MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptbasin2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptbasin2 23510
Description: The basis for a product topology is closed under intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1 𝐡 = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}
Assertion
Ref Expression
ptbasin2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ (fiβ€˜π΅) = 𝐡)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑔,𝑦,𝑧,𝐴   𝑔,𝐹,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑔,𝑉,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem ptbasin2
Dummy variables π‘˜ 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptbas.1 . . . 4 𝐡 = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}
21ptbasin 23509 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑒 ∩ 𝑣) ∈ 𝐡)
32ralrimivva 3198 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 (𝑒 ∩ 𝑣) ∈ 𝐡)
41ptuni2 23508 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ 𝐡)
5 ixpexg 8949 . . . . . 6 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ V β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ V)
6 fvex 6915 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ V
76uniex 7754 . . . . . . 7 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ V
87a1i 11 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ V)
95, 8mprg 3064 . . . . 5 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ V
104, 9eqeltrrdi 2838 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ βˆͺ 𝐡 ∈ V)
11 uniexb 7774 . . . 4 (𝐡 ∈ V ↔ βˆͺ 𝐡 ∈ V)
1210, 11sylibr 233 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ 𝐡 ∈ V)
13 inficl 9458 . . 3 (𝐡 ∈ V β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 (𝑒 ∩ 𝑣) ∈ 𝐡 ↔ (fiβ€˜π΅) = 𝐡))
1412, 13syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 (𝑒 ∩ 𝑣) ∈ 𝐡 ↔ (fiβ€˜π΅) = 𝐡))
153, 14mpbid 231 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ (fiβ€˜π΅) = 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  {cab 2705  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948  βˆͺ cuni 4912   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  Xcixp 8924  Fincfn 8972  ficfi 9443  Topctop 22823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-om 7879  df-1o 8495  df-er 8733  df-ixp 8925  df-en 8973  df-fin 8976  df-fi 9444  df-top 22824
This theorem is referenced by:  ptbas  23511  ptbasfi  23513
  Copyright terms: Public domain W3C validator