MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgredgprv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgredgprv 29040
Description: In a multigraph, an edge is an unordered pair of vertices. This theorem would not hold for arbitrary hyper-/pseudographs since either 𝑀 or 𝑁 could be proper classes ((𝐸𝑋) would be a loop in this case), which are no vertices of course. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Aug-2017.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
umgrnloopv.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
umgredgprv.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
umgredgprv ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))

Proof of Theorem umgredgprv
StepHypRef Expression
1 umgruhgr 29037 . . 3 (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
2 umgredgprv.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 umgrnloopv.e . . . 4 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
42, 3uhgrss 28997 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸𝑋) ⊆ 𝑉)
51, 4sylan 578 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸𝑋) ⊆ 𝑉)
62, 3umgredg2 29033 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (♯‘(𝐸𝑋)) = 2)
7 sseq1 4004 . . . . 5 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((𝐸𝑋) ⊆ 𝑉 ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
8 fveqeq2 6902 . . . . 5 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((♯‘(𝐸𝑋)) = 2 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
97, 8anbi12d 630 . . . 4 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (((𝐸𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑋)) = 2) ↔ ({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)))
10 eqid 2726 . . . . . . 7 {𝑀, 𝑁} = {𝑀, 𝑁}
1110hashprdifel 14410 . . . . . 6 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑁))
12 prssg 4818 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}) → ((𝑀𝑉𝑁𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
13123adant3 1129 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑁) → ((𝑀𝑉𝑁𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
1413biimprd 247 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑁) → ({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
1511, 14syl 17 . . . . 5 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → ({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
1615impcom 406 . . . 4 (({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → (𝑀𝑉𝑁𝑉))
179, 16biimtrdi 252 . . 3 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (((𝐸𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑋)) = 2) → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
1817com12 32 . 2 (((𝐸𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑋)) = 2) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
195, 6, 18syl2anc 582 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wss 3946  {cpr 4625  dom cdm 5674  cfv 6546  2c2 12313  chash 14342  Vtxcvtx 28929  iEdgciedg 28930  UHGraphcuhgr 28989  UMGraphcumgr 29014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-oadd 8492  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-dju 9937  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-fz 13533  df-hash 14343  df-uhgr 28991  df-upgr 29015  df-umgr 29016
This theorem is referenced by:  umgrnloop  29041  usgredgprv  29127
  Copyright terms: Public domain W3C validator