Theorem umgredgprv 28962

Description: In a multigraph, an edge is an unordered pair of vertices. This theorem would not hold for arbitrary hyper-/pseudographs since either 𝑀 or 𝑁 could be proper classes ((𝐸‘𝑋) would be a loop in this case), which are no vertices of course. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Aug-2017.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgrnloopv.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
umgredgprv.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgredgprv	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))

Proof of Theorem umgredgprv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgruhgr 28959	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
2		umgredgprv.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		umgrnloopv.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	uhgrss 28919	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉)
5	1, 4	sylan 578	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉)
6	2, 3	umgredg2 28955	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (♯‘(𝐸‘𝑋)) = 2)
7		sseq1 3998	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉 ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
8		fveqeq2 6900	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((♯‘(𝐸‘𝑋)) = 2 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
9	7, 8	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (((𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑋)) = 2) ↔ ({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)))
10		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ {𝑀, 𝑁} = {𝑀, 𝑁}
11	10	hashprdifel 14387	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ≠ 𝑁))
12		prssg 4818	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
13	12	3adant3 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
14	13	biimprd 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → ({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
15	11, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → ({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
16	15	impcom 406	. . . 4 ⊢ (({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
17	9, 16	biimtrdi 252	. . 3 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (((𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑋)) = 2) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
18	17	com12 32	. 2 ⊢ (((𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑋)) = 2) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
19	5, 6, 18	syl2anc 582	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930   ⊆ wss 3940  {cpr 4626  dom cdm 5672  ‘cfv 6542  2c2 12295  ♯chash 14319  Vtxcvtx 28851  iEdgciedg 28852  UHGraphcuhgr 28911  UMGraphcumgr 28936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-oadd 8487  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-hash 14320  df-uhgr 28913  df-upgr 28937  df-umgr 28938

This theorem is referenced by:  umgrnloop  28963  usgredgprv  29049