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Theorem alexsublem 22061
Description: Lemma for alexsub 22062. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
alexsub.1 (𝜑𝑋 ∈ UFL)
alexsub.2 (𝜑𝑋 = 𝐵)
alexsub.3 (𝜑𝐽 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
alexsub.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑋 = 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = 𝑦)
alexsub.5 (𝜑𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
alexsub.6 (𝜑 → (𝐽 fLim 𝐹) = ∅)
Assertion
Ref Expression
alexsublem ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem alexsublem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3779 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑋 (𝐵𝐹)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹)))
2 alexsub.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐽 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
32eleq2d 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑦𝐽𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵))))
43anbi1d 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑦𝐽𝑥𝑦) ↔ (𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥𝑦)))
54biimpa 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → (𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥𝑦))
65adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → (𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥𝑦))
7 tg2 20983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥𝑦) → ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)(𝑥𝑧𝑧𝑦))
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)(𝑥𝑧𝑧𝑦))
9 alexsub.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
10 ufilfil 21921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
1211ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥𝑧𝑧𝑦))) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
13 alexsub.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑋 = 𝐵)
149elfvexd 6442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑋 ∈ V)
1513, 14eqeltrrd 2886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 𝐵 ∈ V)
16 uniexb 7203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐵 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V)
1715, 16sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐵 ∈ V)
18 elfi2 8559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 ∈ V → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦))
2019adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦))
2111ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
22 simplrr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) → ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))
23 intss1 4684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧𝑦 𝑦𝑧)
2423adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑦𝑧)
25 simplr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑥 𝑦)
2624, 25sseldd 3799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑥𝑧)
2726ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) ∧ ¬ 𝑧𝐹) → 𝑥𝑧)
28 eldifsn 4508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↔ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ≠ ∅))
2928simplbi 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
3029ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
31 elfpw 8507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ (𝑦𝐵𝑦 ∈ Fin))
3231simplbi 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦𝐵)
3330, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦𝐵)
3433sselda 3798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧𝐵)
3534anasss 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑧𝐵)
3635anim1i 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) ∧ ¬ 𝑧𝐹) → (𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑧𝐹))
37 eldif 3779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ (𝐵𝐹) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑧𝐹))
3836, 37sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) ∧ ¬ 𝑧𝐹) → 𝑧 ∈ (𝐵𝐹))
39 elunii 4635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥𝑧𝑧 ∈ (𝐵𝐹)) → 𝑥 (𝐵𝐹))
4027, 38, 39syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) ∧ ¬ 𝑧𝐹) → 𝑥 (𝐵𝐹))
4140ex 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) → (¬ 𝑧𝐹𝑥 (𝐵𝐹)))
4222, 41mt3d 142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑧𝐹)
4342expr 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → (𝑧𝑦𝑧𝐹))
4443ssrdv 3804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦𝐹)
4528simprbi 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ≠ ∅)
4645ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦 ≠ ∅)
4731simprbi 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
4830, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦 ∈ Fin)
49 elfir 8560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑦𝐹𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → 𝑦 ∈ (fi‘𝐹))
5021, 44, 46, 48, 49syl13anc 1484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦 ∈ (fi‘𝐹))
51 filfi 21876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (fi‘𝐹) = 𝐹)
5221, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → (fi‘𝐹) = 𝐹)
5350, 52eleqtrd 2887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦𝐹)
5453expr 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑥 𝑦 𝑦𝐹))
55 eleq2 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥𝑧𝑥 𝑦))
56 eleq1 2873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝐹 𝑦𝐹))
5755, 56imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑥𝑧𝑧𝐹) ↔ (𝑥 𝑦 𝑦𝐹)))
5854, 57syl5ibrcom 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧 = 𝑦 → (𝑥𝑧𝑧𝐹)))
5958rexlimdva 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) → (∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦 → (𝑥𝑧𝑧𝐹)))
6020, 59sylbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) → (𝑥𝑧𝑧𝐹)))
6160imp32 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝑥𝑧)) → 𝑧𝐹)
6261adantrrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥𝑧𝑧𝑦))) → 𝑧𝐹)
6362adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥𝑧𝑧𝑦))) → 𝑧𝐹)
64 elssuni 4661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝐽𝑦 𝐽)
6564ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑦 𝐽)
66 fibas 20995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (fi‘𝐵) ∈ TopBases
67 tgtopon 20989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((fi‘𝐵) ∈ TopBases → (topGen‘(fi‘𝐵)) ∈ (TopOn‘ (fi‘𝐵)))
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGen‘(fi‘𝐵)) ∈ (TopOn‘ (fi‘𝐵))
692, 68syl6eqel 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ (fi‘𝐵)))
70 fiuni 8573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐵 ∈ V → 𝐵 = (fi‘𝐵))
7117, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 𝐵 = (fi‘𝐵))
7213, 71eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑋 = (fi‘𝐵))
7372fveq2d 6412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (TopOn‘𝑋) = (TopOn‘ (fi‘𝐵)))
7469, 73eleqtrrd 2888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
75 toponuni 20932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋 = 𝐽)
7776ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑋 = 𝐽)
7865, 77sseqtr4d 3839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑦𝑋)
7978adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥𝑧𝑧𝑦))) → 𝑦𝑋)
80 simprrr 791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥𝑧𝑧𝑦))) → 𝑧𝑦)
81 filss 21870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑧𝐹𝑦𝑋𝑧𝑦)) → 𝑦𝐹)
8212, 63, 79, 80, 81syl13anc 1484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥𝑧𝑧𝑦))) → 𝑦𝐹)
838, 82rexlimddv 3223 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ (𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑦𝐹)
8483expr 446 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑥𝑦𝑦𝐹))
8584ralrimiva 3154 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹))) → ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐹))
8685expr 446 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → (¬ 𝑥 (𝐵𝐹) → ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐹)))
8786imdistanda 563 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 (𝐵𝐹)) → (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐹))))
881, 87syl5bi 233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 (𝐵𝐹)) → (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐹))))
89 flimopn 21992 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐹))))
9074, 11, 89syl2anc 575 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐹))))
9188, 90sylibrd 250 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 (𝐵𝐹)) → 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)))
9291ssrdv 3804 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 (𝐵𝐹)) ⊆ (𝐽 fLim 𝐹))
93 alexsub.6 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽 fLim 𝐹) = ∅)
94 sseq0 4173 . . . . . . 7 (((𝑋 (𝐵𝐹)) ⊆ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ (𝐽 fLim 𝐹) = ∅) → (𝑋 (𝐵𝐹)) = ∅)
9592, 93, 94syl2anc 575 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 (𝐵𝐹)) = ∅)
96 ssdif0 4143 . . . . . 6 (𝑋 (𝐵𝐹) ↔ (𝑋 (𝐵𝐹)) = ∅)
9795, 96sylibr 225 . . . . 5 (𝜑𝑋 (𝐵𝐹))
98 difss 3936 . . . . . . 7 (𝐵𝐹) ⊆ 𝐵
9998unissi 4655 . . . . . 6 (𝐵𝐹) ⊆ 𝐵
10099, 13syl5sseqr 3851 . . . . 5 (𝜑 (𝐵𝐹) ⊆ 𝑋)
10197, 100eqssd 3815 . . . 4 (𝜑𝑋 = (𝐵𝐹))
102101, 98jctil 511 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹)))
103 difexg 5003 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐵𝐹) ∈ V)
10417, 103syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐹) ∈ V)
105104adantr 468 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹))) → (𝐵𝐹) ∈ V)
106 sseq1 3823 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐵𝐹) → (𝑥𝐵 ↔ (𝐵𝐹) ⊆ 𝐵))
107 unieq 4638 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐵𝐹) → 𝑥 = (𝐵𝐹))
108107eqeq2d 2816 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐵𝐹) → (𝑋 = 𝑥𝑋 = (𝐵𝐹)))
109106, 108anbi12d 618 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐵𝐹) → ((𝑥𝐵𝑋 = 𝑥) ↔ ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹))))
110109anbi2d 616 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐵𝐹) → ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑋 = 𝑥)) ↔ (𝜑 ∧ ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹)))))
111 pweq 4354 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐵𝐹) → 𝒫 𝑥 = 𝒫 (𝐵𝐹))
112111ineq1d 4012 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐵𝐹) → (𝒫 𝑥 ∩ Fin) = (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin))
113112rexeqdv 3334 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐵𝐹) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)𝑋 = 𝑦))
114110, 113imbi12d 335 . . . . 5 (𝑥 = (𝐵𝐹) → (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑋 = 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = 𝑦) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)𝑋 = 𝑦)))
115 alexsub.4 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑋 = 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = 𝑦)
116114, 115vtoclg 3459 . . . 4 ((𝐵𝐹) ∈ V → ((𝜑 ∧ ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)𝑋 = 𝑦))
117105, 116mpcom 38 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐵𝐹) ⊆ 𝐵𝑋 = (𝐵𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)𝑋 = 𝑦)
118102, 117mpdan 670 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)𝑋 = 𝑦)
119 unieq 4638 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → 𝑦 = ∅)
120 uni0 4659 . . . . . . 7 ∅ = ∅
121119, 120syl6eq 2856 . . . . . 6 (𝑦 = ∅ → 𝑦 = ∅)
122121neeq2d 3038 . . . . 5 (𝑦 = ∅ → (𝑋 𝑦𝑋 ≠ ∅))
123 difssd 3937 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) → (𝑋𝑧) ⊆ 𝑋)
124123ralrimivw 3155 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) → ∀𝑧𝑦 (𝑋𝑧) ⊆ 𝑋)
125 riinn0 4787 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑧𝑦 (𝑋𝑧) ⊆ 𝑋𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) = 𝑧𝑦 (𝑋𝑧))
126124, 125sylan 571 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) = 𝑧𝑦 (𝑋𝑧))
12714ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ V)
128 difexg 5003 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ V → (𝑋𝑧) ∈ V)
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋𝑧) ∈ V)
130129ralrimivw 3155 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∀𝑧𝑦 (𝑋𝑧) ∈ V)
131 dfiin2g 4745 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧𝑦 (𝑋𝑧) ∈ V → 𝑧𝑦 (𝑋𝑧) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑦 𝑥 = (𝑋𝑧)})
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑧𝑦 (𝑋𝑧) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑦 𝑥 = (𝑋𝑧)})
133 eqid 2806 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) = (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧))
134133rnmpt 5572 . . . . . . . . . . 11 ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑦 𝑥 = (𝑋𝑧)}
135134inteqi 4673 . . . . . . . . . 10 ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑦 𝑥 = (𝑋𝑧)}
136132, 135syl6eqr 2858 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑧𝑦 (𝑋𝑧) = ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)))
137126, 136eqtrd 2840 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) = ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)))
13811ad2antrr 708 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
139 elfpw 8507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ (𝐵𝐹) ∧ 𝑦 ∈ Fin))
140139simplbi 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ (𝐵𝐹))
141140ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ⊆ (𝐵𝐹))
142141sselda 3798 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 ∈ (𝐵𝐹))
143142eldifbd 3782 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → ¬ 𝑧𝐹)
1449ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
145141difss2d 3939 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦𝐵)
146145sselda 3798 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧𝐵)
147 elssuni 4661 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝐵𝑧 𝐵)
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 𝐵)
14913ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑋 = 𝐵)
150148, 149sseqtr4d 3839 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧𝑋)
151 ufilb 21923 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (¬ 𝑧𝐹 ↔ (𝑋𝑧) ∈ 𝐹))
152144, 150, 151syl2anc 575 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → (¬ 𝑧𝐹 ↔ (𝑋𝑧) ∈ 𝐹))
153143, 152mpbid 223 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → (𝑋𝑧) ∈ 𝐹)
154153fmpttd 6607 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)):𝑦𝐹)
155154frnd 6263 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ⊆ 𝐹)
156133, 153dmmptd 6235 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → dom (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) = 𝑦)
157 simpr 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ≠ ∅)
158156, 157eqnetrd 3045 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → dom (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅)
159 dm0rn0 5543 . . . . . . . . . . 11 (dom (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) = ∅ ↔ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) = ∅)
160159necon3bii 3030 . . . . . . . . . 10 (dom (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅ ↔ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅)
161158, 160sylib 209 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅)
162139simprbi 486 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
163162ad2antlr 709 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ∈ Fin)
164 abrexfi 8505 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ Fin → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑦 𝑥 = (𝑋𝑧)} ∈ Fin)
165134, 164syl5eqel 2889 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ Fin → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ∈ Fin)
166163, 165syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ∈ Fin)
167 filintn0 21878 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ⊆ 𝐹 ∧ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅ ∧ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ∈ Fin)) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅)
168138, 155, 161, 166, 167syl13anc 1484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑋𝑧)) ≠ ∅)
169137, 168eqnetrd 3045 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) ≠ ∅)
170 disj3 4218 . . . . . . . 8 ((𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) = ∅ ↔ 𝑋 = (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)))
171170necon3bii 3030 . . . . . . 7 ((𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)))
172169, 171sylib 209 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)))
173 iundif2 4779 . . . . . . 7 𝑧𝑦 (𝑋 ∖ (𝑋𝑧)) = (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧))
174 dfss4 4060 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋𝑧)) = 𝑧)
175150, 174sylib 209 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑦) → (𝑋 ∖ (𝑋𝑧)) = 𝑧)
176175iuneq2dv 4734 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑧𝑦 (𝑋 ∖ (𝑋𝑧)) = 𝑧𝑦 𝑧)
177 uniiun 4765 . . . . . . . 8 𝑦 = 𝑧𝑦 𝑧
178176, 177syl6eqr 2858 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑧𝑦 (𝑋 ∖ (𝑋𝑧)) = 𝑦)
179173, 178syl5eqr 2854 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 𝑧𝑦 (𝑋𝑧)) = 𝑦)
180172, 179neeqtrd 3047 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑋 𝑦)
18111adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
182 filtop 21872 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐹)
183 fileln0 21867 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑋𝐹) → 𝑋 ≠ ∅)
184182, 183mpdan 670 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
185181, 184syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) → 𝑋 ≠ ∅)
186122, 180, 185pm2.61ne 3063 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) → 𝑋 𝑦)
187186neneqd 2983 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)) → ¬ 𝑋 = 𝑦)
188187nrexdv 3188 . 2 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵𝐹) ∩ Fin)𝑋 = 𝑦)
189118, 188pm2.65i 185 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  {cab 2792  wne 2978  wral 3096  wrex 3097  Vcvv 3391  cdif 3766  cin 3768  wss 3769  c0 4116  𝒫 cpw 4351  {csn 4370   cuni 4630   cint 4669   ciun 4712   ciin 4713  cmpt 4923  dom cdm 5311  ran crn 5312  cfv 6101  (class class class)co 6874  Fincfn 8192  ficfi 8555  topGenctg 16303  TopOnctopon 20928  TopBasesctb 20963  Filcfil 21862  UFilcufil 21916  UFLcufl 21917   fLim cflim 21951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-oadd 7800  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-fin 8196  df-fi 8556  df-topgen 16309  df-fbas 19951  df-top 20912  df-topon 20929  df-bases 20964  df-ntr 21038  df-nei 21116  df-fil 21863  df-ufil 21918  df-flim 21956
This theorem is referenced by:  alexsub  22062
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