MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttukeylem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttukeylem1 10506
Description: Lemma for ttukey 10515. Expand out the property of being an element of a property of finite character. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
ttukeylem.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
ttukeylem.3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴))
Assertion
Ref Expression
ttukeylem1 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hint:   πœ‘(π‘₯)

Proof of Theorem ttukeylem1
StepHypRef Expression
1 elex 3491 . . 3 (𝐢 ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ V)
21a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ V))
3 id 22 . . . . 5 ((𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† 𝐴 β†’ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† 𝐴)
4 ssun1 4171 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐴 βŠ† (βˆͺ 𝐴 βˆͺ 𝐡)
5 undif1 4474 . . . . . . . 8 ((βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) βˆͺ 𝐡) = (βˆͺ 𝐴 βˆͺ 𝐡)
64, 5sseqtrri 4018 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐴 βŠ† ((βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) βˆͺ 𝐡)
7 fvex 6903 . . . . . . . . 9 (cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)) ∈ V
8 ttukeylem.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
9 f1ofo 6839 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) β†’ 𝐹:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
11 focdmex 7944 . . . . . . . . 9 ((cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡)) ∈ V β†’ (𝐹:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) β†’ (βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ V))
127, 10, 11mpsyl 68 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ V)
13 ttukeylem.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
14 unexg 7738 . . . . . . . 8 (((βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ V ∧ 𝐡 ∈ 𝐴) β†’ ((βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) βˆͺ 𝐡) ∈ V)
1512, 13, 14syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) βˆͺ 𝐡) ∈ V)
16 ssexg 5322 . . . . . . 7 ((βˆͺ 𝐴 βŠ† ((βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) βˆͺ 𝐡) ∧ ((βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡) βˆͺ 𝐡) ∈ V) β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ V)
176, 15, 16sylancr 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ V)
18 uniexb 7753 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V ↔ βˆͺ 𝐴 ∈ V)
1917, 18sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
20 ssexg 5322 . . . . 5 (((𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ∈ V)
213, 19, 20syl2anr 595 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† 𝐴) β†’ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) ∈ V)
22 infpwfidom 10025 . . . 4 ((𝒫 𝐢 ∩ Fin) ∈ V β†’ 𝐢 β‰Ό (𝒫 𝐢 ∩ Fin))
23 reldom 8947 . . . . 5 Rel β‰Ό
2423brrelex1i 5731 . . . 4 (𝐢 β‰Ό (𝒫 𝐢 ∩ Fin) β†’ 𝐢 ∈ V)
2521, 22, 243syl 18 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ V)
2625ex 411 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ V))
27 ttukeylem.3 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴))
28 eleq1 2819 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐢 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝐢 ∈ 𝐴))
29 pweq 4615 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐢 β†’ 𝒫 π‘₯ = 𝒫 𝐢)
3029ineq1d 4210 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐢 β†’ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) = (𝒫 𝐢 ∩ Fin))
3130sseq1d 4012 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐢 β†’ ((𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴 ↔ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† 𝐴))
3228, 31bibi12d 344 . . . 4 (π‘₯ = 𝐢 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴) ↔ (𝐢 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† 𝐴)))
3332spcgv 3585 . . 3 (𝐢 ∈ V β†’ (βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴) β†’ (𝐢 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† 𝐴)))
3427, 33syl5com 31 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ V β†’ (𝐢 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† 𝐴)))
352, 26, 34pm5.21ndd 378 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝐢 ∩ Fin) βŠ† 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394  βˆ€wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542   β‰Ό cdom 8939  Fincfn 8941  cardccrd 9932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7858  df-1o 8468  df-en 8942  df-dom 8943  df-fin 8945
This theorem is referenced by:  ttukeylem2  10507  ttukeylem6  10511
  Copyright terms: Public domain W3C validator