MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ussid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ussid 24087
Description: In case the base of the UnifSt element of the uniform space is the base of its element structure, then UnifSt does not restrict it further. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ussval.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
ussval.2 π‘ˆ = (UnifSetβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ussid ((𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ π‘ˆ β†’ π‘ˆ = (UnifStβ€˜π‘Š))
Proof of Theorem ussid
StepHypRef Expression
1 oveq2 7409 . . 3 ((𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ π‘ˆ β†’ (π‘ˆ β†Ύt (𝐡 Γ— 𝐡)) = (π‘ˆ β†Ύt βˆͺ π‘ˆ))
2 id 22 . . . . . 6 ((𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ π‘ˆ β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ π‘ˆ)
3 ussval.1 . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
43fvexi 6895 . . . . . . 7 𝐡 ∈ V
54, 4xpex 7733 . . . . . 6 (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ V
62, 5eqeltrrdi 2834 . . . . 5 ((𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ π‘ˆ β†’ βˆͺ π‘ˆ ∈ V)
7 uniexb 7744 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ V ↔ βˆͺ π‘ˆ ∈ V)
86, 7sylibr 233 . . . 4 ((𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ π‘ˆ β†’ π‘ˆ ∈ V)
9 eqid 2724 . . . . 5 βˆͺ π‘ˆ = βˆͺ π‘ˆ
109restid 17378 . . . 4 (π‘ˆ ∈ V β†’ (π‘ˆ β†Ύt βˆͺ π‘ˆ) = π‘ˆ)
118, 10syl 17 . . 3 ((𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ π‘ˆ β†’ (π‘ˆ β†Ύt βˆͺ π‘ˆ) = π‘ˆ)
121, 11eqtr2d 2765 . 2 ((𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ π‘ˆ β†’ π‘ˆ = (π‘ˆ β†Ύt (𝐡 Γ— 𝐡)))
13 ussval.2 . . 3 π‘ˆ = (UnifSetβ€˜π‘Š)
143, 13ussval 24086 . 2 (π‘ˆ β†Ύt (𝐡 Γ— 𝐡)) = (UnifStβ€˜π‘Š)
1512, 14eqtrdi 2780 1 ((𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ π‘ˆ β†’ π‘ˆ = (UnifStβ€˜π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466  βˆͺ cuni 4899   Γ— cxp 5664  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17143  UnifSetcunif 17206   β†Ύt crest 17365  UnifStcuss 24080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-rest 17367  df-uss 24083
This theorem is referenced by:  tususs  24097  cnflduss  25206
  Copyright terms: Public domain W3C validator