Theorem ustref 24544

Description: Any element of the base set is "near" itself, i.e. entourages are reflexive. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ustref	⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴𝑉𝐴)

Proof of Theorem ustref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = 𝐴
2		resieq 5980	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴( I ↾ 𝑋)𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐴))
3	1, 2	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴( I ↾ 𝑋)𝐴)
4	3	anidms 577	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴( I ↾ 𝑋)𝐴)
5	4	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴( I ↾ 𝑋)𝐴)
6		ustdiag 24534	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑉)
7	6	ssbrd 5147	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → (𝐴( I ↾ 𝑋)𝐴 → 𝐴𝑉𝐴))
8	7	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴( I ↾ 𝑋)𝐴 → 𝐴𝑉𝐴))
9	5, 8	mpd 16	1 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴𝑉𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102   I cid 5544   ↾ cres 5652  ‘cfv 6539  UnifOncust 24525

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-res 5662  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fv 6547  df-ust 24526

This theorem is used by:  cstucnd  24608