Theorem txbasex 23540

Description: The basis for the product topology is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
txval.1	⊢ 𝐵 = ran (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
txbasex	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem txbasex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txval.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ran (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦))
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑅 = ∪ 𝑅
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑆 = ∪ 𝑆
4	1, 2, 3	txuni2 23539	. . 3 ⊢ (∪ 𝑅 × ∪ 𝑆) = ∪ 𝐵
5		uniexg 7685	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ∪ 𝑅 ∈ V)
6		uniexg 7685	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑊 → ∪ 𝑆 ∈ V)
7		xpexg 7695	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝑅 ∈ V ∧ ∪ 𝑆 ∈ V) → (∪ 𝑅 × ∪ 𝑆) ∈ V)
8	5, 6, 7	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (∪ 𝑅 × ∪ 𝑆) ∈ V)
9	4, 8	eqeltrrid 2842	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → ∪ 𝐵 ∈ V)
10		uniexb 7709	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V ↔ ∪ 𝐵 ∈ V)
11	9, 10	sylibr 234	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ∪ cuni 4851   × cxp 5620  ran crn 5623   ∈ cmpo 7360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934

This theorem is referenced by:  txbas  23541  eltx  23542  txtopon  23565  txopn  23576  txss12  23579  txbasval  23580  txrest  23605  sxsiga  34356  elsx  34359  mbfmco2  34430