Theorem alexsublem 24034

Description: Lemma for alexsub 24035. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
alexsub.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ UFL)
alexsub.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐵)
alexsub.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
alexsub.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦)
alexsub.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
alexsub.6	⊢ (𝜑 → (𝐽 fLim 𝐹) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
alexsublem	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem alexsublem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3900	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)))
2		alexsub.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
3	2	eleq2d 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↔ 𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵))))
4	3	anbi1d 637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ (𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)))
5	4	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → (𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦))
6	5	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → (𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦))
7		tg2 22955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))
9		alexsub.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
10		ufilfil 23894	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
12	11	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
13		alexsub.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐵)
14	9	elfvexd 6870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
15	13, 14	eqeltrrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 ∈ V)
16		uniexb 7714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐵 ∈ V ↔ ∪ 𝐵 ∈ V)
17	15, 16	sylibr 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
18		elfi2 9324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = ∩ 𝑦))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = ∩ 𝑦))
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = ∩ 𝑦))
21	11	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
22		simplrr 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))
23		intss1 4900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → ∩ 𝑦 ⊆ 𝑧)
24	23	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → ∩ 𝑦 ⊆ 𝑧)
25		simplr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)
26	24, 25	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑧)
27	26	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝑧)
28		eldifsn 4726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↔ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ≠ ∅))
29	28	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
30	29	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
31		elfpw 9261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
32	31	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐵)
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ 𝐵)
34	33	sselda 3922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐵)
35	34	anasss 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
36	35	anim1i 621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐹) → (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐹))
37		eldif 3900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐹) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐹))
38	36, 37	sylibr 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐹))
39		elunii 4850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐹)) → 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))
40	27, 38, 39	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))
41	40	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (¬ 𝑧 ∈ 𝐹 → 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)))
42	22, 41	mt3d 148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐹)
43	42	expr 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝐹))
44	43	ssrdv 3928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ 𝐹)
45		eldifsni 4730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ≠ ∅)
46	45	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → 𝑦 ≠ ∅)
47		elinel2 4138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
48	30, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → 𝑦 ∈ Fin)
49		elfir 9325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐹 ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → ∩ 𝑦 ∈ (fi‘𝐹))
50	21, 44, 46, 48, 49	syl13anc 1380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → ∩ 𝑦 ∈ (fi‘𝐹))
51		filfi 23849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (fi‘𝐹) = 𝐹)
52	21, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → (fi‘𝐹) = 𝐹)
53	50, 52	eleqtrd 2842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → ∩ 𝑦 ∈ 𝐹)
54	53	expr 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑥 ∈ ∩ 𝑦 → ∩ 𝑦 ∈ 𝐹))
55		eleq2 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = ∩ 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦))
56		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = ∩ 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝐹 ↔ ∩ 𝑦 ∈ 𝐹))
57	55, 56	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = ∩ 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ ∩ 𝑦 → ∩ 𝑦 ∈ 𝐹)))
58	54, 57	syl5ibrcom 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧 = ∩ 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐹)))
59	58	rexlimdva 3141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → (∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = ∩ 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐹)))
60	20, 59	sylbid 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐹)))
61	60	imp32 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐹)
62	61	adantrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐹)
63	62	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐹)
64		elssuni 4876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐽 → 𝑦 ⊆ ∪ 𝐽)
65	64	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝐽)
66		fibas 22967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (fi‘𝐵) ∈ TopBases
67		tgtopon 22961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((fi‘𝐵) ∈ TopBases → (topGen‘(fi‘𝐵)) ∈ (TopOn‘∪ (fi‘𝐵)))
68	66, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∈ (TopOn‘∪ (fi‘𝐵))
69	2, 68	eqeltrdi 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ (fi‘𝐵)))
70		fiuni 9338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐵 ∈ V → ∪ 𝐵 = ∪ (fi‘𝐵))
71	17, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = ∪ (fi‘𝐵))
72	13, 71	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ (fi‘𝐵))
73	72	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (TopOn‘𝑋) = (TopOn‘∪ (fi‘𝐵)))
74	69, 73	eleqtrrd 2843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
75		toponuni 22904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
77	76	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
78	65, 77	sseqtrrd 3959	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
80		simprrr 787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑧 ⊆ 𝑦)
81		filss 23843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐹)
82	12, 63, 79, 80, 81	syl13anc 1380	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑦 ∈ 𝐹)
83	8, 82	rexlimddv 3147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐹)
84	83	expr 457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹))
85	84	ralrimiva 3132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹))
86	85	expr 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹) → ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹)))
87	86	imdistanda 576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹))))
88	1, 87	biimtrid 243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹))))
89		flimopn 23965	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹))))
90	74, 11, 89	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹))))
91	88, 90	sylibrd 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) → 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)))
92	91	ssrdv 3928	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) ⊆ (𝐽 fLim 𝐹))
93		alexsub.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐽 fLim 𝐹) = ∅)
94		sseq0 4338	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) ⊆ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ (𝐽 fLim 𝐹) = ∅) → (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) = ∅)
95	92, 93, 94	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) = ∅)
96		ssdif0 4301	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹) ↔ (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) = ∅)
97	95, 96	sylibr 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))
98		difss 4073	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵
99	98	unissi 4854	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ ∪ 𝐵
100	99, 13	sseqtrrid 3965	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝑋)
101	97, 100	eqssd 3939	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))
102	101, 98	jctil 524	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)))
103	17	difexd 5266	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐹) ∈ V)
104	103	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → (𝐵 ∖ 𝐹) ∈ V)
105		sseq1 3947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵))
106		unieq 4856	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → ∪ 𝑥 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))
107	106	eqeq2d 2751	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → (𝑋 = ∪ 𝑥 ↔ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)))
108	105, 107	anbi12d 638	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ 𝑥) ↔ ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))))
109	108	anbi2d 636	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ 𝑥)) ↔ (𝜑 ∧ ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)))))
110		pweq 4550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → 𝒫 𝑥 = 𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹))
111	110	ineq1d 4155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → (𝒫 𝑥 ∩ Fin) = (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin))
112	111	rexeqdv 3299	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦))
113	109, 112	imbi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦)))
114		alexsub.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦)
115	113, 114	vtoclg 3502	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐹) ∈ V → ((𝜑 ∧ ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦))
116	104, 115	mpcom 38	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦)
117	102, 116	mpdan 693	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦)
118		unieq 4856	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ 𝑦 = ∪ ∅)
119		uni0 4873	. . . . . . 7 ⊢ ∪ ∅ = ∅
120	118, 119	eqtrdi 2791	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ 𝑦 = ∅)
121	120	neeq2d 2995	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑋 ≠ ∪ 𝑦 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
122		difssd 4074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) → (𝑋 ∖ 𝑧) ⊆ 𝑋)
123	122	ralrimivw 3136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) → ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) ⊆ 𝑋)
124		riinn0 5019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) ⊆ 𝑋 ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧))
125	123, 124	sylan 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧))
126	14	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ V)
127	126	difexd 5266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 ∖ 𝑧) ∈ V)
128	127	ralrimivw 3136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) ∈ V)
129		dfiin2g 4967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) ∈ V → ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) = ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑦 𝑥 = (𝑋 ∖ 𝑧)})
130	128, 129	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) = ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑦 𝑥 = (𝑋 ∖ 𝑧)})
131		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧))
132	131	rnmpt 5906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) = {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑦 𝑥 = (𝑋 ∖ 𝑧)}
133	132	inteqi 4888	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∩ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑦 𝑥 = (𝑋 ∖ 𝑧)}
134	130, 133	eqtr4di 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) = ∩ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)))
135	125, 134	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∩ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)))
136	11	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
137		elfpw 9261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ (𝐵 ∖ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ Fin))
138	137	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ (𝐵 ∖ 𝐹))
139	138	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ⊆ (𝐵 ∖ 𝐹))
140	139	sselda 3922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐹))
141	140	eldifbd 3903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐹)
142	9	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
143	139	difss2d 4076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ⊆ 𝐵)
144	143	sselda 3922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐵)
145		elssuni 4876	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → 𝑧 ⊆ ∪ 𝐵)
146	144, 145	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ⊆ ∪ 𝐵)
147	13	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑋 = ∪ 𝐵)
148	146, 147	sseqtrrd 3959	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ⊆ 𝑋)
149		ufilb 23896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝑧 ∈ 𝐹 ↔ (𝑋 ∖ 𝑧) ∈ 𝐹))
150	142, 148, 149	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → (¬ 𝑧 ∈ 𝐹 ↔ (𝑋 ∖ 𝑧) ∈ 𝐹))
151	141, 150	mpbid 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝑋 ∖ 𝑧) ∈ 𝐹)
152	151	fmpttd 7063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)):𝑦⟶𝐹)
153	152	frnd 6670	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ⊆ 𝐹)
154	131, 151	dmmptd 6637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → dom (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) = 𝑦)
155		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ≠ ∅)
156	154, 155	eqnetrd 3002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → dom (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅)
157		dm0rn0 5873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∅ ↔ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∅)
158	157	necon3bii 2987	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dom (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅ ↔ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅)
159	156, 158	sylib 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅)
160		elinel2 4138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
161	160	ad2antlr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ∈ Fin)
162		abrexfi 9259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑦 𝑥 = (𝑋 ∖ 𝑧)} ∈ Fin)
163	132, 162	eqeltrid 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ∈ Fin)
164	161, 163	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ∈ Fin)
165		filintn0 23851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ⊆ 𝐹 ∧ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅ ∧ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ∈ Fin)) → ∩ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅)
166	136, 153, 159, 164, 165	syl13anc 1380	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∩ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅)
167	135, 166	eqnetrd 3002	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅)
168		disj3 4389	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∅ ↔ 𝑋 = (𝑋 ∖ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)))
169	168	necon3bii 2987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ (𝑋 ∖ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)))
170	167, 169	sylib 219	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ (𝑋 ∖ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)))
171		iundif2 5010	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑧)) = (𝑋 ∖ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧))
172		dfss4 4204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑧)) = 𝑧)
173	148, 172	sylib 219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑧)) = 𝑧)
174	173	iuneq2dv 4953	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
175		uniiun 4995	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑦 = ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧
176	174, 175	eqtr4di 2793	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∪ 𝑦)
177	171, 176	eqtr3id 2789	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 ∖ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∪ 𝑦)
178	170, 177	neeqtrd 3004	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∪ 𝑦)
179	11	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
180		filtop 23845	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
181		fileln0 23840	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → 𝑋 ≠ ∅)
182	179, 180, 181	syl2anc2 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) → 𝑋 ≠ ∅)
183	121, 178, 182	pm2.61ne 3020	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) → 𝑋 ≠ ∪ 𝑦)
184	183	neneqd 2940	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) → ¬ 𝑋 = ∪ 𝑦)
185	184	nrexdv 3135	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦)
186	117, 185	pm2.65i 195	1 ⊢ ¬ 𝜑

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {cab 2718   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  Vcvv 3432   ∖ cdif 3887   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  𝒫 cpw 4536  {csn 4562  ∪ cuni 4845  ∩ cint 4884  ∪ ciun 4928  ∩ ciin 4929   ↦ cmpt 5160  dom cdm 5625  ran crn 5626  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Fincfn 8890  ficfi 9320  topGenctg 17398  TopOnctopon 22900  TopBasesctb 22935  Filcfil 23835  UFilcufil 23889  UFLcufl 23890   fLim cflim 23924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-1o 8402  df-2o 8403  df-en 8891  df-dom 8892  df-fin 8894  df-fi 9321  df-topgen 17404  df-fbas 21351  df-top 22884  df-topon 22901  df-bases 22936  df-ntr 23010  df-nei 23088  df-fil 23836  df-ufil 23891  df-flim 23929

This theorem is referenced by:  alexsub  24035