Theorem uniinqs 8737

Description: Class union distributes over the intersection of two subclasses of a quotient space. Compare uniin 4875. (Contributed by FL, 25-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
uniinqs.1	⊢ 𝑅 Er 𝑋

Assertion

Ref	Expression
uniinqs	⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) → ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (∪ 𝐵 ∩ ∪ 𝐶))

Proof of Theorem uniinqs

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniin 4875	. . 3 ⊢ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ (∪ 𝐵 ∩ ∪ 𝐶)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) → ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ (∪ 𝐵 ∩ ∪ 𝐶))
3		eluni2 4855	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑏)
4		eluni2 4855	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐶 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐶 𝑥 ∈ 𝑐)
5	3, 4	anbi12i 629	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐶) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐶 𝑥 ∈ 𝑐))
6		elin 3906	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (∪ 𝐵 ∩ ∪ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐶))
7		reeanv 3210	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐶 𝑥 ∈ 𝑐))
8	5, 6, 7	3bitr4i 303	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (∪ 𝐵 ∩ ∪ 𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐))
9		simp3l 1203	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑥 ∈ 𝑏)
10		simp2l 1201	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
11		inelcm 4406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → (𝑏 ∩ 𝑐) ≠ ∅)
12	11	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → (𝑏 ∩ 𝑐) ≠ ∅)
13		uniinqs.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑅 Er 𝑋
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑅 Er 𝑋)
15		simp1l 1199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅))
16	15, 10	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑏 ∈ (𝐴 / 𝑅))
17		simp1r 1200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅))
18		simp2r 1202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑐 ∈ 𝐶)
19	17, 18	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑐 ∈ (𝐴 / 𝑅))
20	14, 16, 19	qsdisj 8734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → (𝑏 = 𝑐 ∨ (𝑏 ∩ 𝑐) = ∅))
21	20	ord 865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → (¬ 𝑏 = 𝑐 → (𝑏 ∩ 𝑐) = ∅))
22	21	necon1ad 2950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → ((𝑏 ∩ 𝑐) ≠ ∅ → 𝑏 = 𝑐))
23	12, 22	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑏 = 𝑐)
24	23, 18	eqeltrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑏 ∈ 𝐶)
25	10, 24	elind 4141	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑏 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))
26		elunii 4856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶))
27	9, 25, 26	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶))
28	27	3expia 1122	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → ((𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)))
29	28	rexlimdvva 3195	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)))
30	8, 29	biimtrid 242	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) → (𝑥 ∈ (∪ 𝐵 ∩ ∪ 𝐶) → 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)))
31	30	ssrdv 3928	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) → (∪ 𝐵 ∩ ∪ 𝐶) ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶))
32	2, 31	eqssd 3940	1 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) → ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (∪ 𝐵 ∩ ∪ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ∪ cuni 4851   Er wer 8633   / cqs 8635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-er 8636  df-ec 8638  df-qs 8642

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