Theorem uniinqs 8732

Description: Class union distributes over the intersection of two subclasses of a quotient space. Compare uniin 4885. (Contributed by FL, 25-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
uniinqs.1	⊢ 𝑅 Er 𝑋

Assertion

Ref	Expression
uniinqs	⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) → ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (∪ 𝐵 ∩ ∪ 𝐶))

Proof of Theorem uniinqs

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniin 4885	. . 3 ⊢ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ (∪ 𝐵 ∩ ∪ 𝐶)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) → ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ (∪ 𝐵 ∩ ∪ 𝐶))
3		eluni2 4865	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑏)
4		eluni2 4865	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐶 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐶 𝑥 ∈ 𝑐)
5	3, 4	anbi12i 628	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐶) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐶 𝑥 ∈ 𝑐))
6		elin 3915	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (∪ 𝐵 ∩ ∪ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐶))
7		reeanv 3206	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐶 𝑥 ∈ 𝑐))
8	5, 6, 7	3bitr4i 303	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (∪ 𝐵 ∩ ∪ 𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐))
9		simp3l 1202	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑥 ∈ 𝑏)
10		simp2l 1200	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
11		inelcm 4415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → (𝑏 ∩ 𝑐) ≠ ∅)
12	11	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → (𝑏 ∩ 𝑐) ≠ ∅)
13		uniinqs.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑅 Er 𝑋
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑅 Er 𝑋)
15		simp1l 1198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅))
16	15, 10	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑏 ∈ (𝐴 / 𝑅))
17		simp1r 1199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅))
18		simp2r 1201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑐 ∈ 𝐶)
19	17, 18	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑐 ∈ (𝐴 / 𝑅))
20	14, 16, 19	qsdisj 8729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → (𝑏 = 𝑐 ∨ (𝑏 ∩ 𝑐) = ∅))
21	20	ord 864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → (¬ 𝑏 = 𝑐 → (𝑏 ∩ 𝑐) = ∅))
22	21	necon1ad 2947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → ((𝑏 ∩ 𝑐) ≠ ∅ → 𝑏 = 𝑐))
23	12, 22	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑏 = 𝑐)
24	23, 18	eqeltrd 2834	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑏 ∈ 𝐶)
25	10, 24	elind 4150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑏 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))
26		elunii 4866	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶))
27	9, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶))
28	27	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → ((𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)))
29	28	rexlimdvva 3191	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)))
30	8, 29	biimtrid 242	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) → (𝑥 ∈ (∪ 𝐵 ∩ ∪ 𝐶) → 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)))
31	30	ssrdv 3937	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) → (∪ 𝐵 ∩ ∪ 𝐶) ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶))
32	2, 31	eqssd 3949	1 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) → ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (∪ 𝐵 ∩ ∪ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∃wrex 3058   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  ∪ cuni 4861   Er wer 8630   / cqs 8632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639

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