem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiabllem.e	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archiabllem.t	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m	⊢ · = (.g‘𝑊)
archiabllem.g	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archiabllem2.1	⊢ + = (+g‘𝑊)
archiabllem2.2	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
archiabllem2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
archiabllem2a.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
archiabllem2a.5	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
archiabllem2a	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝐵   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐   𝑋,𝑎,𝑏,𝑐   𝜑,𝑎,𝑏   + ,𝑎,𝑏,𝑐   ≤ ,𝑎,𝑏,𝑐   < ,𝑎,𝑏,𝑐   0 ,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   · (𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem archiabllem2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 774	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋) → 𝑏 ∈ 𝐵)
2		simplrl 775	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋) → 0 < 𝑏)
3		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋) → (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋)
4		breq2 5148	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ( 0 < 𝑐 ↔ 0 < 𝑏))
5		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → 𝑐 = 𝑏)
6	5, 5	oveq12d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑐 + 𝑐) = (𝑏 + 𝑏))
7	6	breq1d 5154	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋 ↔ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋))
8	4, 7	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋) ↔ ( 0 < 𝑏 ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋)))
9	8	rspcev 3603	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋)) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))
10	1, 2, 3, 9	syl12anc 835	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))
11		simplll 773	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝜑)
12		archiabllem.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
13		ogrpgrp 32823	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑊 ∈ Grp)
15		archiabllem2a.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	11, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17		simpllr 774	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
18		archiabllem.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
19		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
20	18, 19	grpsubcl 18975	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝐵)
21	14, 16, 17, 20	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝐵)
22		archiabllem.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
23	18, 22, 19	grpsubid 18979	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏(-g‘𝑊)𝑏) = 0 )
24	14, 17, 23	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏(-g‘𝑊)𝑏) = 0 )
25	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑊 ∈ oGrp)
26		simplrr 776	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑏 < 𝑋)
27		archiabllem.t	. . . . . . 7 ⊢ < = (lt‘𝑊)
28	18, 27, 19	ogrpsublt 32841	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 < 𝑋) → (𝑏(-g‘𝑊)𝑏) < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏))
29	25, 17, 16, 17, 26, 28	syl131anc 1380	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏(-g‘𝑊)𝑏) < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏))
30	24, 29	eqbrtrrd 5168	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 0 < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏))
31		archiabllem2.1	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑊)
32		archiabllem2.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
33	11, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
34	18, 31	grpcl 18897	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵)
35	14, 17, 17, 34	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵)
36		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑋 < (𝑏 + 𝑏))
37	18, 27, 19	ogrpsublt 32841	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) < ((𝑏 + 𝑏)(-g‘𝑊)𝑏))
38	25, 16, 35, 17, 36, 37	syl131anc 1380	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) < ((𝑏 + 𝑏)(-g‘𝑊)𝑏))
39	18, 31, 19	grpaddsubass 18985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑏 + 𝑏)(-g‘𝑊)𝑏) = (𝑏 + (𝑏(-g‘𝑊)𝑏)))
40	14, 17, 17, 17, 39	syl13anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑏 + 𝑏)(-g‘𝑊)𝑏) = (𝑏 + (𝑏(-g‘𝑊)𝑏)))
41	24	oveq2d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏 + (𝑏(-g‘𝑊)𝑏)) = (𝑏 + 0 ))
42	18, 31, 22	grprid 18924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏 + 0 ) = 𝑏)
43	14, 17, 42	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏 + 0 ) = 𝑏)
44	40, 41, 43	3eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑏 + 𝑏)(-g‘𝑊)𝑏) = 𝑏)
45	38, 44	breqtrd 5170	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) < 𝑏)
46	18, 27, 31, 14, 33, 21, 17, 21, 45	ogrpaddltrd 32839	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) < ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + 𝑏))
47	18, 31, 19	grpnpcan 18987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + 𝑏) = 𝑋)
48	14, 16, 17, 47	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + 𝑏) = 𝑋)
49	46, 48	breqtrd 5170	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) < 𝑋)
50		ovexd 7448	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ∈ V)
51		archiabllem.e	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
52	51, 27	pltle 18319	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) < 𝑋 → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋))
53	14, 50, 16, 52	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) < 𝑋 → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋))
54	49, 53	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋)
55		breq2 5148	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) → ( 0 < 𝑐 ↔ 0 < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)))
56		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) → 𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏))
57	56, 56	oveq12d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) → (𝑐 + 𝑐) = ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)))
58	57	breq1d 5154	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) → ((𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋 ↔ ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋))
59	55, 58	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) → (( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋) ↔ ( 0 < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) ∧ ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋)))
60	59	rspcev 3603	. . . 4 ⊢ (((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝐵 ∧ ( 0 < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) ∧ ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋)) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))
61	21, 30, 54, 60	syl12anc 835	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))
62	12	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → 𝑊 ∈ oGrp)
63		isogrp 32822	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
64	63	simprbi 495	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
65		omndtos 32825	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
66	62, 64, 65	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → 𝑊 ∈ Toset)
67	62, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → 𝑊 ∈ Grp)
68		simplr 767	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
69	67, 68, 68, 34	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵)
70	15	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
71	18, 51, 27	tlt2 32736	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋 ∨ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)))
72	66, 69, 70, 71	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → ((𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋 ∨ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)))
73	10, 61, 72	mpjaodan 956	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))
74		archiabllem2.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
75	74	3expia 1118	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑎 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)))
76	75	ralrimiva 3136	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑎 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)))
77		archiabllem2a.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
78		breq2 5148	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ( 0 < 𝑎 ↔ 0 < 𝑋))
79		breq2 5148	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑏 < 𝑎 ↔ 𝑏 < 𝑋))
80	79	anbi2d 628	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎) ↔ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)))
81	80	rexbidv 3169	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)))
82	78, 81	imbi12d 343	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (( 0 < 𝑎 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋))))
83	82	rspcv 3599	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑎 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → ( 0 < 𝑋 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋))))
84	15, 76, 77, 83	syl3c 66	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋))
85	73, 84	r19.29a 3152	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3463   class class class wbr 5144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174  +_gcplusg 17227  lecple 17234  0_gc0g 17415  ltcplt 18294  Tosetctos 18402  Grpcgrp 18889  -_gcsg 18891  ._gcmg 19022  opp_gcoppg 19295  oMndcomnd 32817  oGrpcogrp 32818  Archicarchi 32925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-dec 12703  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-ple 17247  df-0g 17417  df-proset 18281  df-poset 18299  df-plt 18316  df-toset 18403  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-oppg 19296  df-omnd 32819  df-ogrp 32820

This theorem is referenced by:  archiabllem2c  32943