Theorem txbasex 23556

Description: The basis for the product topology is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
txval.1	⊢ 𝐵 = ran (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
txbasex	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem txbasex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txval.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ran (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦))
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑅 = ∪ 𝑅
3		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑆 = ∪ 𝑆
4	1, 2, 3	txuni2 23555	. . 3 ⊢ (∪ 𝑅 × ∪ 𝑆) = ∪ 𝐵
5		uniexg 7690	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ∪ 𝑅 ∈ V)
6		uniexg 7690	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑊 → ∪ 𝑆 ∈ V)
7		xpexg 7700	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝑅 ∈ V ∧ ∪ 𝑆 ∈ V) → (∪ 𝑅 × ∪ 𝑆) ∈ V)
8	5, 6, 7	syl2an 602	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (∪ 𝑅 × ∪ 𝑆) ∈ V)
9	4, 8	eqeltrrid 2845	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → ∪ 𝐵 ∈ V)
10		uniexb 7714	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V ↔ ∪ 𝐵 ∈ V)
11	9, 10	sylibr 235	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432  ∪ cuni 4845   × cxp 5623  ran crn 5626   ∈ cmpo 7365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7938  df-2nd 7939

This theorem is referenced by:  txbas  23557  eltx  23558  txtopon  23581  txopn  23592  txss12  23595  txbasval  23596  txrest  23621  sxsiga  34382  elsx  34385  mbfmco2  34456