Theorem uniinqs 8586

Description: Class union distributes over the intersection of two subclasses of a quotient space. Compare uniin 4865. (Contributed by FL, 25-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
uniinqs.1	⊢ 𝑅 Er 𝑋

Assertion

Ref	Expression
uniinqs	⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) → ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (∪ 𝐵 ∩ ∪ 𝐶))

Proof of Theorem uniinqs

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniin 4865	. . 3 ⊢ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ (∪ 𝐵 ∩ ∪ 𝐶)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) → ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ (∪ 𝐵 ∩ ∪ 𝐶))
3		eluni2 4843	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑏)
4		eluni2 4843	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐶 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐶 𝑥 ∈ 𝑐)
5	3, 4	anbi12i 627	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐶) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐶 𝑥 ∈ 𝑐))
6		elin 3903	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (∪ 𝐵 ∩ ∪ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐶))
7		reeanv 3294	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐶 𝑥 ∈ 𝑐))
8	5, 6, 7	3bitr4i 303	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (∪ 𝐵 ∩ ∪ 𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐))
9		simp3l 1200	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑥 ∈ 𝑏)
10		simp2l 1198	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
11		inelcm 4398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → (𝑏 ∩ 𝑐) ≠ ∅)
12	11	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → (𝑏 ∩ 𝑐) ≠ ∅)
13		uniinqs.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑅 Er 𝑋
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑅 Er 𝑋)
15		simp1l 1196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅))
16	15, 10	sseldd 3922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑏 ∈ (𝐴 / 𝑅))
17		simp1r 1197	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅))
18		simp2r 1199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑐 ∈ 𝐶)
19	17, 18	sseldd 3922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑐 ∈ (𝐴 / 𝑅))
20	14, 16, 19	qsdisj 8583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → (𝑏 = 𝑐 ∨ (𝑏 ∩ 𝑐) = ∅))
21	20	ord 861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → (¬ 𝑏 = 𝑐 → (𝑏 ∩ 𝑐) = ∅))
22	21	necon1ad 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → ((𝑏 ∩ 𝑐) ≠ ∅ → 𝑏 = 𝑐))
23	12, 22	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑏 = 𝑐)
24	23, 18	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑏 ∈ 𝐶)
25	10, 24	elind 4128	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑏 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))
26		elunii 4844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶))
27	9, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶))
28	27	3expia 1120	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → ((𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)))
29	28	rexlimdvva 3223	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐶 (𝑥 ∈ 𝑏 ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)))
30	8, 29	syl5bi 241	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) → (𝑥 ∈ (∪ 𝐵 ∩ ∪ 𝐶) → 𝑥 ∈ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)))
31	30	ssrdv 3927	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) → (∪ 𝐵 ∩ ∪ 𝐶) ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶))
32	2, 31	eqssd 3938	1 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 / 𝑅) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 / 𝑅)) → ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (∪ 𝐵 ∩ ∪ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ∪ cuni 4839   Er wer 8495   / cqs 8497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504

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