Theorem ixpexg 8941

Description: The existence of an infinite Cartesian product. 𝑥 is normally a free-variable parameter in 𝐵. Remark in Enderton p. 54. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ixpexg	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ixpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniixp 8940	. . . 4 ⊢ ∪ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝐴 × ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
2		iunexg 7967	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
3		xpexg 7749	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ V)
4	2, 3	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 × ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ V)
5		ssexg 5298	. . . 4 ⊢ ((∪ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝐴 × ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 × ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ V) → ∪ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
6	1, 4, 5	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) → ∪ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
7		uniexb 7763	. . 3 ⊢ (X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V ↔ ∪ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
8	6, 7	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
9		ixpprc 8938	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∅)
10		0ex 5282	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
11	9, 10	eqeltrdi 2843	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
12	11	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
13	8, 12	pm2.61ian 811	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  ∪ cuni 4888  ∪ ciun 4972   × cxp 5657  Xcixp 8916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ixp 8917

This theorem is referenced by:  konigthlem  10587  prdsbasex  17469  isfunc  17882  isnat  17968  natffn  17970  dmdprd  19986  dprdval  19991  elpt  23515  ptbasin2  23521  ptbasfi  23524  ptrest  37648  upixp  37758  hspval  46605  hspmbl  46625  vonioolem2  46677  vonicclem2  46680