Theorem unialeph 10097

Description: The union of the class of transfinite cardinals (the range of the aleph function) is the class of ordinal numbers. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
unialeph	⊢ ∪ ran ℵ = On

Proof of Theorem unialeph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephprc 10095	. . . 4 ⊢ ¬ ran ℵ ∈ V
2		uniexb 7765	. . . 4 ⊢ (ran ℵ ∈ V ↔ ∪ ran ℵ ∈ V)
3	1, 2	mtbi 325	. . 3 ⊢ ¬ ∪ ran ℵ ∈ V
4		elex 3478	. . 3 ⊢ (∪ ran ℵ ∈ On → ∪ ran ℵ ∈ V)
5	3, 4	mto 200	. 2 ⊢ ¬ ∪ ran ℵ ∈ On
6		alephsson 10096	. . . 4 ⊢ ran ℵ ⊆ On
7		ssorduni 7780	. . . 4 ⊢ (ran ℵ ⊆ On → Ord ∪ ran ℵ)
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Ord ∪ ran ℵ
9		ordeleqon 7783	. . 3 ⊢ (Ord ∪ ran ℵ ↔ (∪ ran ℵ ∈ On ∨ ∪ ran ℵ = On))
10	8, 9	mpbi 233	. 2 ⊢ (∪ ran ℵ ∈ On ∨ ∪ ran ℵ = On)
11	5, 10	mtpor 1803	1 ⊢ ∪ ran ℵ = On

This proof depends on syntax axioms:   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  ∪ cuni 4874  ran crn 5664  Ord word 6363  Oncon0 6364  ℵcale 9934

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-oi 9475  df-har 9522  df-card 9937  df-aleph 9938

This theorem is used by: (None)