MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgredgprv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgredgprv 29139
Description: In a multigraph, an edge is an unordered pair of vertices. This theorem would not hold for arbitrary hyper-/pseudographs since either 𝑀 or 𝑁 could be proper classes ((𝐸𝑋) would be a loop in this case), which are no vertices of course. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Aug-2017.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
umgrnloopv.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
umgredgprv.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
umgredgprv ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))

Proof of Theorem umgredgprv
StepHypRef Expression
1 umgruhgr 29136 . . 3 (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
2 umgredgprv.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 umgrnloopv.e . . . 4 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
42, 3uhgrss 29096 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸𝑋) ⊆ 𝑉)
51, 4sylan 580 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸𝑋) ⊆ 𝑉)
62, 3umgredg2 29132 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (♯‘(𝐸𝑋)) = 2)
7 sseq1 4021 . . . . 5 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((𝐸𝑋) ⊆ 𝑉 ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
8 fveqeq2 6916 . . . . 5 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((♯‘(𝐸𝑋)) = 2 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
97, 8anbi12d 632 . . . 4 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (((𝐸𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑋)) = 2) ↔ ({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)))
10 eqid 2735 . . . . . . 7 {𝑀, 𝑁} = {𝑀, 𝑁}
1110hashprdifel 14434 . . . . . 6 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑁))
12 prssg 4824 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}) → ((𝑀𝑉𝑁𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
13123adant3 1131 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑁) → ((𝑀𝑉𝑁𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
1413biimprd 248 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑁) → ({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
1511, 14syl 17 . . . . 5 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → ({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
1615impcom 407 . . . 4 (({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → (𝑀𝑉𝑁𝑉))
179, 16biimtrdi 253 . . 3 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (((𝐸𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑋)) = 2) → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
1817com12 32 . 2 (((𝐸𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑋)) = 2) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
195, 6, 18syl2anc 584 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wss 3963  {cpr 4633  dom cdm 5689  cfv 6563  2c2 12319  chash 14366  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  UHGraphcuhgr 29088  UMGraphcumgr 29113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-uhgr 29090  df-upgr 29114  df-umgr 29115
This theorem is referenced by:  umgrnloop  29140  usgredgprv  29226
  Copyright terms: Public domain W3C validator