MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alexsubb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alexsubb 23550
Description: Biconditional form of the Alexander Subbase Theorem alexsub 23549. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
alexsubb ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ ((topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝑋,𝑦

Proof of Theorem alexsubb
Dummy variables 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . 5 βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅))
21iscmp 22892 . . . 4 ((topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) ∈ Comp ↔ ((topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅))(βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ 𝑦)))
32simprbi 498 . . 3 ((topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) ∈ Comp β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅))(βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ 𝑦))
4 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐡)
5 elex 3493 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ UFL β†’ 𝑋 ∈ V)
65adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ V)
74, 6eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ βˆͺ 𝐡 ∈ V)
8 uniexb 7751 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ V ↔ βˆͺ 𝐡 ∈ V)
97, 8sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ V)
10 fiuni 9423 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ V β†’ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ (fiβ€˜π΅))
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ (fiβ€˜π΅))
12 fibas 22480 . . . . . . . . 9 (fiβ€˜π΅) ∈ TopBases
13 unitg 22470 . . . . . . . . 9 ((fiβ€˜π΅) ∈ TopBases β†’ βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ (fiβ€˜π΅))
1412, 13mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ (fiβ€˜π΅))
1511, 4, 143eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ 𝑋 = βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)))
1615eqeq1d 2735 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ (𝑋 = βˆͺ π‘₯ ↔ βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ π‘₯))
1715eqeq1d 2735 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑦 ↔ βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ 𝑦))
1817rexbidv 3179 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ 𝑦))
1916, 18imbi12d 345 . . . . 5 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ ((𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦) ↔ (βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ 𝑦)))
2019ralbidv 3178 . . . 4 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅))(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅))(βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ 𝑦)))
21 ssfii 9414 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ V β†’ 𝐡 βŠ† (fiβ€˜π΅))
229, 21syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐡 βŠ† (fiβ€˜π΅))
23 bastg 22469 . . . . . . . 8 ((fiβ€˜π΅) ∈ TopBases β†’ (fiβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)))
2412, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 (fiβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅))
2522, 24sstrdi 3995 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ 𝐡 βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)))
2625sspwd 4616 . . . . 5 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ 𝒫 𝐡 βŠ† 𝒫 (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)))
27 ssralv 4051 . . . . 5 (𝒫 𝐡 βŠ† 𝒫 (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅))(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
2826, 27syl 17 . . . 4 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅))(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
2920, 28sylbird 260 . . 3 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅))(βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = βˆͺ 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
303, 29syl5 34 . 2 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ ((topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) ∈ Comp β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
31 simpll 766 . . . 4 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)) β†’ 𝑋 ∈ UFL)
32 simplr 768 . . . 4 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐡)
33 eqidd 2734 . . . 4 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) = (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)))
34 velpw 4608 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑧 βŠ† 𝐡)
35 unieq 4920 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑧 β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆͺ 𝑧)
3635eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝑋 = βˆͺ π‘₯ ↔ 𝑋 = βˆͺ 𝑧))
37 pweq 4617 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑧 β†’ 𝒫 π‘₯ = 𝒫 𝑧)
3837ineq1d 4212 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) = (𝒫 𝑧 ∩ Fin))
3938rexeqdv 3327 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦))
4036, 39imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦) ↔ (𝑋 = βˆͺ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
4140rspccv 3610 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
4241adantl 483 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)) β†’ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
4334, 42biimtrrid 242 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)) β†’ (𝑧 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
4443imp32 420 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)) ∧ (𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)
45 unieq 4920 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑀 β†’ βˆͺ 𝑦 = βˆͺ 𝑀)
4645eqeq2d 2744 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑀 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑦 ↔ 𝑋 = βˆͺ 𝑀))
4746cbvrexvw 3236 . . . . 5 (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑀)
4844, 47sylib 217 . . . 4 ((((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)) ∧ (𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑀)
4931, 32, 33, 48alexsub 23549 . . 3 (((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) ∈ Comp)
5049ex 414 . 2 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) ∈ Comp))
5130, 50impbid 211 1 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐡) β†’ ((topGenβ€˜(fiβ€˜π΅)) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡(𝑋 = βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909  β€˜cfv 6544  Fincfn 8939  ficfi 9405  topGenctg 17383  Topctop 22395  TopBasesctb 22448  Compccmp 22890  UFLcufl 23404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-fin 8943  df-fi 9406  df-topgen 17389  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-cmp 22891  df-fil 23350  df-ufil 23405  df-ufl 23406  df-flim 23443  df-fcls 23445
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator