Theorem uniexb 7763

Description: The Axiom of Union and its converse. A class is a set iff its union is a set. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
uniexb	⊢ (𝐴 ∈ V ↔ ∪ 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem uniexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 7739	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∪ 𝐴 ∈ V)
2		uniexr 7762	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ ∪ 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ∪ cuni 4876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-pow 5337  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-3an 1103  df-tru 1570  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-rab 3424  df-v 3465  df-in 3920  df-ss 3930  df-pw 4569  df-uni 4877

This theorem is referenced by:  elpwpwel  7766  ixpexg  8920  rankuni  9835  unialeph  10085  ttukeylem1  10493  tgss2  23113  ordtbas2  23317  ordtbas  23318  ordttopon  23319  ordtopn1  23320  ordtopn2  23321  ordtrest2  23330  isref  23635  islocfin  23643  txbasex  23692  ptbasin2  23704  ordthmeolem  23927  alexsublem  24170  alexsub  24171  alexsubb  24172  ussid  24386  ordtrest2NEW  34258  brbigcup  36287  isfne  36739  isfne4  36740  isfne4b  36741  fnessref  36757  neibastop1  36759  fnejoin2  36769  prtex  39544