Theorem uniexb 7810

Description: The Axiom of Union and its converse. A class is a set iff its union is a set. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
uniexb	⊢ (𝐴 ∈ V ↔ ∪ 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem uniexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 7789	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∪ 𝐴 ∈ V)
2		uniexr 7809	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ ∪ 𝐴 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ∪ cuni 4872

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-3an 1105  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-in 4094  df-pw 4562  df-uni 4873

This theorem is used by:  elpwpwel  7813  ixpexg  8988  rankuni  9916  unialeph  10219  ttukeylem1  10626  tgss2  23360  ordtbas2  23564  ordtbas  23565  ordttopon  23566  ordtopn1  23567  ordtopn2  23568  ordtrest2  23577  isref  23883  islocfin  23891  txbasex  23940  ptbasin2  23952  ordthmeolem  24175  alexsublem  24418  alexsub  24419  alexsubb  24420  ussid  24634  ordtrest2NEW  34666  brbigcup  36875  isfne  37342  isfne4  37343  isfne4b  37344  fnessref  37360  neibastop1  37362  fnejoin2  37372  prtex  40203