MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixpexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixpexg 8781
Description: The existence of an infinite Cartesian product. 𝑥 is normally a free-variable parameter in 𝐵. Remark in Enderton p. 54. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
ixpexg (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ixpexg
StepHypRef Expression
1 uniixp 8780 . . . 4 X𝑥𝐴 𝐵 ⊆ (𝐴 × 𝑥𝐴 𝐵)
2 iunexg 7874 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
3 xpexg 7662 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝑥𝐴 𝐵) ∈ V)
42, 3syldan 591 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → (𝐴 × 𝑥𝐴 𝐵) ∈ V)
5 ssexg 5267 . . . 4 (( X𝑥𝐴 𝐵 ⊆ (𝐴 × 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 × 𝑥𝐴 𝐵) ∈ V) → X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
61, 4, 5sylancr 587 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
7 uniexb 7676 . . 3 (X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V ↔ X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
86, 7sylibr 233 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
9 ixpprc 8778 . . . 4 𝐴 ∈ V → X𝑥𝐴 𝐵 = ∅)
10 0ex 5251 . . . 4 ∅ ∈ V
119, 10eqeltrdi 2845 . . 3 𝐴 ∈ V → X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
1211adantr 481 . 2 ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
138, 12pm2.61ian 809 1 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wcel 2105  wral 3061  Vcvv 3441  wss 3898  c0 4269   cuni 4852   ciun 4941   × cxp 5618  Xcixp 8756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-fv 6487  df-ixp 8757
This theorem is referenced by:  konigthlem  10425  prdsbasex  17258  isfunc  17676  isnat  17760  natffn  17762  dmdprd  19696  dprdval  19701  elpt  22829  ptbasin2  22835  ptbasfi  22838  ptrest  35889  upixp  36000  hspval  44492  hspmbl  44512  vonioolem2  44564  vonicclem2  44567
  Copyright terms: Public domain W3C validator