MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordthmeolem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ordthmeolem 23305
Description: Lemma for ordthmeo 23306. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordthmeo.1 𝑋 = dom 𝑅
ordthmeo.2 π‘Œ = dom 𝑆
Assertion
Ref Expression
ordthmeolem ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ 𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜π‘…) Cn (ordTopβ€˜π‘†)))
Proof of Theorem ordthmeolem
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isof1o 7320 . . . 4 (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ) β†’ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ)
213ad2ant3 1136 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ)
3 f1of 6834 . . 3 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
42, 3syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
5 fimacnv 6740 . . . . . . 7 (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ (◑𝐹 β€œ π‘Œ) = 𝑋)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘Œ) = 𝑋)
7 ordthmeo.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = dom 𝑅
87ordttopon 22697 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (ordTopβ€˜π‘…) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
983ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ (ordTopβ€˜π‘…) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
10 toponmax 22428 . . . . . . 7 ((ordTopβ€˜π‘…) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
119, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
126, 11eqeltrd 2834 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘Œ) ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
13 elsni 4646 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {π‘Œ} β†’ 𝑧 = π‘Œ)
1413imaeq2d 6060 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {π‘Œ} β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) = (◑𝐹 β€œ π‘Œ))
1514eleq1d 2819 . . . . 5 (𝑧 ∈ {π‘Œ} β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…) ↔ (◑𝐹 β€œ π‘Œ) ∈ (ordTopβ€˜π‘…)))
1612, 15syl5ibrcom 246 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ (𝑧 ∈ {π‘Œ} β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…)))
1716ralrimiv 3146 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ {π‘Œ} (◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
18 cnvimass 6081 . . . . . . . . . 10 (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βŠ† dom 𝐹
19 f1odm 6838 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
202, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
2120adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
2218, 21sseqtrid 4035 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βŠ† 𝑋)
23 sseqin2 4216 . . . . . . . . 9 ((◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βŠ† 𝑋 ↔ (𝑋 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯})) = (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}))
2422, 23sylib 217 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯})) = (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}))
252ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ)
26 f1ofn 6835 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
28 elpreima 7060 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯})))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯})))
30 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
3130biantrurd 534 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯} ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯})))
324adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
3332ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Œ)
34 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (𝑦𝑆π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘§)𝑆π‘₯))
3534notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (Β¬ 𝑦𝑆π‘₯ ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘§)𝑆π‘₯))
3635elrab3 3685 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Œ β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯} ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘§)𝑆π‘₯))
3733, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯} ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘§)𝑆π‘₯))
38 simpll3 1215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ))
39 f1ocnv 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋)
40 f1of 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 β†’ ◑𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
412, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ ◑𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
4241ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)
4342adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)
44 isorel 7323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝑅(β—‘πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘§)𝑆(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯))))
4538, 30, 43, 44syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧𝑅(β—‘πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘§)𝑆(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯))))
46 f1ocnvfv2 7275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) = π‘₯)
472, 46sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) = π‘₯)
4847adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) = π‘₯)
4948breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝑆(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (πΉβ€˜π‘§)𝑆π‘₯))
5045, 49bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧𝑅(β—‘πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘§)𝑆π‘₯))
5150notbid 318 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (Β¬ 𝑧𝑅(β—‘πΉβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘§)𝑆π‘₯))
5237, 51bitr4d 282 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯} ↔ Β¬ 𝑧𝑅(β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
5329, 31, 523bitr2d 307 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) ↔ Β¬ 𝑧𝑅(β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
5453rabbi2dva 4218 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯})) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅(β—‘πΉβ€˜π‘₯)})
5524, 54eqtr3d 2775 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅(β—‘πΉβ€˜π‘₯)})
56 simpl1 1192 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
577ordtopn1 22698 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅(β—‘πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
5856, 42, 57syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅(β—‘πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
5955, 58eqeltrd 2834 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
6059ralrimiva 3147 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
61 ordthmeo.2 . . . . . . . . . 10 π‘Œ = dom 𝑆
62 dmexg 7894 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ dom 𝑆 ∈ V)
6361, 62eqeltrid 2838 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ π‘Œ ∈ V)
64633ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ V)
65 rabexg 5332 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ V β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯} ∈ V)
6664, 65syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯} ∈ V)
6766ralrimivw 3151 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯} ∈ V)
68 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯})
69 imaeq2 6056 . . . . . . . 8 (𝑧 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯} β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) = (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}))
7069eleq1d 2819 . . . . . . 7 (𝑧 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯} β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…) ↔ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) ∈ (ordTopβ€˜π‘…)))
7168, 70ralrnmptw 7096 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯} ∈ V β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯})(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) ∈ (ordTopβ€˜π‘…)))
7267, 71syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯})(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) ∈ (ordTopβ€˜π‘…)))
7360, 72mpbird 257 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯})(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
74 cnvimass 6081 . . . . . . . . . 10 (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) βŠ† dom 𝐹
7574, 21sseqtrid 4035 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) βŠ† 𝑋)
76 sseqin2 4216 . . . . . . . . 9 ((◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) βŠ† 𝑋 ↔ (𝑋 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})) = (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))
7775, 76sylib 217 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})) = (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))
78 elpreima 7060 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})))
7927, 78syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})))
8030biantrurd 534 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦} ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})))
81 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (π‘₯𝑆𝑦 ↔ π‘₯𝑆(πΉβ€˜π‘§)))
8281notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (Β¬ π‘₯𝑆𝑦 ↔ Β¬ π‘₯𝑆(πΉβ€˜π‘§)))
8382elrab3 3685 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Œ β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦} ↔ Β¬ π‘₯𝑆(πΉβ€˜π‘§)))
8433, 83syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦} ↔ Β¬ π‘₯𝑆(πΉβ€˜π‘§)))
85 isorel 7323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ) ∧ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯)𝑅𝑧 ↔ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯))𝑆(πΉβ€˜π‘§)))
8638, 43, 30, 85syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯)𝑅𝑧 ↔ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯))𝑆(πΉβ€˜π‘§)))
8748breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯))𝑆(πΉβ€˜π‘§) ↔ π‘₯𝑆(πΉβ€˜π‘§)))
8886, 87bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯)𝑅𝑧 ↔ π‘₯𝑆(πΉβ€˜π‘§)))
8988notbid 318 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)𝑅𝑧 ↔ Β¬ π‘₯𝑆(πΉβ€˜π‘§)))
9084, 89bitr4d 282 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦} ↔ Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)𝑅𝑧))
9179, 80, 903bitr2d 307 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) ↔ Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)𝑅𝑧))
9291rabbi2dva 4218 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)𝑅𝑧})
9377, 92eqtr3d 2775 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)𝑅𝑧})
947ordtopn2 22699 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)𝑅𝑧} ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
9556, 42, 94syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)𝑅𝑧} ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
9693, 95eqeltrd 2834 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
9796ralrimiva 3147 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
98 rabexg 5332 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ V β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦} ∈ V)
9964, 98syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦} ∈ V)
10099ralrimivw 3151 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦} ∈ V)
101 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})
102 imaeq2 6056 . . . . . . . 8 (𝑧 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦} β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) = (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))
103102eleq1d 2819 . . . . . . 7 (𝑧 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦} β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…) ↔ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) ∈ (ordTopβ€˜π‘…)))
104101, 103ralrnmptw 7096 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦} ∈ V β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) ∈ (ordTopβ€˜π‘…)))
105100, 104syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) ∈ (ordTopβ€˜π‘…)))
10697, 105mpbird 257 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
107 ralunb 4192 . . . 4 (βˆ€π‘§ ∈ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯})(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…)))
10873, 106, 107sylanbrc 584 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
109 ralunb 4192 . . 3 (βˆ€π‘§ ∈ ({π‘Œ} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})))(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ {π‘Œ} (◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…)))
11017, 108, 109sylanbrc 584 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ({π‘Œ} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})))(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
111 eqid 2733 . . . . . . 7 ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) = ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯})
112 eqid 2733 . . . . . . 7 ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) = ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})
11361, 111, 112ordtuni 22694 . . . . . 6 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ π‘Œ = βˆͺ ({π‘Œ} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))))
114113, 63eqeltrrd 2835 . . . . 5 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ βˆͺ ({π‘Œ} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))) ∈ V)
115 uniexb 7751 . . . . 5 (({π‘Œ} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))) ∈ V ↔ βˆͺ ({π‘Œ} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))) ∈ V)
116114, 115sylibr 233 . . . 4 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ ({π‘Œ} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))) ∈ V)
1171163ad2ant2 1135 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ ({π‘Œ} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))) ∈ V)
11861, 111, 112ordtval 22693 . . . 4 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ (ordTopβ€˜π‘†) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({π‘Œ} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))))))
1191183ad2ant2 1135 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ (ordTopβ€˜π‘†) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({π‘Œ} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))))))
12061ordttopon 22697 . . . 4 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ (ordTopβ€˜π‘†) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
1211203ad2ant2 1135 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ (ordTopβ€˜π‘†) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
1229, 117, 119, 121subbascn 22758 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜π‘…) Cn (ordTopβ€˜π‘†)) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ({π‘Œ} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})))(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…))))
1234, 110, 122mpbir2and 712 1 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ 𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜π‘…) Cn (ordTopβ€˜π‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544   Isom wiso 6545  (class class class)co 7409  ficfi 9405  topGenctg 17383  ordTopcordt 17445  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-fin 8943  df-fi 9406  df-topgen 17389  df-ordt 17447  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cn 22731
This theorem is referenced by:  ordthmeo  23306  xrmulc1cn  32910
  Copyright terms: Public domain W3C validator