MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptbasin2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptbasin2 21709
Description: The basis for a product topology is closed under intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}
Assertion
Ref Expression
ptbasin2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → (fi‘𝐵) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝑦,𝑧,𝐴   𝑔,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑉,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem ptbasin2
Dummy variables 𝑘 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptbas.1 . . . 4 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}
21ptbasin 21708 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) → (𝑢𝑣) ∈ 𝐵)
32ralrimivva 3153 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → ∀𝑢𝐵𝑣𝐵 (𝑢𝑣) ∈ 𝐵)
41ptuni2 21707 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = 𝐵)
5 ixpexg 8173 . . . . . 6 (∀𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ V → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ V)
6 fvex 6425 . . . . . . . 8 (𝐹𝑘) ∈ V
76uniex 7188 . . . . . . 7 (𝐹𝑘) ∈ V
87a1i 11 . . . . . 6 (𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ V)
95, 8mprg 3108 . . . . 5 X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ V
104, 9syl6eqelr 2888 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → 𝐵 ∈ V)
11 uniexb 7207 . . . 4 (𝐵 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V)
1210, 11sylibr 226 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → 𝐵 ∈ V)
13 inficl 8574 . . 3 (𝐵 ∈ V → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵 (𝑢𝑣) ∈ 𝐵 ↔ (fi‘𝐵) = 𝐵))
1412, 13syl 17 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵 (𝑢𝑣) ∈ 𝐵 ↔ (fi‘𝐵) = 𝐵))
153, 14mpbid 224 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → (fi‘𝐵) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wex 1875  wcel 2157  {cab 2786  wral 3090  wrex 3091  Vcvv 3386  cdif 3767  cin 3769   cuni 4629   Fn wfn 6097  wf 6098  cfv 6102  Xcixp 8149  Fincfn 8196  ficfi 8559  Topctop 21025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-oadd 7804  df-er 7983  df-ixp 8150  df-en 8197  df-fin 8200  df-fi 8560  df-top 21026
This theorem is referenced by:  ptbas  21710  ptbasfi  21712
  Copyright terms: Public domain W3C validator