MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptbasin2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptbasin2 23437
Description: The basis for a product topology is closed under intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1 𝐡 = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}
Assertion
Ref Expression
ptbasin2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ (fiβ€˜π΅) = 𝐡)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑔,𝑦,𝑧,𝐴   𝑔,𝐹,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑔,𝑉,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem ptbasin2
Dummy variables π‘˜ 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptbas.1 . . . 4 𝐡 = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}
21ptbasin 23436 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑒 ∩ 𝑣) ∈ 𝐡)
32ralrimivva 3194 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 (𝑒 ∩ 𝑣) ∈ 𝐡)
41ptuni2 23435 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ 𝐡)
5 ixpexg 8918 . . . . . 6 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ V β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ V)
6 fvex 6898 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ V
76uniex 7728 . . . . . . 7 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ V
87a1i 11 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ V)
95, 8mprg 3061 . . . . 5 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ V
104, 9eqeltrrdi 2836 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ βˆͺ 𝐡 ∈ V)
11 uniexb 7748 . . . 4 (𝐡 ∈ V ↔ βˆͺ 𝐡 ∈ V)
1210, 11sylibr 233 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ 𝐡 ∈ V)
13 inficl 9422 . . 3 (𝐡 ∈ V β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 (𝑒 ∩ 𝑣) ∈ 𝐡 ↔ (fiβ€˜π΅) = 𝐡))
1412, 13syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 (𝑒 ∩ 𝑣) ∈ 𝐡 ↔ (fiβ€˜π΅) = 𝐡))
153, 14mpbid 231 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ (fiβ€˜π΅) = 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  {cab 2703  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   ∩ cin 3942  βˆͺ cuni 4902   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  Xcixp 8893  Fincfn 8941  ficfi 9407  Topctop 22750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7853  df-1o 8467  df-er 8705  df-ixp 8894  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-top 22751
This theorem is referenced by:  ptbas  23438  ptbasfi  23440
  Copyright terms: Public domain W3C validator