Theorem alexsublem 23193

Description: Lemma for alexsub 23194. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
alexsub.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ UFL)
alexsub.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐵)
alexsub.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
alexsub.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦)
alexsub.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
alexsub.6	⊢ (𝜑 → (𝐽 fLim 𝐹) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
alexsublem	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem alexsublem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3898	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)))
2		alexsub.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (topGen‘(fi‘𝐵)))
3	2	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↔ 𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵))))
4	3	anbi1d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ (𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)))
5	4	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → (𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦))
6	5	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → (𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦))
7		tg2 22113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐵)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))
9		alexsub.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
10		ufilfil 23053	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
12	11	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
13		alexsub.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐵)
14	9	elfvexd 6810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
15	13, 14	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 ∈ V)
16		uniexb 7614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐵 ∈ V ↔ ∪ 𝐵 ∈ V)
17	15, 16	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
18		elfi2 9171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = ∩ 𝑦))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = ∩ 𝑦))
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = ∩ 𝑦))
21	11	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
22		simplrr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))
23		intss1 4896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → ∩ 𝑦 ⊆ 𝑧)
24	23	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → ∩ 𝑦 ⊆ 𝑧)
25		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)
26	24, 25	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑧)
27	26	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝑧)
28		eldifsn 4722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↔ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ≠ ∅))
29	28	simplbi 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
30	29	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
31		elfpw 9119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
32	31	simplbi 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐵)
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ 𝐵)
34	33	sselda 3922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐵)
35	34	anasss 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
36	35	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐹) → (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐹))
37		eldif 3898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐹) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐹))
38	36, 37	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐹))
39		elunii 4846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐹)) → 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))
40	27, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))
41	40	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (¬ 𝑧 ∈ 𝐹 → 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)))
42	22, 41	mt3d 148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐹)
43	42	expr 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝐹))
44	43	ssrdv 3928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ 𝐹)
45		eldifsni 4725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ≠ ∅)
46	45	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → 𝑦 ≠ ∅)
47		elinel2 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
48	30, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → 𝑦 ∈ Fin)
49		elfir 9172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐹 ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → ∩ 𝑦 ∈ (fi‘𝐹))
50	21, 44, 46, 48, 49	syl13anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → ∩ 𝑦 ∈ (fi‘𝐹))
51		filfi 23008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (fi‘𝐹) = 𝐹)
52	21, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → (fi‘𝐹) = 𝐹)
53	50, 52	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦)) → ∩ 𝑦 ∈ 𝐹)
54	53	expr 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑥 ∈ ∩ 𝑦 → ∩ 𝑦 ∈ 𝐹))
55		eleq2 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = ∩ 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ ∩ 𝑦))
56		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = ∩ 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝐹 ↔ ∩ 𝑦 ∈ 𝐹))
57	55, 56	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = ∩ 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ ∩ 𝑦 → ∩ 𝑦 ∈ 𝐹)))
58	54, 57	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧 = ∩ 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐹)))
59	58	rexlimdva 3212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → (∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = ∩ 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐹)))
60	20, 59	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐹)))
61	60	imp32 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐹)
62	61	adantrrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐹)
63	62	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐹)
64		elssuni 4873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐽 → 𝑦 ⊆ ∪ 𝐽)
65	64	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝐽)
66		fibas 22125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (fi‘𝐵) ∈ TopBases
67		tgtopon 22119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((fi‘𝐵) ∈ TopBases → (topGen‘(fi‘𝐵)) ∈ (TopOn‘∪ (fi‘𝐵)))
68	66, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (topGen‘(fi‘𝐵)) ∈ (TopOn‘∪ (fi‘𝐵))
69	2, 68	eqeltrdi 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ (fi‘𝐵)))
70		fiuni 9185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐵 ∈ V → ∪ 𝐵 = ∪ (fi‘𝐵))
71	17, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = ∪ (fi‘𝐵))
72	13, 71	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ (fi‘𝐵))
73	72	fveq2d 6780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (TopOn‘𝑋) = (TopOn‘∪ (fi‘𝐵)))
74	69, 73	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
75		toponuni 22061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
77	76	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
78	65, 77	sseqtrrd 3963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
80		simprrr 779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑧 ⊆ 𝑦)
81		filss 23002	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐹)
82	12, 63, 79, 80, 81	syl13anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑦 ∈ 𝐹)
83	8, 82	rexlimddv 3219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐹)
84	83	expr 457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹))
85	84	ralrimiva 3103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹))
86	85	expr 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹) → ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹)))
87	86	imdistanda 572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹))))
88	1, 87	syl5bi 241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹))))
89		flimopn 23124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹))))
90	74, 11, 89	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐹))))
91	88, 90	sylibrd 258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) → 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)))
92	91	ssrdv 3928	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) ⊆ (𝐽 fLim 𝐹))
93		alexsub.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐽 fLim 𝐹) = ∅)
94		sseq0 4335	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) ⊆ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ (𝐽 fLim 𝐹) = ∅) → (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) = ∅)
95	92, 93, 94	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) = ∅)
96		ssdif0 4299	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹) ↔ (𝑋 ∖ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)) = ∅)
97	95, 96	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))
98		difss 4067	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵
99	98	unissi 4850	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ ∪ 𝐵
100	99, 13	sseqtrrid 3975	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝑋)
101	97, 100	eqssd 3939	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))
102	101, 98	jctil 520	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)))
103	17	difexd 5255	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐹) ∈ V)
104	103	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → (𝐵 ∖ 𝐹) ∈ V)
105		sseq1 3947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵))
106		unieq 4852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → ∪ 𝑥 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))
107	106	eqeq2d 2749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → (𝑋 = ∪ 𝑥 ↔ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)))
108	105, 107	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ 𝑥) ↔ ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))))
109	108	anbi2d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ 𝑥)) ↔ (𝜑 ∧ ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹)))))
110		pweq 4551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → 𝒫 𝑥 = 𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹))
111	110	ineq1d 4147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → (𝒫 𝑥 ∩ Fin) = (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin))
112	111	rexeqdv 3348	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦))
113	109, 112	imbi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∖ 𝐹) → (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦)))
114		alexsub.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑥 ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦)
115	113, 114	vtoclg 3504	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐹) ∈ V → ((𝜑 ∧ ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦))
116	104, 115	mpcom 38	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐵 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 = ∪ (𝐵 ∖ 𝐹))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦)
117	102, 116	mpdan 684	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦)
118		unieq 4852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ 𝑦 = ∪ ∅)
119		uni0 4871	. . . . . . 7 ⊢ ∪ ∅ = ∅
120	118, 119	eqtrdi 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ 𝑦 = ∅)
121	120	neeq2d 3004	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑋 ≠ ∪ 𝑦 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
122		difssd 4068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) → (𝑋 ∖ 𝑧) ⊆ 𝑋)
123	122	ralrimivw 3104	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) → ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) ⊆ 𝑋)
124		riinn0 5014	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) ⊆ 𝑋 ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧))
125	123, 124	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧))
126	14	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ V)
127	126	difexd 5255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 ∖ 𝑧) ∈ V)
128	127	ralrimivw 3104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) ∈ V)
129		dfiin2g 4964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) ∈ V → ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) = ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑦 𝑥 = (𝑋 ∖ 𝑧)})
130	128, 129	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) = ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑦 𝑥 = (𝑋 ∖ 𝑧)})
131		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧))
132	131	rnmpt 5866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) = {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑦 𝑥 = (𝑋 ∖ 𝑧)}
133	132	inteqi 4885	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∩ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∩ {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑦 𝑥 = (𝑋 ∖ 𝑧)}
134	130, 133	eqtr4di 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧) = ∩ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)))
135	125, 134	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∩ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)))
136	11	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
137		elfpw 9119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ (𝐵 ∖ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ Fin))
138	137	simplbi 498	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ (𝐵 ∖ 𝐹))
139	138	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ⊆ (𝐵 ∖ 𝐹))
140	139	sselda 3922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐹))
141	140	eldifbd 3901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐹)
142	9	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
143	139	difss2d 4070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ⊆ 𝐵)
144	143	sselda 3922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐵)
145		elssuni 4873	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → 𝑧 ⊆ ∪ 𝐵)
146	144, 145	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ⊆ ∪ 𝐵)
147	13	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑋 = ∪ 𝐵)
148	146, 147	sseqtrrd 3963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ⊆ 𝑋)
149		ufilb 23055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝑧 ∈ 𝐹 ↔ (𝑋 ∖ 𝑧) ∈ 𝐹))
150	142, 148, 149	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → (¬ 𝑧 ∈ 𝐹 ↔ (𝑋 ∖ 𝑧) ∈ 𝐹))
151	141, 150	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝑋 ∖ 𝑧) ∈ 𝐹)
152	151	fmpttd 6991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)):𝑦⟶𝐹)
153	152	frnd 6610	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ⊆ 𝐹)
154	131, 151	dmmptd 6580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → dom (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) = 𝑦)
155		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ≠ ∅)
156	154, 155	eqnetrd 3011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → dom (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅)
157		dm0rn0 5836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∅ ↔ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∅)
158	157	necon3bii 2996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dom (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅ ↔ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅)
159	156, 158	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅)
160		elinel2 4131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
161	160	ad2antlr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ∈ Fin)
162		abrexfi 9117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑦 𝑥 = (𝑋 ∖ 𝑧)} ∈ Fin)
163	132, 162	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ∈ Fin)
164	161, 163	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ∈ Fin)
165		filintn0 23010	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ⊆ 𝐹 ∧ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅ ∧ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ∈ Fin)) → ∩ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅)
166	136, 153, 159, 164, 165	syl13anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∩ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅)
167	135, 166	eqnetrd 3011	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅)
168		disj3 4389	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∅ ↔ 𝑋 = (𝑋 ∖ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)))
169	168	necon3bii 2996	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∩ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ (𝑋 ∖ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)))
170	167, 169	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ (𝑋 ∖ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)))
171		iundif2 5005	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑧)) = (𝑋 ∖ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧))
172		dfss4 4194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑧)) = 𝑧)
173	148, 172	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑧)) = 𝑧)
174	173	iuneq2dv 4950	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
175		uniiun 4990	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑦 = ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧
176	174, 175	eqtr4di 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∪ 𝑦)
177	171, 176	eqtr3id 2792	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑋 ∖ ∩ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝑋 ∖ 𝑧)) = ∪ 𝑦)
178	170, 177	neeqtrd 3013	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∪ 𝑦)
179	11	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
180		filtop 23004	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
181		fileln0 22999	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → 𝑋 ≠ ∅)
182	179, 180, 181	syl2anc2 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) → 𝑋 ≠ ∅)
183	121, 178, 182	pm2.61ne 3030	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) → 𝑋 ≠ ∪ 𝑦)
184	183	neneqd 2948	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)) → ¬ 𝑋 = ∪ 𝑦)
185	184	nrexdv 3197	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ (𝒫 (𝐵 ∖ 𝐹) ∩ Fin)𝑋 = ∪ 𝑦)
186	117, 185	pm2.65i 193	1 ⊢ ¬ 𝜑

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2715   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3431   ∖ cdif 3885   ∩ cin 3887   ⊆ wss 3888  ∅c0 4258  𝒫 cpw 4535  {csn 4563  ∪ cuni 4841  ∩ cint 4881  ∪ ciun 4926  ∩ ciin 4927   ↦ cmpt 5159  dom cdm 5591  ran crn 5592  ‘cfv 6435  (class class class)co 7277  Fincfn 8731  ficfi 9167  topGenctg 17146  TopOnctopon 22057  TopBasesctb 22093  Filcfil 22994  UFilcufil 23048  UFLcufl 23049   fLim cflim 23083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-iin 4929  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-1o 8295  df-er 8496  df-en 8732  df-dom 8733  df-fin 8735  df-fi 9168  df-topgen 17152  df-fbas 20592  df-top 22041  df-topon 22058  df-bases 22094  df-ntr 22169  df-nei 22247  df-fil 22995  df-ufil 23050  df-flim 23088

This theorem is referenced by:  alexsub  23194