MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ussid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ussid 23764
Description: In case the base of the UnifSt element of the uniform space is the base of its element structure, then UnifSt does not restrict it further. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ussval.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
ussval.2 π‘ˆ = (UnifSetβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ussid ((𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ π‘ˆ β†’ π‘ˆ = (UnifStβ€˜π‘Š))
Proof of Theorem ussid
StepHypRef Expression
1 oveq2 7416 . . 3 ((𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ π‘ˆ β†’ (π‘ˆ β†Ύt (𝐡 Γ— 𝐡)) = (π‘ˆ β†Ύt βˆͺ π‘ˆ))
2 id 22 . . . . . 6 ((𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ π‘ˆ β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ π‘ˆ)
3 ussval.1 . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
43fvexi 6905 . . . . . . 7 𝐡 ∈ V
54, 4xpex 7739 . . . . . 6 (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ V
62, 5eqeltrrdi 2842 . . . . 5 ((𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ π‘ˆ β†’ βˆͺ π‘ˆ ∈ V)
7 uniexb 7750 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ V ↔ βˆͺ π‘ˆ ∈ V)
86, 7sylibr 233 . . . 4 ((𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ π‘ˆ β†’ π‘ˆ ∈ V)
9 eqid 2732 . . . . 5 βˆͺ π‘ˆ = βˆͺ π‘ˆ
109restid 17378 . . . 4 (π‘ˆ ∈ V β†’ (π‘ˆ β†Ύt βˆͺ π‘ˆ) = π‘ˆ)
118, 10syl 17 . . 3 ((𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ π‘ˆ β†’ (π‘ˆ β†Ύt βˆͺ π‘ˆ) = π‘ˆ)
121, 11eqtr2d 2773 . 2 ((𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ π‘ˆ β†’ π‘ˆ = (π‘ˆ β†Ύt (𝐡 Γ— 𝐡)))
13 ussval.2 . . 3 π‘ˆ = (UnifSetβ€˜π‘Š)
143, 13ussval 23763 . 2 (π‘ˆ β†Ύt (𝐡 Γ— 𝐡)) = (UnifStβ€˜π‘Š)
1512, 14eqtrdi 2788 1 ((𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ π‘ˆ β†’ π‘ˆ = (UnifStβ€˜π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  βˆͺ cuni 4908   Γ— cxp 5674  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  UnifSetcunif 17206   β†Ύt crest 17365  UnifStcuss 23757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-rest 17367  df-uss 23760
This theorem is referenced by:  tususs  23774  cnflduss  24872
  Copyright terms: Public domain W3C validator