Theorem unialeph 10050

Description: The union of the class of transfinite cardinals (the range of the aleph function) is the class of ordinal numbers. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
unialeph	⊢ ∪ ran ℵ = On

Proof of Theorem unialeph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephprc 10048	. . . 4 ⊢ ¬ ran ℵ ∈ V
2		uniexb 7741	. . . 4 ⊢ (ran ℵ ∈ V ↔ ∪ ran ℵ ∈ V)
3	1, 2	mtbi 324	. . 3 ⊢ ¬ ∪ ran ℵ ∈ V
4		elex 3474	. . 3 ⊢ (∪ ran ℵ ∈ On → ∪ ran ℵ ∈ V)
5	3, 4	mto 199	. 2 ⊢ ¬ ∪ ran ℵ ∈ On
6		alephsson 10049	. . . 4 ⊢ ran ℵ ⊆ On
7		ssorduni 7756	. . . 4 ⊢ (ran ℵ ⊆ On → Ord ∪ ran ℵ)
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Ord ∪ ran ℵ
9		ordeleqon 7759	. . 3 ⊢ (Ord ∪ ran ℵ ↔ (∪ ran ℵ ∈ On ∨ ∪ ran ℵ = On))
10	8, 9	mpbi 232	. 2 ⊢ (∪ ran ℵ ∈ On ∨ ∪ ran ℵ = On)
11	5, 10	mtpor 1789	1 ⊢ ∪ ran ℵ = On

Syntax hints:   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ∪ cuni 4862  ran crn 5644  Ord word 6339  Oncon0 6340  ℵcale 9887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-inf2 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-oi 9451  df-har 9498  df-card 9890  df-aleph 9891

This theorem is referenced by: (None)