Theorem unialeph 10061

Description: The union of the class of transfinite cardinals (the range of the aleph function) is the class of ordinal numbers. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
unialeph	⊢ ∪ ran ℵ = On

Proof of Theorem unialeph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephprc 10059	. . . 4 ⊢ ¬ ran ℵ ∈ V
2		uniexb 7743	. . . 4 ⊢ (ran ℵ ∈ V ↔ ∪ ran ℵ ∈ V)
3	1, 2	mtbi 322	. . 3 ⊢ ¬ ∪ ran ℵ ∈ V
4		elex 3471	. . 3 ⊢ (∪ ran ℵ ∈ On → ∪ ran ℵ ∈ V)
5	3, 4	mto 197	. 2 ⊢ ¬ ∪ ran ℵ ∈ On
6		alephsson 10060	. . . 4 ⊢ ran ℵ ⊆ On
7		ssorduni 7758	. . . 4 ⊢ (ran ℵ ⊆ On → Ord ∪ ran ℵ)
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Ord ∪ ran ℵ
9		ordeleqon 7761	. . 3 ⊢ (Ord ∪ ran ℵ ↔ (∪ ran ℵ ∈ On ∨ ∪ ran ℵ = On))
10	8, 9	mpbi 230	. 2 ⊢ (∪ ran ℵ ∈ On ∨ ∪ ran ℵ = On)
11	5, 10	mtpor 1770	1 ⊢ ∪ ran ℵ = On

Syntax hints:   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  ∪ cuni 4874  ran crn 5642  Ord word 6334  Oncon0 6335  ℵcale 9896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-oi 9470  df-har 9517  df-card 9899  df-aleph 9900

This theorem is referenced by: (None)