MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgredgprv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgredgprv 28875
Description: In a multigraph, an edge is an unordered pair of vertices. This theorem would not hold for arbitrary hyper-/pseudographs since either 𝑀 or 𝑁 could be proper classes ((𝐸𝑋) would be a loop in this case), which are no vertices of course. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Aug-2017.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
umgrnloopv.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
umgredgprv.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
umgredgprv ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))

Proof of Theorem umgredgprv
StepHypRef Expression
1 umgruhgr 28872 . . 3 (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
2 umgredgprv.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 umgrnloopv.e . . . 4 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
42, 3uhgrss 28832 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸𝑋) ⊆ 𝑉)
51, 4sylan 579 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸𝑋) ⊆ 𝑉)
62, 3umgredg2 28868 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (♯‘(𝐸𝑋)) = 2)
7 sseq1 4002 . . . . 5 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((𝐸𝑋) ⊆ 𝑉 ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
8 fveqeq2 6894 . . . . 5 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((♯‘(𝐸𝑋)) = 2 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
97, 8anbi12d 630 . . . 4 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (((𝐸𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑋)) = 2) ↔ ({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)))
10 eqid 2726 . . . . . . 7 {𝑀, 𝑁} = {𝑀, 𝑁}
1110hashprdifel 14363 . . . . . 6 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑁))
12 prssg 4817 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}) → ((𝑀𝑉𝑁𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
13123adant3 1129 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑁) → ((𝑀𝑉𝑁𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
1413biimprd 247 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑁) → ({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
1511, 14syl 17 . . . . 5 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → ({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
1615impcom 407 . . . 4 (({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → (𝑀𝑉𝑁𝑉))
179, 16biimtrdi 252 . . 3 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (((𝐸𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑋)) = 2) → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
1817com12 32 . 2 (((𝐸𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑋)) = 2) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
195, 6, 18syl2anc 583 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wss 3943  {cpr 4625  dom cdm 5669  cfv 6537  2c2 12271  chash 14295  Vtxcvtx 28764  iEdgciedg 28765  UHGraphcuhgr 28824  UMGraphcumgr 28849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-hash 14296  df-uhgr 28826  df-upgr 28850  df-umgr 28851
This theorem is referenced by:  umgrnloop  28876  usgredgprv  28959
  Copyright terms: Public domain W3C validator