MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordthmeolem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ordthmeolem 23627
Description: Lemma for ordthmeo 23628. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordthmeo.1 𝑋 = dom 𝑅
ordthmeo.2 π‘Œ = dom 𝑆
Assertion
Ref Expression
ordthmeolem ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ 𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜π‘…) Cn (ordTopβ€˜π‘†)))
Proof of Theorem ordthmeolem
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isof1o 7312 . . . 4 (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ) β†’ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ)
213ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ)
3 f1of 6823 . . 3 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
42, 3syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
5 fimacnv 6729 . . . . . . 7 (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ (◑𝐹 β€œ π‘Œ) = 𝑋)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘Œ) = 𝑋)
7 ordthmeo.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = dom 𝑅
87ordttopon 23019 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (ordTopβ€˜π‘…) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
983ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ (ordTopβ€˜π‘…) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
10 toponmax 22750 . . . . . . 7 ((ordTopβ€˜π‘…) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
119, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
126, 11eqeltrd 2825 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘Œ) ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
13 elsni 4637 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {π‘Œ} β†’ 𝑧 = π‘Œ)
1413imaeq2d 6049 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {π‘Œ} β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) = (◑𝐹 β€œ π‘Œ))
1514eleq1d 2810 . . . . 5 (𝑧 ∈ {π‘Œ} β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…) ↔ (◑𝐹 β€œ π‘Œ) ∈ (ordTopβ€˜π‘…)))
1612, 15syl5ibrcom 246 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ (𝑧 ∈ {π‘Œ} β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…)))
1716ralrimiv 3137 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ {π‘Œ} (◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
18 cnvimass 6070 . . . . . . . . . 10 (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βŠ† dom 𝐹
19 f1odm 6827 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
202, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
2120adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
2218, 21sseqtrid 4026 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βŠ† 𝑋)
23 sseqin2 4207 . . . . . . . . 9 ((◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βŠ† 𝑋 ↔ (𝑋 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯})) = (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}))
2422, 23sylib 217 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯})) = (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}))
252ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ)
26 f1ofn 6824 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
28 elpreima 7049 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯})))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯})))
30 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
3130biantrurd 532 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯} ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯})))
324adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
3332ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Œ)
34 breq1 5141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (𝑦𝑆π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘§)𝑆π‘₯))
3534notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (Β¬ 𝑦𝑆π‘₯ ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘§)𝑆π‘₯))
3635elrab3 3676 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Œ β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯} ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘§)𝑆π‘₯))
3733, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯} ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘§)𝑆π‘₯))
38 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ))
39 f1ocnv 6835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋)
40 f1of 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 β†’ ◑𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
412, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ ◑𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
4241ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)
4342adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)
44 isorel 7315 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝑅(β—‘πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘§)𝑆(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯))))
4538, 30, 43, 44syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧𝑅(β—‘πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘§)𝑆(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯))))
46 f1ocnvfv2 7267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) = π‘₯)
472, 46sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) = π‘₯)
4847adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) = π‘₯)
4948breq2d 5150 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝑆(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (πΉβ€˜π‘§)𝑆π‘₯))
5045, 49bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧𝑅(β—‘πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘§)𝑆π‘₯))
5150notbid 318 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (Β¬ 𝑧𝑅(β—‘πΉβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘§)𝑆π‘₯))
5237, 51bitr4d 282 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯} ↔ Β¬ 𝑧𝑅(β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
5329, 31, 523bitr2d 307 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) ↔ Β¬ 𝑧𝑅(β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
5453rabbi2dva 4209 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯})) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅(β—‘πΉβ€˜π‘₯)})
5524, 54eqtr3d 2766 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅(β—‘πΉβ€˜π‘₯)})
56 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
577ordtopn1 23020 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅(β—‘πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
5856, 42, 57syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅(β—‘πΉβ€˜π‘₯)} ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
5955, 58eqeltrd 2825 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
6059ralrimiva 3138 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
61 ordthmeo.2 . . . . . . . . . 10 π‘Œ = dom 𝑆
62 dmexg 7887 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ dom 𝑆 ∈ V)
6361, 62eqeltrid 2829 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ π‘Œ ∈ V)
64633ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ V)
65 rabexg 5321 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ V β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯} ∈ V)
6664, 65syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯} ∈ V)
6766ralrimivw 3142 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯} ∈ V)
68 eqid 2724 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯})
69 imaeq2 6045 . . . . . . . 8 (𝑧 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯} β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) = (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}))
7069eleq1d 2810 . . . . . . 7 (𝑧 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯} β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…) ↔ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) ∈ (ordTopβ€˜π‘…)))
7168, 70ralrnmptw 7085 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯} ∈ V β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯})(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) ∈ (ordTopβ€˜π‘…)))
7267, 71syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯})(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) ∈ (ordTopβ€˜π‘…)))
7360, 72mpbird 257 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯})(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
74 cnvimass 6070 . . . . . . . . . 10 (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) βŠ† dom 𝐹
7574, 21sseqtrid 4026 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) βŠ† 𝑋)
76 sseqin2 4207 . . . . . . . . 9 ((◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) βŠ† 𝑋 ↔ (𝑋 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})) = (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))
7775, 76sylib 217 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})) = (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))
78 elpreima 7049 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})))
7927, 78syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})))
8030biantrurd 532 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦} ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})))
81 breq2 5142 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (π‘₯𝑆𝑦 ↔ π‘₯𝑆(πΉβ€˜π‘§)))
8281notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (Β¬ π‘₯𝑆𝑦 ↔ Β¬ π‘₯𝑆(πΉβ€˜π‘§)))
8382elrab3 3676 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Œ β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦} ↔ Β¬ π‘₯𝑆(πΉβ€˜π‘§)))
8433, 83syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦} ↔ Β¬ π‘₯𝑆(πΉβ€˜π‘§)))
85 isorel 7315 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ) ∧ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯)𝑅𝑧 ↔ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯))𝑆(πΉβ€˜π‘§)))
8638, 43, 30, 85syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯)𝑅𝑧 ↔ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯))𝑆(πΉβ€˜π‘§)))
8748breq1d 5148 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯))𝑆(πΉβ€˜π‘§) ↔ π‘₯𝑆(πΉβ€˜π‘§)))
8886, 87bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯)𝑅𝑧 ↔ π‘₯𝑆(πΉβ€˜π‘§)))
8988notbid 318 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)𝑅𝑧 ↔ Β¬ π‘₯𝑆(πΉβ€˜π‘§)))
9084, 89bitr4d 282 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦} ↔ Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)𝑅𝑧))
9179, 80, 903bitr2d 307 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) ↔ Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)𝑅𝑧))
9291rabbi2dva 4209 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)𝑅𝑧})
9377, 92eqtr3d 2766 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)𝑅𝑧})
947ordtopn2 23021 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)𝑅𝑧} ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
9556, 42, 94syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ (β—‘πΉβ€˜π‘₯)𝑅𝑧} ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
9693, 95eqeltrd 2825 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
9796ralrimiva 3138 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
98 rabexg 5321 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ V β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦} ∈ V)
9964, 98syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦} ∈ V)
10099ralrimivw 3142 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦} ∈ V)
101 eqid 2724 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})
102 imaeq2 6045 . . . . . . . 8 (𝑧 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦} β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑧) = (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))
103102eleq1d 2810 . . . . . . 7 (𝑧 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦} β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…) ↔ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) ∈ (ordTopβ€˜π‘…)))
104101, 103ralrnmptw 7085 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦} ∈ V β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) ∈ (ordTopβ€˜π‘…)))
105100, 104syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ (◑𝐹 β€œ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) ∈ (ordTopβ€˜π‘…)))
10697, 105mpbird 257 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
107 ralunb 4183 . . . 4 (βˆ€π‘§ ∈ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯})(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…)))
10873, 106, 107sylanbrc 582 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
109 ralunb 4183 . . 3 (βˆ€π‘§ ∈ ({π‘Œ} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})))(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ {π‘Œ} (◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…)))
11017, 108, 109sylanbrc 582 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ({π‘Œ} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})))(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
111 eqid 2724 . . . . . . 7 ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) = ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯})
112 eqid 2724 . . . . . . 7 ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}) = ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})
11361, 111, 112ordtuni 23016 . . . . . 6 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ π‘Œ = βˆͺ ({π‘Œ} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))))
114113, 63eqeltrrd 2826 . . . . 5 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ βˆͺ ({π‘Œ} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))) ∈ V)
115 uniexb 7744 . . . . 5 (({π‘Œ} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))) ∈ V ↔ βˆͺ ({π‘Œ} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))) ∈ V)
116114, 115sylibr 233 . . . 4 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ ({π‘Œ} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))) ∈ V)
1171163ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ ({π‘Œ} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))) ∈ V)
11861, 111, 112ordtval 23015 . . . 4 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ (ordTopβ€˜π‘†) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({π‘Œ} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))))))
1191183ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ (ordTopβ€˜π‘†) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({π‘Œ} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦}))))))
12061ordttopon 23019 . . . 4 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ (ordTopβ€˜π‘†) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
1211203ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ (ordTopβ€˜π‘†) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
1229, 117, 119, 121subbascn 23080 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜π‘…) Cn (ordTopβ€˜π‘†)) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ({π‘Œ} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ 𝑦𝑆π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ Β¬ π‘₯𝑆𝑦})))(◑𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (ordTopβ€˜π‘…))))
1234, 110, 122mpbir2and 710 1 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ 𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜π‘…) Cn (ordTopβ€˜π‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  {crab 3424  Vcvv 3466   βˆͺ cun 3938   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  {csn 4620  βˆͺ cuni 4899   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  β—‘ccnv 5665  dom cdm 5666  ran crn 5667   β€œ cima 5669   Fn wfn 6528  βŸΆwf 6529  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6532  β€˜cfv 6533   Isom wiso 6534  (class class class)co 7401  ficfi 9401  topGenctg 17382  ordTopcordt 17444  TopOnctopon 22734   Cn ccn 23050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-fin 8939  df-fi 9402  df-topgen 17388  df-ordt 17446  df-top 22718  df-topon 22735  df-bases 22771  df-cn 23053
This theorem is referenced by:  ordthmeo  23628  xrmulc1cn  33399
  Copyright terms: Public domain W3C validator