Theorem uhgrss 29096

Description: An edge is a subset of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Dec-2017.) (Revised by AV, 18-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgrf.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uhgrf.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
uhgrss	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐹 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝐹) ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem uhgrss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uhgrf.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		uhgrf.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	uhgrf 29094	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → 𝐸:dom 𝐸⟶(𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
4	3	ffvelcdmda 7104	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐹 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝐹) ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
5	4	eldifad 3975	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐹 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝐹) ∈ 𝒫 𝑉)
6	5	elpwid 4614	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐹 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝐹) ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631  dom cdm 5689  ‘cfv 6563  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  UHGraphcuhgr 29088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-uhgr 29090

This theorem is referenced by:  lpvtx  29100  umgredgprv  29139  uhgrspansubgrlem  29322  uhgrspan1  29335  grimidvtxedg  47814  grimcnv  47817  ushggricedg  47834  clnbgrgrimlem  47839  grimedg  47841