MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixpexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixpexg 8916
Description: The existence of an infinite Cartesian product. 𝑥 is normally a free-variable parameter in 𝐵. Remark in Enderton p. 54. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
ixpexg (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ixpexg
StepHypRef Expression
1 uniixp 8915 . . . 4 X𝑥𝐴 𝐵 ⊆ (𝐴 × 𝑥𝐴 𝐵)
2 iunexg 7950 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
3 xpexg 7737 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝑥𝐴 𝐵) ∈ V)
42, 3syldan 592 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → (𝐴 × 𝑥𝐴 𝐵) ∈ V)
5 ssexg 5324 . . . 4 (( X𝑥𝐴 𝐵 ⊆ (𝐴 × 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 × 𝑥𝐴 𝐵) ∈ V) → X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
61, 4, 5sylancr 588 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
7 uniexb 7751 . . 3 (X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V ↔ X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
86, 7sylibr 233 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
9 ixpprc 8913 . . . 4 𝐴 ∈ V → X𝑥𝐴 𝐵 = ∅)
10 0ex 5308 . . . 4 ∅ ∈ V
119, 10eqeltrdi 2842 . . 3 𝐴 ∈ V → X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
1211adantr 482 . 2 ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
138, 12pm2.61ian 811 1 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  wcel 2107  wral 3062  Vcvv 3475  wss 3949  c0 4323   cuni 4909   ciun 4998   × cxp 5675  Xcixp 8891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ixp 8892
This theorem is referenced by:  konigthlem  10563  prdsbasex  17396  isfunc  17814  isnat  17898  natffn  17900  dmdprd  19868  dprdval  19873  elpt  23076  ptbasin2  23082  ptbasfi  23085  ptrest  36487  upixp  36597  hspval  45325  hspmbl  45345  vonioolem2  45397  vonicclem2  45400
  Copyright terms: Public domain W3C validator