Theorem txbasex 23798

Description: The basis for the product topology is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
txval.1	⊢ 𝐵 = ran (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
txbasex	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑦)   𝑉(𝑥, 𝑦)   𝑊(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem txbasex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txval.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ran (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦))
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑅 = ∪ 𝑅
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑆 = ∪ 𝑆
4	1, 2, 3	txuni2 23797	. . 3 ⊢ (∪ 𝑅 × ∪ 𝑆) = ∪ 𝐵
5		uniexg 7746	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ∪ 𝑅 ∈ V)
6		uniexg 7746	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑊 → ∪ 𝑆 ∈ V)
7		xpexg 7753	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝑅 ∈ V ∧ ∪ 𝑆 ∈ V) → (∪ 𝑅 × ∪ 𝑆) ∈ V)
8	5, 6, 7	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (∪ 𝑅 × ∪ 𝑆) ∈ V)
9	4, 8	eqeltrrid 2867	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → ∪ 𝐵 ∈ V)
10		uniexb 7767	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V ↔ ∪ 𝐵 ∈ V)
11	9, 10	sylibr 237	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  ∪ cuni 4870   × cxp 5657  ran crn 5660   ∈ cmpo 7419

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991

This theorem is used by:  txbas  23799  eltx  23800  txtopon  23823  txopn  23834  txss12  23837  txbasval  23838  txrest  23863  sxsiga  34710  elsx  34713  mbfmco2  34784