Theorem alexsublem 24276

Description: Lemma for alexsub 24277. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
alexsub.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ UFL)
alexsub.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐵)
alexsub.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
alexsub.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦)
alexsub.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
alexsub.6	⊢ (𝜑 → (𝐽 fLim 𝐹) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
alexsublem	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem alexsublem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)))
2		alexsub.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
3	2	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↔ 𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵))))
4	3	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ (𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)))
5	4	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → (𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦))
6	5	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → (𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦))
7		tg2 23196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))
9		alexsub.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
10		ufilfil 24136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
12	11	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
13		alexsub.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐵)
14	9	elfvexd 6918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
15	13, 14	eqeltrrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 ∈ V)
16		uniexb 7767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐵 ∈ V ↔ ∪ 𝐵 ∈ V)
17	15, 16	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
18		elfi2 9388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = ∩ 𝑦))
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = ∩ 𝑦))
20	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = ∩ 𝑦))
21	11	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
22		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))
23		intss1 4926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → ∩ 𝑦 ⊆ 𝑧)
24	23	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → ∩ 𝑦 ⊆ 𝑧)
25		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)
26	24, 25	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑧)
27	26	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝑧)
28		eldifsn 4751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↔ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ≠ ∅))
29	28	simplbi 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
30	29	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
31		elfpw 9325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
32	31	simplbi 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐵)
33	30, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ 𝐵)
34	33	sselda 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐵)
35	34	anasss 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
36	35	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐹) → (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐹))
37		eldif 3912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐹) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐹))
38	36, 37	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐹))
39		elunii 4875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐹)) → 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))
40	27, 38, 39	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))
41	40	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (¬ 𝑧 ∈ 𝐹 → 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)))
42	22, 41	mt3d 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐹)
43	42	expr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝐹))
44	43	ssrdv 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ 𝐹)
45		eldifsni 4756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ≠ ∅)
46	45	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → 𝑦 ≠ ∅)
47		elinel2 4151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
48	30, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → 𝑦 ∈ Fin)
49		elfir 9389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐹 ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → ∩ 𝑦 ∈ (fi‘𝐹))
50	21, 44, 46, 48, 49	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → ∩ 𝑦 ∈ (fi‘𝐹))
51		filfi 24091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (fi‘𝐹) = 𝐹)
52	21, 51	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → (fi‘𝐹) = 𝐹)
53	50, 52	eleqtrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → ∩ 𝑦 ∈ 𝐹)
54	53	expr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑥 ∈ ∩ 𝑦 → ∩ 𝑦 ∈ 𝐹))
55		eleq2 2851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = ∩ 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦))
56		eleq1 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = ∩ 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝐹 ↔ ∩ 𝑦 ∈ 𝐹))
57	55, 56	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = ∩ 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ ∩ 𝑦 → ∩ 𝑦 ∈ 𝐹)))
58	54, 57	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧 = ∩ 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐹)))
59	58	rexlimdva 3165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → (∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = ∩ 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐹)))
60	20, 59	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐹)))
61	60	imp32 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐹)
62	61	adantrrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐹)
63	62	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐹)
64		elssuni 4902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐽 → 𝑦 ⊆ ∪ 𝐽)
65	64	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝐽)
66		fibas 23208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (fi‘𝐵) ∈ TopBases
67		tgtopon 23202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((fi‘𝐵) ∈ TopBases → (topGen‘(fi‘𝐵)) ∈ (TopOn‘∪ (fi‘𝐵)))
68	66, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∈ (TopOn‘∪ (fi‘𝐵))
69	2, 68	eqeltrdi 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ (fi‘𝐵)))
70		fiuni 9402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐵 ∈ V → ∪ 𝐵 = ∪ (fi‘𝐵))
71	17, 70	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = ∪ (fi‘𝐵))
72	13, 71	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ (fi‘𝐵))
73	72	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (TopOn‘𝑋) = (TopOn‘∪ (fi‘𝐵)))
74	69, 73	eleqtrrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
75		toponuni 23145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
76	74, 75	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
77	76	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
78	65, 77	sseqtrrd 3971	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
79	78	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
80		simprrr 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑧 ⊆ 𝑦)
81		filss 24085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐹)
82	12, 63, 79, 80, 81	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑦 ∈ 𝐹)
83	8, 82	rexlimddv 3171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐹)
84	83	expr 462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹))
85	84	ralrimiva 3156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹))
86	85	expr 462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹) → ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹)))
87	86	imdistanda 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹))))
88	1, 87	biimtrid 245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹))))
89		flimopn 24207	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹))))
90	74, 11, 89	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹))))
91	88, 90	sylibrd 262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) → 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)))
92	91	ssrdv 3940	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) ⊆ (𝐽 fLim 𝐹))
93		alexsub.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐽 fLim 𝐹) = ∅)
94		sseq0 4357	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) ⊆ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ (𝐽 fLim 𝐹) = ∅) → (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) = ∅)
95	92, 93, 94	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) = ∅)
96		ssdif0 4317	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹) ↔ (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) = ∅)
97	95, 96	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))
98		difss 4086	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵
99	98	unissi 4879	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ ∪ 𝐵
100	99, 13	sseqtrrid 3977	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝑋)
101	97, 100	eqssd 3951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))
102	101, 98	jctil 529	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)))
103	17	difexd 5300	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐹) ∈ V)
104	103	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → (𝐵 ∖ 𝐹) ∈ V)
105		sseq1 3959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵))
106		unieq 4881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → ∪ 𝑥 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))
107	106	eqeq2d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → (𝑋 = ∪ 𝑥 ↔ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)))
108	105, 107	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ 𝑥) ↔ ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))))
109	108	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ 𝑥)) ↔ (𝜑 ∧ ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)))))
110		pweq 4574	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → 𝒫 𝑥 = 𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹))
111	110	ineq1d 4168	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → (𝒫 𝑥 ∩ Fin) = (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin))
112	111	rexeqdv 3322	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦))
113	109, 112	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦)))
114		alexsub.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦)
115	113, 114	vtoclg 3520	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐹) ∈ V → ((𝜑 ∧ ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦))
116	104, 115	mpcom 39	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦)
117	102, 116	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦)
118		unieq 4881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ 𝑦 = ∪ ∅)
119		uni0 4899	. . . . . . 7 ⊢ ∪ ∅ = ∅
120	118, 119	eqtrdi 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ 𝑦 = ∅)
121	120	neeq2d 3017	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑋 ≠ ∪ 𝑦 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
122		difssd 4087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) → (𝑋 ∖ 𝑧) ⊆ 𝑋)
123	122	ralrimivw 3160	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) → ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) ⊆ 𝑋)
124		riinn0 5047	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) ⊆ 𝑋 ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧))
125	123, 124	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧))
126	14	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ V)
127	126	difexd 5300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 ∖ 𝑧) ∈ V)
128	127	ralrimivw 3160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) ∈ V)
129		dfiin2g 4993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) ∈ V → ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) = ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑦 𝑥 = (𝑋 ∖ 𝑧)})
130	128, 129	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) = ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑦 𝑥 = (𝑋 ∖ 𝑧)})
131		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧))
132	131	rnmpt 5945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) = {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑦 𝑥 = (𝑋 ∖ 𝑧)}
133	132	inteqi 4914	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∩ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑦 𝑥 = (𝑋 ∖ 𝑧)}
134	130, 133	eqtr4di 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) = ∩ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)))
135	125, 134	eqtrd 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∩ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)))
136	11	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
137		elfpw 9325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ (𝐵 ∖ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ Fin))
138	137	simplbi 502	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ (𝐵 ∖ 𝐹))
139	138	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ⊆ (𝐵 ∖ 𝐹))
140	139	sselda 3934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐹))
141	140	eldifbd 3915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐹)
142	9	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
143	139	difss2d 4089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ⊆ 𝐵)
144	143	sselda 3934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐵)
145		elssuni 4902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → 𝑧 ⊆ ∪ 𝐵)
146	144, 145	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ⊆ ∪ 𝐵)
147	13	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑋 = ∪ 𝐵)
148	146, 147	sseqtrrd 3971	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ⊆ 𝑋)
149		ufilb 24138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝑧 ∈ 𝐹 ↔ (𝑋 ∖ 𝑧) ∈ 𝐹))
150	142, 148, 149	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → (¬ 𝑧 ∈ 𝐹 ↔ (𝑋 ∖ 𝑧) ∈ 𝐹))
151	141, 150	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝑋 ∖ 𝑧) ∈ 𝐹)
152	151	fmpttd 7112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)):𝑦⟶𝐹)
153	152	frnd 6715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ⊆ 𝐹)
154	131, 151	dmmptd 6681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → dom (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) = 𝑦)
155		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ≠ ∅)
156	154, 155	eqnetrd 3024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → dom (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅)
157		dm0rn0 5912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∅ ↔ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∅)
158	157	necon3bii 3009	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dom (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅ ↔ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅)
159	156, 158	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅)
160		elinel2 4151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
161	160	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ∈ Fin)
162		abrexfi 9323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑦 𝑥 = (𝑋 ∖ 𝑧)} ∈ Fin)
163	132, 162	eqeltrid 2866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ∈ Fin)
164	161, 163	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ∈ Fin)
165		filintn0 24093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ⊆ 𝐹 ∧ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅ ∧ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ∈ Fin)) → ∩ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅)
166	136, 153, 159, 164, 165	syl13anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∩ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅)
167	135, 166	eqnetrd 3024	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅)
168		disj3 4410	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∅ ↔ 𝑋 = (𝑋 ∖ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)))
169	168	necon3bii 3009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ (𝑋 ∖ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)))
170	167, 169	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ (𝑋 ∖ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)))
171		iundif2 5036	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑧)) = (𝑋 ∖ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧))
172		dfss4 4218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑧)) = 𝑧)
173	148, 172	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑧)) = 𝑧)
174	173	iuneq2dv 4979	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
175		uniiun 5021	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑦 = ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧
176	174, 175	eqtr4di 2815	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∪ 𝑦)
177	171, 176	eqtr3id 2811	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 ∖ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∪ 𝑦)
178	170, 177	neeqtrd 3026	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∪ 𝑦)
179	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
180		filtop 24087	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
181		fileln0 24082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → 𝑋 ≠ ∅)
182	179, 180, 181	syl2anc2 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) → 𝑋 ≠ ∅)
183	121, 178, 182	pm2.61ne 3042	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) → 𝑋 ≠ ∪ 𝑦)
184	183	neneqd 2962	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) → ¬ 𝑋 = ∪ 𝑦)
185	184	nrexdv 3159	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦)
186	117, 185	pm2.65i 196	1 ⊢ ¬ 𝜑

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2740   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4587  ∪ cuni 4870  ∩ cint 4910  ∪ ciun 4954  ∩ ciin 4955   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5659  ran crn 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Fincfn 8956  ficfi 9384  topGenctg 17528  TopOnctopon 23141  TopBasesctb 23176  Filcfil 24077  UFilcufil 24131  UFLcufl 24132   fLim cflim 24166

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-1o 8459  df-2o 8460  df-en 8957  df-dom 8958  df-fin 8960  df-fi 9385  df-topgen 17534  df-fbas 21588  df-top 23125  df-topon 23142  df-bases 23177  df-ntr 23251  df-nei 23329  df-fil 24078  df-ufil 24133  df-flim 24171

This theorem is used by:  alexsub  24277