MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgss2 22321
Description: A criterion for determining whether one topology is finer than another, based on a comparison of their bases. Lemma 2.2 of [Munkres] p. 80. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgss2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢) β†’ ((topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜πΆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π΅βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐡   π‘₯,𝐢,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑉,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem tgss2
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢) β†’ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢)
2 uniexg 7673 . . . . . 6 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ βˆͺ 𝐡 ∈ V)
32adantr 481 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢) β†’ βˆͺ 𝐡 ∈ V)
41, 3eqeltrrd 2839 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢) β†’ βˆͺ 𝐢 ∈ V)
5 uniexb 7694 . . . 4 (𝐢 ∈ V ↔ βˆͺ 𝐢 ∈ V)
64, 5sylibr 233 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ V)
7 tgss3 22320 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ V) β†’ ((topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜πΆ) ↔ 𝐡 βŠ† (topGenβ€˜πΆ)))
86, 7syldan 591 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢) β†’ ((topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜πΆ) ↔ 𝐡 βŠ† (topGenβ€˜πΆ)))
9 eltg2b 22293 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ V β†’ (𝑦 ∈ (topGenβ€˜πΆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)))
106, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢) β†’ (𝑦 ∈ (topGenβ€˜πΆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)))
11 elunii 4868 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡)
1211ancoms 459 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡)
13 biimt 360 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦) ↔ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))))
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦) ↔ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))))
1514ralbidva 3170 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))))
1610, 15sylan9bb 510 . . . . 5 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (topGenβ€˜πΆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))))
17 ralcom3 3098 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡(π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)))
1816, 17bitrdi 286 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (topGenβ€˜πΆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡(π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))))
1918ralbidva 3170 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 𝑦 ∈ (topGenβ€˜πΆ) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡(π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))))
20 dfss3 3930 . . 3 (𝐡 βŠ† (topGenβ€˜πΆ) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 𝑦 ∈ (topGenβ€˜πΆ))
21 ralcom 3270 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π΅βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡(π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)))
2219, 20, 213bitr4g 313 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢) β†’ (𝐡 βŠ† (topGenβ€˜πΆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π΅βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))))
238, 22bitrd 278 1 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢) β†’ ((topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜πΆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π΅βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3443   βŠ† wss 3908  βˆͺ cuni 4863  β€˜cfv 6493  topGenctg 17311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fv 6501  df-topgen 17317
This theorem is referenced by:  metss  23848  relowlssretop  35801  relowlpssretop  35802
  Copyright terms: Public domain W3C validator