Theorem ttukeylem1 10591

Description: Lemma for ttukey 10600. Expand out the property of being an element of a property of finite character. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttukeylem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(card‘(∪ 𝐴 ∖ 𝐵))–1-1-onto→(∪ 𝐴 ∖ 𝐵))
ttukeylem.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
ttukeylem.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
ttukeylem1	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ⊆ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem ttukeylem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3471	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ V)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ V))
3		id 23	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝐶 ∩ Fin) ⊆ 𝐴 → (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ⊆ 𝐴)
4		ssun1 4176	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐴 ⊆ (∪ 𝐴 ∪ 𝐵)
5		undif1 4429	. . . . . . . 8 ⊢ ((∪ 𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) = (∪ 𝐴 ∪ 𝐵)
6	4, 5	sseqtrri 3957	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐴 ⊆ ((∪ 𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)
7		fvex 6899	. . . . . . . . 9 ⊢ (card‘(∪ 𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ V
8		ttukeylem.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(card‘(∪ 𝐴 ∖ 𝐵))–1-1-onto→(∪ 𝐴 ∖ 𝐵))
9		f1ofo 6833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(card‘(∪ 𝐴 ∖ 𝐵))–1-1-onto→(∪ 𝐴 ∖ 𝐵) → 𝐹:(card‘(∪ 𝐴 ∖ 𝐵))–onto→(∪ 𝐴 ∖ 𝐵))
10	8, 9	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(card‘(∪ 𝐴 ∖ 𝐵))–onto→(∪ 𝐴 ∖ 𝐵))
11		focdmex 7969	. . . . . . . . 9 ⊢ ((card‘(∪ 𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ V → (𝐹:(card‘(∪ 𝐴 ∖ 𝐵))–onto→(∪ 𝐴 ∖ 𝐵) → (∪ 𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V))
12	7, 10, 11	mpsyl 69	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
13		ttukeylem.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
14		unexg 7761	. . . . . . . 8 ⊢ (((∪ 𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((∪ 𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) ∈ V)
15	12, 13, 14	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∪ 𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) ∈ V)
16		ssexg 5280	. . . . . . 7 ⊢ ((∪ 𝐴 ⊆ ((∪ 𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) ∧ ((∪ 𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) ∈ V) → ∪ 𝐴 ∈ V)
17	6, 15, 16	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ V)
18		uniexb 7779	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ ∪ 𝐴 ∈ V)
19	17, 18	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
20		ssexg 5280	. . . . 5 ⊢ (((𝒫 𝐶 ∩ Fin) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ∈ V)
21	3, 19, 20	syl2anr 609	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ⊆ 𝐴) → (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ∈ V)
22		infpwfidom 10111	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝐶 ∩ Fin) ∈ V → 𝐶 ≼ (𝒫 𝐶 ∩ Fin))
23		reldom 8983	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
24	23	brrelex1i 5706	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≼ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝐶 ∈ V)
25	21, 22, 24	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ⊆ 𝐴) → 𝐶 ∈ V)
26	25	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝒫 𝐶 ∩ Fin) ⊆ 𝐴 → 𝐶 ∈ V))
27		ttukeylem.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴))
28		eleq1 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))
29		pweq 4570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐶)
30	29	ineq1d 4116	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝒫 𝑥 ∩ Fin) = (𝒫 𝐶 ∩ Fin))
31	30	sseq1d 3939	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴 ↔ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ⊆ 𝐴))
32	28, 31	bibi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ⊆ 𝐴)))
33	32	spcgv 3550	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ V → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴) → (𝐶 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ⊆ 𝐴)))
34	27, 33	syl5com 32	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ⊆ 𝐴)))
35	2, 26, 34	pm5.21ndd 382	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ⊆ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1567   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102  –onto→wfo 6537  –1-1-onto→wf1o 6538  ‘cfv 6539   ≼ cdom 8975  Fincfn 8977  cardccrd 10020

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-om 7879  df-1o 8480  df-en 8978  df-dom 8979  df-fin 8981

This theorem is used by:  ttukeylem2  10592  ttukeylem6  10596