Theorem uhgrss 29395

Description: An edge is a subset of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Dec-2017.) (Revised by AV, 18-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgrf.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uhgrf.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
uhgrss	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐹 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝐹) ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem uhgrss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uhgrf.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		uhgrf.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	uhgrf 29393	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → 𝐸:dom 𝐸⟶(𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
4	3	ffvelcdmda 7081	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐹 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝐹) ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
5	4	eldifad 3918	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐹 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝐹) ∈ 𝒫 𝑉)
6	5	elpwid 4572	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐹 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝐹) ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4563  {csn 4590  dom cdm 5663  ‘cfv 6538  Vtxcvtx 29327  iEdgciedg 29328  UHGraphcuhgr 29387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-uhgr 29389

This theorem is referenced by:  lpvtx  29399  umgredgprv  29438  uhgrspansubgrlem  29621  uhgrspan1  29634  grimidvtxedg  48633  grimcnv  48636  upgrimtrlslem2  48653  ushggricedg  48675  clnbgrgrimlem  48681  grimedg  48683