MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alexsubb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alexsubb 23413
Description: Biconditional form of the Alexander Subbase Theorem alexsub 23412. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
alexsubb ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ ((topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝑋,𝑦

Proof of Theorem alexsubb
Dummy variables 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . 5 βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅))
21iscmp 22755 . . . 4 ((topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) ∈ Comp ↔ ((topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅))(βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ 𝑦)))
32simprbi 498 . . 3 ((topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) ∈ Comp β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅))(βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ 𝑦))
4 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐡)
5 elex 3462 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ UFL β†’ 𝑋 ∈ V)
65adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ V)
74, 6eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ βˆͺ 𝐡 ∈ V)
8 uniexb 7699 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ V ↔ βˆͺ 𝐡 ∈ V)
97, 8sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ V)
10 fiuni 9369 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ V β†’ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ (fiβ€˜π΅))
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ (fiβ€˜π΅))
12 fibas 22343 . . . . . . . . 9 (fiβ€˜π΅) ∈ TopBases
13 unitg 22333 . . . . . . . . 9 ((fiβ€˜π΅) ∈ TopBases β†’ βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ (fiβ€˜π΅))
1412, 13mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ (fiβ€˜π΅))
1511, 4, 143eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ 𝑋 = βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)))
1615eqeq1d 2735 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ (𝑋 = βˆͺ π‘₯ ↔ βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ π‘₯))
1715eqeq1d 2735 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑦 ↔ βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ 𝑦))
1817rexbidv 3172 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ 𝑦))
1916, 18imbi12d 345 . . . . 5 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦) ↔ (βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ 𝑦)))
2019ralbidv 3171 . . . 4 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅))(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅))(βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ 𝑦)))
21 ssfii 9360 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ V β†’ 𝐡 βŠ† (fiβ€˜π΅))
229, 21syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐡 βŠ† (fiβ€˜π΅))
23 bastg 22332 . . . . . . . 8 ((fiβ€˜π΅) ∈ TopBases β†’ (fiβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)))
2412, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 (fiβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅))
2522, 24sstrdi 3957 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐡 βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)))
2625sspwd 4574 . . . . 5 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ 𝒫 𝐡 βŠ† 𝒫 (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)))
27 ssralv 4011 . . . . 5 (𝒫 𝐡 βŠ† 𝒫 (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅))(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
2826, 27syl 17 . . . 4 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅))(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
2920, 28sylbird 260 . . 3 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅))(βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
303, 29syl5 34 . 2 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ ((topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) ∈ Comp β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
31 simpll 766 . . . 4 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)) β†’ 𝑋 ∈ UFL)
32 simplr 768 . . . 4 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐡)
33 eqidd 2734 . . . 4 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)))
34 velpw 4566 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑧 βŠ† 𝐡)
35 unieq 4877 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑧 β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆͺ 𝑧)
3635eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝑋 = βˆͺ π‘₯ ↔ 𝑋 = βˆͺ 𝑧))
37 pweq 4575 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑧 β†’ 𝒫 π‘₯ = 𝒫 𝑧)
3837ineq1d 4172 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) = (𝒫 𝑧 ∩ Fin))
3938rexeqdv 3313 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦))
4036, 39imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦) ↔ (𝑋 = βˆͺ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
4140rspccv 3577 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
4241adantl 483 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)) β†’ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
4334, 42biimtrrid 242 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)) β†’ (𝑧 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
4443imp32 420 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)) ∧ (𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)
45 unieq 4877 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑀 β†’ βˆͺ 𝑦 = βˆͺ 𝑀)
4645eqeq2d 2744 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑀 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑦 ↔ 𝑋 = βˆͺ 𝑀))
4746cbvrexvw 3225 . . . . 5 (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑀)
4844, 47sylib 217 . . . 4 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)) ∧ (𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑀)
4931, 32, 33, 48alexsub 23412 . . 3 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) ∈ Comp)
5049ex 414 . 2 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) ∈ Comp))
5130, 50impbid 211 1 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ ((topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  π’« cpw 4561  βˆͺ cuni 4866  β€˜cfv 6497  Fincfn 8886  ficfi 9351  topGenctg 17324  Topctop 22258  TopBasesctb 22311  Compccmp 22753  UFLcufl 23267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-fin 8890  df-fi 9352  df-topgen 17330  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-cmp 22754  df-fil 23213  df-ufil 23268  df-ufl 23269  df-flim 23306  df-fcls 23308
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator