MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttukeylem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttukeylem1 10446
Description: Lemma for ttukey 10455. Expand out the property of being an element of a property of finite character. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
ttukeylem.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
ttukeylem.3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴))
Assertion
Ref Expression
ttukeylem1 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hint:   πœ‘(π‘₯)

Proof of Theorem ttukeylem1
StepHypRef Expression
1 elex 3464 . . 3 (𝐢 ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ V)
21a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ V))
3 id 22 . . . . 5 ((𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† 𝐴 β†’ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† 𝐴)
4 ssun1 4133 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐴 βŠ† (βˆͺ 𝐴 βˆͺ 𝐡)
5 undif1 4436 . . . . . . . 8 ((βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) βˆͺ 𝐡) = (βˆͺ 𝐴 βˆͺ 𝐡)
64, 5sseqtrri 3982 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐴 βŠ† ((βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) βˆͺ 𝐡)
7 fvex 6856 . . . . . . . . 9 (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)) ∈ V
8 ttukeylem.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
9 f1ofo 6792 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) β†’ 𝐹:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
11 focdmex 7889 . . . . . . . . 9 ((cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)) ∈ V β†’ (𝐹:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) β†’ (βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ V))
127, 10, 11mpsyl 68 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ V)
13 ttukeylem.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
14 unexg 7684 . . . . . . . 8 (((βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ V ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ ((βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) βˆͺ 𝐡) ∈ V)
1512, 13, 14syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) βˆͺ 𝐡) ∈ V)
16 ssexg 5281 . . . . . . 7 ((βˆͺ 𝐴 βŠ† ((βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) βˆͺ 𝐡) ∧ ((βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) βˆͺ 𝐡) ∈ V) β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ V)
176, 15, 16sylancr 588 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ V)
18 uniexb 7699 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V ↔ βˆͺ 𝐴 ∈ V)
1917, 18sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
20 ssexg 5281 . . . . 5 (((𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ∈ V)
213, 19, 20syl2anr 598 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† 𝐴) β†’ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ∈ V)
22 infpwfidom 9965 . . . 4 ((𝒫 𝐢 ∩ Fin) ∈ V β†’ 𝐢 β‰Ό (𝒫 𝐢 ∩ Fin))
23 reldom 8890 . . . . 5 Rel β‰Ό
2423brrelex1i 5689 . . . 4 (𝐢 β‰Ό (𝒫 𝐢 ∩ Fin) β†’ 𝐢 ∈ V)
2521, 22, 243syl 18 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ V)
2625ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ V))
27 ttukeylem.3 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴))
28 eleq1 2826 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐢 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝐢 ∈ 𝐴))
29 pweq 4575 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐢 β†’ 𝒫 π‘₯ = 𝒫 𝐢)
3029ineq1d 4172 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐢 β†’ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) = (𝒫 𝐢 ∩ Fin))
3130sseq1d 3976 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐢 β†’ ((𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴 ↔ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† 𝐴))
3228, 31bibi12d 346 . . . 4 (π‘₯ = 𝐢 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴) ↔ (𝐢 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† 𝐴)))
3332spcgv 3556 . . 3 (𝐢 ∈ V β†’ (βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴) β†’ (𝐢 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† 𝐴)))
3427, 33syl5com 31 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ V β†’ (𝐢 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† 𝐴)))
352, 26, 34pm5.21ndd 381 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3446   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  π’« cpw 4561  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497   β‰Ό cdom 8882  Fincfn 8884  cardccrd 9872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-om 7804  df-1o 8413  df-en 8885  df-dom 8886  df-fin 8888
This theorem is referenced by:  ttukeylem2  10447  ttukeylem6  10451
  Copyright terms: Public domain W3C validator