MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptbasin2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptbasin2 21874
Description: The basis for a product topology is closed under intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}
Assertion
Ref Expression
ptbasin2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → (fi‘𝐵) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝑦,𝑧,𝐴   𝑔,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑉,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem ptbasin2
Dummy variables 𝑘 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptbas.1 . . . 4 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}
21ptbasin 21873 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) → (𝑢𝑣) ∈ 𝐵)
32ralrimivva 3160 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → ∀𝑢𝐵𝑣𝐵 (𝑢𝑣) ∈ 𝐵)
41ptuni2 21872 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = 𝐵)
5 ixpexg 8341 . . . . . 6 (∀𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ V → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ V)
6 fvex 6558 . . . . . . . 8 (𝐹𝑘) ∈ V
76uniex 7330 . . . . . . 7 (𝐹𝑘) ∈ V
87a1i 11 . . . . . 6 (𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ V)
95, 8mprg 3121 . . . . 5 X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ V
104, 9syl6eqelr 2894 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → 𝐵 ∈ V)
11 uniexb 7350 . . . 4 (𝐵 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V)
1210, 11sylibr 235 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → 𝐵 ∈ V)
13 inficl 8742 . . 3 (𝐵 ∈ V → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵 (𝑢𝑣) ∈ 𝐵 ↔ (fi‘𝐵) = 𝐵))
1412, 13syl 17 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵 (𝑢𝑣) ∈ 𝐵 ↔ (fi‘𝐵) = 𝐵))
153, 14mpbid 233 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → (fi‘𝐵) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wex 1765  wcel 2083  {cab 2777  wral 3107  wrex 3108  Vcvv 3440  cdif 3862  cin 3864   cuni 4751   Fn wfn 6227  wf 6228  cfv 6232  Xcixp 8317  Fincfn 8364  ficfi 8727  Topctop 21189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-ixp 8318  df-en 8365  df-fin 8368  df-fi 8728  df-top 21190
This theorem is referenced by:  ptbas  21875  ptbasfi  21877
  Copyright terms: Public domain W3C validator