MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alexsubb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alexsubb 23557
Description: Biconditional form of the Alexander Subbase Theorem alexsub 23556. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
alexsubb ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ ((topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝑋,𝑦

Proof of Theorem alexsubb
Dummy variables 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . 5 βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅))
21iscmp 22899 . . . 4 ((topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) ∈ Comp ↔ ((topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅))(βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ 𝑦)))
32simprbi 497 . . 3 ((topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) ∈ Comp β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅))(βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ 𝑦))
4 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐡)
5 elex 3492 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ UFL β†’ 𝑋 ∈ V)
65adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ V)
74, 6eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ βˆͺ 𝐡 ∈ V)
8 uniexb 7753 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ V ↔ βˆͺ 𝐡 ∈ V)
97, 8sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ V)
10 fiuni 9425 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ V β†’ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ (fiβ€˜π΅))
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ (fiβ€˜π΅))
12 fibas 22487 . . . . . . . . 9 (fiβ€˜π΅) ∈ TopBases
13 unitg 22477 . . . . . . . . 9 ((fiβ€˜π΅) ∈ TopBases β†’ βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ (fiβ€˜π΅))
1412, 13mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ (fiβ€˜π΅))
1511, 4, 143eqtr4d 2782 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ 𝑋 = βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)))
1615eqeq1d 2734 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ (𝑋 = βˆͺ π‘₯ ↔ βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ π‘₯))
1715eqeq1d 2734 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑦 ↔ βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ 𝑦))
1817rexbidv 3178 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ 𝑦))
1916, 18imbi12d 344 . . . . 5 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦) ↔ (βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ 𝑦)))
2019ralbidv 3177 . . . 4 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅))(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅))(βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ 𝑦)))
21 ssfii 9416 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ V β†’ 𝐡 βŠ† (fiβ€˜π΅))
229, 21syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐡 βŠ† (fiβ€˜π΅))
23 bastg 22476 . . . . . . . 8 ((fiβ€˜π΅) ∈ TopBases β†’ (fiβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)))
2412, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 (fiβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅))
2522, 24sstrdi 3994 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐡 βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)))
2625sspwd 4615 . . . . 5 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ 𝒫 𝐡 βŠ† 𝒫 (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)))
27 ssralv 4050 . . . . 5 (𝒫 𝐡 βŠ† 𝒫 (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅))(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
2826, 27syl 17 . . . 4 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅))(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
2920, 28sylbird 259 . . 3 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅))(βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
303, 29syl5 34 . 2 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ ((topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) ∈ Comp β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
31 simpll 765 . . . 4 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)) β†’ 𝑋 ∈ UFL)
32 simplr 767 . . . 4 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐡)
33 eqidd 2733 . . . 4 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)))
34 velpw 4607 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑧 βŠ† 𝐡)
35 unieq 4919 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑧 β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆͺ 𝑧)
3635eqeq2d 2743 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝑋 = βˆͺ π‘₯ ↔ 𝑋 = βˆͺ 𝑧))
37 pweq 4616 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑧 β†’ 𝒫 π‘₯ = 𝒫 𝑧)
3837ineq1d 4211 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) = (𝒫 𝑧 ∩ Fin))
3938rexeqdv 3326 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦))
4036, 39imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦) ↔ (𝑋 = βˆͺ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
4140rspccv 3609 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
4241adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)) β†’ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
4334, 42biimtrrid 242 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)) β†’ (𝑧 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
4443imp32 419 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)) ∧ (𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)
45 unieq 4919 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑀 β†’ βˆͺ 𝑦 = βˆͺ 𝑀)
4645eqeq2d 2743 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑀 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑦 ↔ 𝑋 = βˆͺ 𝑀))
4746cbvrexvw 3235 . . . . 5 (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑀)
4844, 47sylib 217 . . . 4 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)) ∧ (𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑀)
4931, 32, 33, 48alexsub 23556 . . 3 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) ∈ Comp)
5049ex 413 . 2 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) ∈ Comp))
5130, 50impbid 211 1 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ ((topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908  β€˜cfv 6543  Fincfn 8941  ficfi 9407  topGenctg 17385  Topctop 22402  TopBasesctb 22455  Compccmp 22897  UFLcufl 23411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-fin 8945  df-fi 9408  df-topgen 17391  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-cmp 22898  df-fil 23357  df-ufil 23412  df-ufl 23413  df-flim 23450  df-fcls 23452
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator