Theorem archiabllem2a 33183

Description: Lemma for archiabl 33187, which requires the group to be both left- and right-ordered. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiabllem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiabllem.e	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archiabllem.t	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m	⊢ · = (.g‘𝑊)
archiabllem.g	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archiabllem2.1	⊢ + = (+g‘𝑊)
archiabllem2.2	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
archiabllem2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
archiabllem2a.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
archiabllem2a.5	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
archiabllem2a	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝐵   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐   𝑋,𝑎,𝑏,𝑐   𝜑,𝑎,𝑏   + ,𝑎,𝑏,𝑐   ≤ ,𝑎,𝑏,𝑐   < ,𝑎,𝑏,𝑐   0 ,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   · (𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem archiabllem2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 776	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋) → 𝑏 ∈ 𝐵)
2		simplrl 777	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋) → 0 < 𝑏)
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋) → (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋)
4		breq2 5151	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ( 0 < 𝑐 ↔ 0 < 𝑏))
5		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → 𝑐 = 𝑏)
6	5, 5	oveq12d 7448	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑐 + 𝑐) = (𝑏 + 𝑏))
7	6	breq1d 5157	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋 ↔ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋))
8	4, 7	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋) ↔ ( 0 < 𝑏 ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋)))
9	8	rspcev 3621	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋)) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))
10	1, 2, 3, 9	syl12anc 837	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))
11		simplll 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝜑)
12		archiabllem.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
13		ogrpgrp 33062	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑊 ∈ Grp)
15		archiabllem2a.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	11, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17		simpllr 776	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
18		archiabllem.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
19		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
20	18, 19	grpsubcl 19050	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝐵)
21	14, 16, 17, 20	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝐵)
22		archiabllem.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
23	18, 22, 19	grpsubid 19054	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏(-g‘𝑊)𝑏) = 0 )
24	14, 17, 23	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏(-g‘𝑊)𝑏) = 0 )
25	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑊 ∈ oGrp)
26		simplrr 778	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑏 < 𝑋)
27		archiabllem.t	. . . . . . 7 ⊢ < = (lt‘𝑊)
28	18, 27, 19	ogrpsublt 33080	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 < 𝑋) → (𝑏(-g‘𝑊)𝑏) < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏))
29	25, 17, 16, 17, 26, 28	syl131anc 1382	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏(-g‘𝑊)𝑏) < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏))
30	24, 29	eqbrtrrd 5171	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 0 < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏))
31		archiabllem2.1	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑊)
32		archiabllem2.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
33	11, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
34	18, 31	grpcl 18971	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵)
35	14, 17, 17, 34	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵)
36		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑋 < (𝑏 + 𝑏))
37	18, 27, 19	ogrpsublt 33080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) < ((𝑏 + 𝑏)(-g‘𝑊)𝑏))
38	25, 16, 35, 17, 36, 37	syl131anc 1382	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) < ((𝑏 + 𝑏)(-g‘𝑊)𝑏))
39	18, 31, 19	grpaddsubass 19060	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑏 + 𝑏)(-g‘𝑊)𝑏) = (𝑏 + (𝑏(-g‘𝑊)𝑏)))
40	14, 17, 17, 17, 39	syl13anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑏 + 𝑏)(-g‘𝑊)𝑏) = (𝑏 + (𝑏(-g‘𝑊)𝑏)))
41	24	oveq2d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏 + (𝑏(-g‘𝑊)𝑏)) = (𝑏 + 0 ))
42	18, 31, 22	grprid 18998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏 + 0 ) = 𝑏)
43	14, 17, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏 + 0 ) = 𝑏)
44	40, 41, 43	3eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑏 + 𝑏)(-g‘𝑊)𝑏) = 𝑏)
45	38, 44	breqtrd 5173	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) < 𝑏)
46	18, 27, 31, 14, 33, 21, 17, 21, 45	ogrpaddltrd 33078	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) < ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + 𝑏))
47	18, 31, 19	grpnpcan 19062	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + 𝑏) = 𝑋)
48	14, 16, 17, 47	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + 𝑏) = 𝑋)
49	46, 48	breqtrd 5173	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) < 𝑋)
50		ovexd 7465	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ∈ V)
51		archiabllem.e	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
52	51, 27	pltle 18390	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) < 𝑋 → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋))
53	14, 50, 16, 52	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) < 𝑋 → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋))
54	49, 53	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋)
55		breq2 5151	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) → ( 0 < 𝑐 ↔ 0 < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)))
56		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) → 𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏))
57	56, 56	oveq12d 7448	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) → (𝑐 + 𝑐) = ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)))
58	57	breq1d 5157	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) → ((𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋 ↔ ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋))
59	55, 58	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) → (( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋) ↔ ( 0 < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) ∧ ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋)))
60	59	rspcev 3621	. . . 4 ⊢ (((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝐵 ∧ ( 0 < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) ∧ ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋)) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))
61	21, 30, 54, 60	syl12anc 837	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))
62	12	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → 𝑊 ∈ oGrp)
63		isogrp 33061	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
64	63	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
65		omndtos 33064	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
66	62, 64, 65	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → 𝑊 ∈ Toset)
67	62, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → 𝑊 ∈ Grp)
68		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
69	67, 68, 68, 34	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵)
70	15	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
71	18, 51, 27	tlt2 32943	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋 ∨ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)))
72	66, 69, 70, 71	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → ((𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋 ∨ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)))
73	10, 61, 72	mpjaodan 960	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))
74		archiabllem2.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
75	74	3expia 1120	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑎 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)))
76	75	ralrimiva 3143	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑎 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)))
77		archiabllem2a.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
78		breq2 5151	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ( 0 < 𝑎 ↔ 0 < 𝑋))
79		breq2 5151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑏 < 𝑎 ↔ 𝑏 < 𝑋))
80	79	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎) ↔ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)))
81	80	rexbidv 3176	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)))
82	78, 81	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (( 0 < 𝑎 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋))))
83	82	rspcv 3617	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑎 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → ( 0 < 𝑋 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋))))
84	15, 76, 77, 83	syl3c 66	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋))
85	73, 84	r19.29a 3159	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  Vcvv 3477   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  +_gcplusg 17297  lecple 17304  0_gc0g 17485  ltcplt 18365  Tosetctos 18473  Grpcgrp 18963  -_gcsg 18965  ._gcmg 19097  opp_gcoppg 19375  oMndcomnd 33056  oGrpcogrp 33057  Archicarchi 33166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-dec 12731  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-ple 17317  df-0g 17487  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18387  df-toset 18474  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-oppg 19376  df-omnd 33058  df-ogrp 33059

This theorem is referenced by:  archiabllem2c  33184