MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ussid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ussid 23635
Description: In case the base of the UnifSt element of the uniform space is the base of its element structure, then UnifSt does not restrict it further. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ussval.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
ussval.2 π‘ˆ = (UnifSetβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ussid ((𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ π‘ˆ β†’ π‘ˆ = (UnifStβ€˜π‘Š))

Proof of Theorem ussid
StepHypRef Expression
1 oveq2 7369 . . 3 ((𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ π‘ˆ β†’ (π‘ˆ β†Ύt (𝐡 Γ— 𝐡)) = (π‘ˆ β†Ύt βˆͺ π‘ˆ))
2 id 22 . . . . . 6 ((𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ π‘ˆ β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ π‘ˆ)
3 ussval.1 . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
43fvexi 6860 . . . . . . 7 𝐡 ∈ V
54, 4xpex 7691 . . . . . 6 (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ V
62, 5eqeltrrdi 2843 . . . . 5 ((𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ π‘ˆ β†’ βˆͺ π‘ˆ ∈ V)
7 uniexb 7702 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ V ↔ βˆͺ π‘ˆ ∈ V)
86, 7sylibr 233 . . . 4 ((𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ π‘ˆ β†’ π‘ˆ ∈ V)
9 eqid 2733 . . . . 5 βˆͺ π‘ˆ = βˆͺ π‘ˆ
109restid 17323 . . . 4 (π‘ˆ ∈ V β†’ (π‘ˆ β†Ύt βˆͺ π‘ˆ) = π‘ˆ)
118, 10syl 17 . . 3 ((𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ π‘ˆ β†’ (π‘ˆ β†Ύt βˆͺ π‘ˆ) = π‘ˆ)
121, 11eqtr2d 2774 . 2 ((𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ π‘ˆ β†’ π‘ˆ = (π‘ˆ β†Ύt (𝐡 Γ— 𝐡)))
13 ussval.2 . . 3 π‘ˆ = (UnifSetβ€˜π‘Š)
143, 13ussval 23634 . 2 (π‘ˆ β†Ύt (𝐡 Γ— 𝐡)) = (UnifStβ€˜π‘Š)
1512, 14eqtrdi 2789 1 ((𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ π‘ˆ β†’ π‘ˆ = (UnifStβ€˜π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447  βˆͺ cuni 4869   Γ— cxp 5635  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  UnifSetcunif 17151   β†Ύt crest 17310  UnifStcuss 23628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-rest 17312  df-uss 23631
This theorem is referenced by:  tususs  23645  cnflduss  24743
  Copyright terms: Public domain W3C validator