Theorem alexsublem 24238

Description: Lemma for alexsub 24239. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
alexsub.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ UFL)
alexsub.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐵)
alexsub.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
alexsub.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦)
alexsub.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
alexsub.6	⊢ (𝜑 → (𝐽 fLim 𝐹) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
alexsublem	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem alexsublem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)))
2		alexsub.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
3	2	eleq2d 2852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↔ 𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵))))
4	3	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ (𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)))
5	4	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → (𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦))
6	5	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → (𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦))
7		tg2 23159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))
9		alexsub.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
10		ufilfil 24098	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
12	11	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
13		alexsub.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐵)
14	9	elfvexd 6924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
15	13, 14	eqeltrrd 2867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 ∈ V)
16		uniexb 7772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐵 ∈ V ↔ ∪ 𝐵 ∈ V)
17	15, 16	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
18		elfi2 9384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = ∩ 𝑦))
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = ∩ 𝑦))
20	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = ∩ 𝑦))
21	11	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
22		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))
23		intss1 4933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → ∩ 𝑦 ⊆ 𝑧)
24	23	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → ∩ 𝑦 ⊆ 𝑧)
25		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)
26	24, 25	sseldd 3941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑧)
27	26	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝑧)
28		eldifsn 4758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↔ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ≠ ∅))
29	28	simplbi 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
30	29	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
31		elfpw 9321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
32	31	simplbi 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐵)
33	30, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ 𝐵)
34	33	sselda 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐵)
35	34	anasss 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
36	35	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐹) → (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐹))
37		eldif 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐹) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐹))
38	36, 37	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐹))
39		elunii 4882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐹)) → 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))
40	27, 38, 39	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))
41	40	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (¬ 𝑧 ∈ 𝐹 → 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)))
42	22, 41	mt3d 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐹)
43	42	expr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝐹))
44	43	ssrdv 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ 𝐹)
45		eldifsni 4763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ≠ ∅)
46	45	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → 𝑦 ≠ ∅)
47		elinel2 4158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
48	30, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → 𝑦 ∈ Fin)
49		elfir 9385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐹 ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → ∩ 𝑦 ∈ (fi‘𝐹))
50	21, 44, 46, 48, 49	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → ∩ 𝑦 ∈ (fi‘𝐹))
51		filfi 24053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (fi‘𝐹) = 𝐹)
52	21, 51	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → (fi‘𝐹) = 𝐹)
53	50, 52	eleqtrd 2868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → ∩ 𝑦 ∈ 𝐹)
54	53	expr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑥 ∈ ∩ 𝑦 → ∩ 𝑦 ∈ 𝐹))
55		eleq2 2855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = ∩ 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦))
56		eleq1 2854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = ∩ 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝐹 ↔ ∩ 𝑦 ∈ 𝐹))
57	55, 56	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = ∩ 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ ∩ 𝑦 → ∩ 𝑦 ∈ 𝐹)))
58	54, 57	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧 = ∩ 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐹)))
59	58	rexlimdva 3169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → (∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = ∩ 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐹)))
60	20, 59	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐹)))
61	60	imp32 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐹)
62	61	adantrrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐹)
63	62	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐹)
64		elssuni 4909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐽 → 𝑦 ⊆ ∪ 𝐽)
65	64	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝐽)
66		fibas 23171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (fi‘𝐵) ∈ TopBases
67		tgtopon 23165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((fi‘𝐵) ∈ TopBases → (topGen‘(fi‘𝐵)) ∈ (TopOn‘∪ (fi‘𝐵)))
68	66, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∈ (TopOn‘∪ (fi‘𝐵))
69	2, 68	eqeltrdi 2874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ (fi‘𝐵)))
70		fiuni 9398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐵 ∈ V → ∪ 𝐵 = ∪ (fi‘𝐵))
71	17, 70	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = ∪ (fi‘𝐵))
72	13, 71	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ (fi‘𝐵))
73	72	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (TopOn‘𝑋) = (TopOn‘∪ (fi‘𝐵)))
74	69, 73	eleqtrrd 2869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
75		toponuni 23108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
76	74, 75	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
77	76	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
78	65, 77	sseqtrrd 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
79	78	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
80		simprrr 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑧 ⊆ 𝑦)
81		filss 24047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐹)
82	12, 63, 79, 80, 81	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑦 ∈ 𝐹)
83	8, 82	rexlimddv 3175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐹)
84	83	expr 462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹))
85	84	ralrimiva 3160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹))
86	85	expr 462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹) → ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹)))
87	86	imdistanda 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹))))
88	1, 87	biimtrid 245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹))))
89		flimopn 24169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹))))
90	74, 11, 89	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹))))
91	88, 90	sylibrd 262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) → 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)))
92	91	ssrdv 3946	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) ⊆ (𝐽 fLim 𝐹))
93		alexsub.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐽 fLim 𝐹) = ∅)
94		sseq0 4364	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) ⊆ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ (𝐽 fLim 𝐹) = ∅) → (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) = ∅)
95	92, 93, 94	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) = ∅)
96		ssdif0 4324	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹) ↔ (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) = ∅)
97	95, 96	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))
98		difss 4093	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵
99	98	unissi 4886	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ ∪ 𝐵
100	99, 13	sseqtrrid 3983	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝑋)
101	97, 100	eqssd 3957	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))
102	101, 98	jctil 529	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)))
103	17	difexd 5307	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐹) ∈ V)
104	103	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → (𝐵 ∖ 𝐹) ∈ V)
105		sseq1 3965	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵))
106		unieq 4888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → ∪ 𝑥 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))
107	106	eqeq2d 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → (𝑋 = ∪ 𝑥 ↔ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)))
108	105, 107	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ 𝑥) ↔ ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))))
109	108	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ 𝑥)) ↔ (𝜑 ∧ ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)))))
110		pweq 4581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → 𝒫 𝑥 = 𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹))
111	110	ineq1d 4175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → (𝒫 𝑥 ∩ Fin) = (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin))
112	111	rexeqdv 3327	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦))
113	109, 112	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦)))
114		alexsub.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦)
115	113, 114	vtoclg 3525	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐹) ∈ V → ((𝜑 ∧ ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦))
116	104, 115	mpcom 39	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦)
117	102, 116	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦)
118		unieq 4888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ 𝑦 = ∪ ∅)
119		uni0 4906	. . . . . . 7 ⊢ ∪ ∅ = ∅
120	118, 119	eqtrdi 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ 𝑦 = ∅)
121	120	neeq2d 3021	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑋 ≠ ∪ 𝑦 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
122		difssd 4094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) → (𝑋 ∖ 𝑧) ⊆ 𝑋)
123	122	ralrimivw 3164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) → ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) ⊆ 𝑋)
124		riinn0 5054	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) ⊆ 𝑋 ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧))
125	123, 124	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧))
126	14	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ V)
127	126	difexd 5307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 ∖ 𝑧) ∈ V)
128	127	ralrimivw 3164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) ∈ V)
129		dfiin2g 5000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) ∈ V → ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) = ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑦 𝑥 = (𝑋 ∖ 𝑧)})
130	128, 129	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) = ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑦 𝑥 = (𝑋 ∖ 𝑧)})
131		eqid 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧))
132	131	rnmpt 5952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) = {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑦 𝑥 = (𝑋 ∖ 𝑧)}
133	132	inteqi 4921	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∩ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑦 𝑥 = (𝑋 ∖ 𝑧)}
134	130, 133	eqtr4di 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) = ∩ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)))
135	125, 134	eqtrd 2801	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∩ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)))
136	11	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
137		elfpw 9321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ (𝐵 ∖ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ Fin))
138	137	simplbi 502	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ (𝐵 ∖ 𝐹))
139	138	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ⊆ (𝐵 ∖ 𝐹))
140	139	sselda 3940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐹))
141	140	eldifbd 3921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐹)
142	9	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
143	139	difss2d 4096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ⊆ 𝐵)
144	143	sselda 3940	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐵)
145		elssuni 4909	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → 𝑧 ⊆ ∪ 𝐵)
146	144, 145	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ⊆ ∪ 𝐵)
147	13	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑋 = ∪ 𝐵)
148	146, 147	sseqtrrd 3977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ⊆ 𝑋)
149		ufilb 24100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝑧 ∈ 𝐹 ↔ (𝑋 ∖ 𝑧) ∈ 𝐹))
150	142, 148, 149	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → (¬ 𝑧 ∈ 𝐹 ↔ (𝑋 ∖ 𝑧) ∈ 𝐹))
151	141, 150	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝑋 ∖ 𝑧) ∈ 𝐹)
152	151	fmpttd 7117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)):𝑦⟶𝐹)
153	152	frnd 6721	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ⊆ 𝐹)
154	131, 151	dmmptd 6687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → dom (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) = 𝑦)
155		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ≠ ∅)
156	154, 155	eqnetrd 3028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → dom (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅)
157		dm0rn0 5919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∅ ↔ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∅)
158	157	necon3bii 3013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dom (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅ ↔ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅)
159	156, 158	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅)
160		elinel2 4158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
161	160	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ∈ Fin)
162		abrexfi 9319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑦 𝑥 = (𝑋 ∖ 𝑧)} ∈ Fin)
163	132, 162	eqeltrid 2870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ∈ Fin)
164	161, 163	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ∈ Fin)
165		filintn0 24055	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ⊆ 𝐹 ∧ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅ ∧ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ∈ Fin)) → ∩ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅)
166	136, 153, 159, 164, 165	syl13anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∩ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅)
167	135, 166	eqnetrd 3028	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅)
168		disj3 4417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∅ ↔ 𝑋 = (𝑋 ∖ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)))
169	168	necon3bii 3013	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ (𝑋 ∖ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)))
170	167, 169	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ (𝑋 ∖ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)))
171		iundif2 5043	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑧)) = (𝑋 ∖ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧))
172		dfss4 4225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑧)) = 𝑧)
173	148, 172	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑧)) = 𝑧)
174	173	iuneq2dv 4986	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
175		uniiun 5028	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑦 = ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧
176	174, 175	eqtr4di 2819	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∪ 𝑦)
177	171, 176	eqtr3id 2815	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 ∖ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∪ 𝑦)
178	170, 177	neeqtrd 3030	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∪ 𝑦)
179	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
180		filtop 24049	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
181		fileln0 24044	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → 𝑋 ≠ ∅)
182	179, 180, 181	syl2anc2 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) → 𝑋 ≠ ∅)
183	121, 178, 182	pm2.61ne 3046	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) → 𝑋 ≠ ∪ 𝑦)
184	183	neneqd 2966	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) → ¬ 𝑋 = ∪ 𝑦)
185	184	nrexdv 3163	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦)
186	117, 185	pm2.65i 196	1 ⊢ ¬ 𝜑

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2744   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  ∃wrex 3092  Vcvv 3458   ∖ cdif 3905   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  𝒫 cpw 4567  {csn 4594  ∪ cuni 4877  ∩ cint 4917  ∪ ciun 4961  ∩ ciin 4962   ↦ cmpt 5197  dom cdm 5666  ran crn 5667  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Fincfn 8952  ficfi 9380  topGenctg 17515  TopOnctopon 23104  TopBasesctb 23139  Filcfil 24039  UFilcufil 24093  UFLcufl 24094   fLim cflim 24128

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-1o 8462  df-2o 8463  df-en 8953  df-dom 8954  df-fin 8956  df-fi 9381  df-topgen 17521  df-fbas 21556  df-top 23088  df-topon 23105  df-bases 23140  df-ntr 23214  df-nei 23292  df-fil 24040  df-ufil 24095  df-flim 24133

This theorem is used by:  alexsub  24239