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Theorem alexsublem 23903
Description: Lemma for alexsub 23904. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
alexsub.1 (𝜑𝑋 ∈ UFL)
alexsub.2 (𝜑𝑋 = 𝐵)
alexsub.3 (𝜑𝐽 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
alexsub.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑋 = 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = 𝑦)
alexsub.5 (𝜑𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
alexsub.6 (𝜑 → (𝐽 fLim 𝐹) = ∅)
Assertion
Ref Expression
alexsublem ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem alexsublem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3953 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑋 (𝐵𝐹)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹)))
2 alexsub.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐽 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
32eleq2d 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑦𝐽𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵))))
43anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑦𝐽𝑥𝑦) ↔ (𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥𝑦)))
54biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → (𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥𝑦))
65adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → (𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥𝑦))
7 tg2 22823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥𝑦) → ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)(𝑥𝑧𝑧𝑦))
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)(𝑥𝑧𝑧𝑦))
9 alexsub.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
10 ufilfil 23763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
1211ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥𝑧𝑧𝑦))) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
13 alexsub.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑋 = 𝐵)
149elfvexd 6924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑋 ∈ V)
1513, 14eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 𝐵 ∈ V)
16 uniexb 7748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐵 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V)
1715, 16sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐵 ∈ V)
18 elfi2 9411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 ∈ V → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦))
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦))
2111ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
22 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) → ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))
23 intss1 4960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧𝑦 𝑦𝑧)
2423adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑦𝑧)
25 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑥 𝑦)
2624, 25sseldd 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑥𝑧)
2726ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) ∧ ¬ 𝑧𝐹) → 𝑥𝑧)
28 eldifsn 4785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↔ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ≠ ∅))
2928simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
3029ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
31 elfpw 9356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ (𝑦𝐵𝑦 ∈ Fin))
3231simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦𝐵)
3330, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦𝐵)
3433sselda 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧𝐵)
3534anasss 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑧𝐵)
3635anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) ∧ ¬ 𝑧𝐹) → (𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑧𝐹))
37 eldif 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ (𝐵𝐹) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑧𝐹))
3836, 37sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) ∧ ¬ 𝑧𝐹) → 𝑧 ∈ (𝐵𝐹))
39 elunii 4907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥𝑧𝑧 ∈ (𝐵𝐹)) → 𝑥 (𝐵𝐹))
4027, 38, 39syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) ∧ ¬ 𝑧𝐹) → 𝑥 (𝐵𝐹))
4140ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) → (¬ 𝑧𝐹𝑥 (𝐵𝐹)))
4222, 41mt3d 148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑧𝐹)
4342expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → (𝑧𝑦𝑧𝐹))
4443ssrdv 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦𝐹)
45 eldifsni 4788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ≠ ∅)
4645ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦 ≠ ∅)
47 elinel2 4191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
4830, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦 ∈ Fin)
49 elfir 9412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑦𝐹𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → 𝑦 ∈ (fi‘𝐹))
5021, 44, 46, 48, 49syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦 ∈ (fi‘𝐹))
51 filfi 23718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (fi‘𝐹) = 𝐹)
5221, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → (fi‘𝐹) = 𝐹)
5350, 52eleqtrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦𝐹)
5453expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑥 𝑦 𝑦𝐹))
55 eleq2 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥𝑧𝑥 𝑦))
56 eleq1 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝐹 𝑦𝐹))
5755, 56imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑥𝑧𝑧𝐹) ↔ (𝑥 𝑦 𝑦𝐹)))
5854, 57syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧 = 𝑦 → (𝑥𝑧𝑧𝐹)))
5958rexlimdva 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) → (∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦 → (𝑥𝑧𝑧𝐹)))
6020, 59sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) → (𝑥𝑧𝑧𝐹)))
6160imp32 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝑥𝑧)) → 𝑧𝐹)
6261adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥𝑧𝑧𝑦))) → 𝑧𝐹)
6362adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥𝑧𝑧𝑦))) → 𝑧𝐹)
64 elssuni 4934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝐽𝑦 𝐽)
6564ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑦 𝐽)
66 fibas 22835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (fi‘𝐵) ∈ TopBases
67 tgtopon 22829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((fi‘𝐵) ∈ TopBases → (topGen‘(fi‘𝐵)) ∈ (TopOn‘ (fi‘𝐵)))
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGen‘(fi‘𝐵)) ∈ (TopOn‘ (fi‘𝐵))
692, 68eqeltrdi 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ (fi‘𝐵)))
70 fiuni 9425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐵 ∈ V → 𝐵 = (fi‘𝐵))
7117, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 𝐵 = (fi‘𝐵))
7213, 71eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑋 = (fi‘𝐵))
7372fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (TopOn‘𝑋) = (TopOn‘ (fi‘𝐵)))
7469, 73eleqtrrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
75 toponuni 22771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋 = 𝐽)
7776ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑋 = 𝐽)
7865, 77sseqtrrd 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑦𝑋)
7978adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥𝑧𝑧𝑦))) → 𝑦𝑋)
80 simprrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥𝑧𝑧𝑦))) → 𝑧𝑦)
81 filss 23712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑧𝐹𝑦𝑋𝑧𝑦)) → 𝑦𝐹)
8212, 63, 79, 80, 81syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥𝑧𝑧𝑦))) → 𝑦𝐹)
838, 82rexlimddv 3155 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑦𝐹)
8483expr 456 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑥𝑦𝑦𝐹))
8584ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) → ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐹))
8685expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → (¬ 𝑥 (𝐵𝐹) → ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐹)))
8786imdistanda 571 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹)) → (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐹))))
881, 87biimtrid 241 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 (𝐵𝐹)) → (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐹))))
89 flimopn 23834 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐹))))
9074, 11, 89syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐹))))
9188, 90sylibrd 259 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 (𝐵𝐹)) → 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)))
9291ssrdv 3983 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 (𝐵𝐹)) ⊆ (𝐽 fLim 𝐹))
93 alexsub.6 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽 fLim 𝐹) = ∅)
94 sseq0 4394 . . . . . . 7 (((𝑋 (𝐵𝐹)) ⊆ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ (𝐽 fLim 𝐹) = ∅) → (𝑋 (𝐵𝐹)) = ∅)
9592, 93, 94syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 (𝐵𝐹)) = ∅)
96 ssdif0 4358 . . . . . 6 (𝑋 (𝐵𝐹) ↔ (𝑋 (𝐵𝐹)) = ∅)
9795, 96sylibr 233 . . . . 5 (𝜑𝑋 (𝐵𝐹))
98 difss 4126 . . . . . . 7 (𝐵𝐹) ⊆ 𝐵
9998unissi 4911 . . . . . 6 (𝐵𝐹) ⊆ 𝐵
10099, 13sseqtrrid 4030 . . . . 5 (𝜑 (𝐵𝐹) ⊆ 𝑋)
10197, 100eqssd 3994 . . . 4 (𝜑𝑋 = (𝐵𝐹))
102101, 98jctil 519 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹)))
10317difexd 5322 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐹) ∈ V)
104103adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹))) → (𝐵𝐹) ∈ V)
105 sseq1 4002 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐵𝐹) → (𝑥𝐵 ↔ (𝐵𝐹) ⊆ 𝐵))
106 unieq 4913 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐵𝐹) → 𝑥 = (𝐵𝐹))
107106eqeq2d 2737 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐵𝐹) → (𝑋 = 𝑥𝑋 = (𝐵𝐹)))
108105, 107anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐵𝐹) → ((𝑥𝐵𝑋 = 𝑥) ↔ ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹))))
109108anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐵𝐹) → ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑋 = 𝑥)) ↔ (𝜑 ∧ ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹)))))
110 pweq 4611 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐵𝐹) → 𝒫 𝑥 = 𝒫 (𝐵𝐹))
111110ineq1d 4206 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐵𝐹) → (𝒫 𝑥 ∩ Fin) = (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin))
112111rexeqdv 3320 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐵𝐹) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)𝑋 = 𝑦))
113109, 112imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = (𝐵𝐹) → (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑋 = 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = 𝑦) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)𝑋 = 𝑦)))
114 alexsub.4 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑋 = 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = 𝑦)
115113, 114vtoclg 3537 . . . 4 ((𝐵𝐹) ∈ V → ((𝜑 ∧ ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)𝑋 = 𝑦))
116104, 115mpcom 38 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)𝑋 = 𝑦)
117102, 116mpdan 684 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)𝑋 = 𝑦)
118 unieq 4913 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → 𝑦 = ∅)
119 uni0 4932 . . . . . . 7 ∅ = ∅
120118, 119eqtrdi 2782 . . . . . 6 (𝑦 = ∅ → 𝑦 = ∅)
121120neeq2d 2995 . . . . 5 (𝑦 = ∅ → (𝑋 𝑦𝑋 ≠ ∅))
122 difssd 4127 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) → (𝑋𝑧) ⊆ 𝑋)
123122ralrimivw 3144 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) → ∀𝑧𝑦 (𝑋𝑧) ⊆ 𝑋)
124 riinn0 5079 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑧𝑦 (𝑋𝑧) ⊆ 𝑋𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) = 𝑧𝑦 (𝑋𝑧))
125123, 124sylan 579 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) = 𝑧𝑦 (𝑋𝑧))
12614ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ V)
127126difexd 5322 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋𝑧) ∈ V)
128127ralrimivw 3144 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∀𝑧𝑦 (𝑋𝑧) ∈ V)
129 dfiin2g 5028 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧𝑦 (𝑋𝑧) ∈ V → 𝑧𝑦 (𝑋𝑧) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑦 𝑥 = (𝑋𝑧)})
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑧𝑦 (𝑋𝑧) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑦 𝑥 = (𝑋𝑧)})
131 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) = (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧))
132131rnmpt 5948 . . . . . . . . . . 11 ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑦 𝑥 = (𝑋𝑧)}
133132inteqi 4947 . . . . . . . . . 10 ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑦 𝑥 = (𝑋𝑧)}
134130, 133eqtr4di 2784 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑧𝑦 (𝑋𝑧) = ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)))
135125, 134eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) = ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)))
13611ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
137 elfpw 9356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ (𝐵𝐹) ∧ 𝑦 ∈ Fin))
138137simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ (𝐵𝐹))
139138ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ⊆ (𝐵𝐹))
140139sselda 3977 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 ∈ (𝐵𝐹))
141140eldifbd 3956 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → ¬ 𝑧𝐹)
1429ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
143139difss2d 4129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦𝐵)
144143sselda 3977 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧𝐵)
145 elssuni 4934 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝐵𝑧 𝐵)
146144, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 𝐵)
14713ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑋 = 𝐵)
148146, 147sseqtrrd 4018 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧𝑋)
149 ufilb 23765 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (¬ 𝑧𝐹 ↔ (𝑋𝑧) ∈ 𝐹))
150142, 148, 149syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → (¬ 𝑧𝐹 ↔ (𝑋𝑧) ∈ 𝐹))
151141, 150mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → (𝑋𝑧) ∈ 𝐹)
152151fmpttd 7110 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)):𝑦𝐹)
153152frnd 6719 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ⊆ 𝐹)
154131, 151dmmptd 6689 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → dom (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) = 𝑦)
155 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ≠ ∅)
156154, 155eqnetrd 3002 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → dom (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅)
157 dm0rn0 5918 . . . . . . . . . . 11 (dom (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) = ∅ ↔ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) = ∅)
158157necon3bii 2987 . . . . . . . . . 10 (dom (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅ ↔ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅)
159156, 158sylib 217 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅)
160 elinel2 4191 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
161160ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ∈ Fin)
162 abrexfi 9354 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ Fin → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑦 𝑥 = (𝑋𝑧)} ∈ Fin)
163132, 162eqeltrid 2831 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ Fin → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ∈ Fin)
164161, 163syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ∈ Fin)
165 filintn0 23720 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ⊆ 𝐹 ∧ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅ ∧ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ∈ Fin)) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅)
166136, 153, 159, 164, 165syl13anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅)
167135, 166eqnetrd 3002 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) ≠ ∅)
168 disj3 4448 . . . . . . . 8 ((𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) = ∅ ↔ 𝑋 = (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)))
169168necon3bii 2987 . . . . . . 7 ((𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)))
170167, 169sylib 217 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)))
171 iundif2 5070 . . . . . . 7 𝑧𝑦 (𝑋 ∖ (𝑋𝑧)) = (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧))
172 dfss4 4253 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋𝑧)) = 𝑧)
173148, 172sylib 217 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → (𝑋 ∖ (𝑋𝑧)) = 𝑧)
174173iuneq2dv 5014 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑧𝑦 (𝑋 ∖ (𝑋𝑧)) = 𝑧𝑦 𝑧)
175 uniiun 5054 . . . . . . . 8 𝑦 = 𝑧𝑦 𝑧
176174, 175eqtr4di 2784 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑧𝑦 (𝑋 ∖ (𝑋𝑧)) = 𝑦)
177171, 176eqtr3id 2780 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) = 𝑦)
178170, 177neeqtrd 3004 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑋 𝑦)
17911adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
180 filtop 23714 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐹)
181 fileln0 23709 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑋𝐹) → 𝑋 ≠ ∅)
182179, 180, 181syl2anc2 584 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) → 𝑋 ≠ ∅)
183121, 178, 182pm2.61ne 3021 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) → 𝑋 𝑦)
184183neneqd 2939 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) → ¬ 𝑋 = 𝑦)
185184nrexdv 3143 . 2 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)𝑋 = 𝑦)
186117, 185pm2.65i 193 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2703  wne 2934  wral 3055  wrex 3064  Vcvv 3468  cdif 3940  cin 3942  wss 3943  c0 4317  𝒫 cpw 4597  {csn 4623   cuni 4902   cint 4943   ciun 4990   ciin 4991  cmpt 5224  dom cdm 5669  ran crn 5670  cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  ficfi 9407  topGenctg 17392  TopOnctopon 22767  TopBasesctb 22803  Filcfil 23704  UFilcufil 23758  UFLcufl 23759   fLim cflim 23793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-fin 8945  df-fi 9408  df-topgen 17398  df-fbas 21237  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-ntr 22879  df-nei 22957  df-fil 23705  df-ufil 23760  df-flim 23798
This theorem is referenced by:  alexsub  23904
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