Theorem ustref 24405

Description: Any element of the base set is "near" itself, i.e. entourages are reflexive. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ustref	⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴𝑉𝐴)

Proof of Theorem ustref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = 𝐴
2		resieq 5991	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴( I ↾ 𝑋)𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐴))
3	1, 2	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴( I ↾ 𝑋)𝐴)
4	3	anidms 577	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴( I ↾ 𝑋)𝐴)
5	4	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴( I ↾ 𝑋)𝐴)
6		ustdiag 24395	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑉)
7	6	ssbrd 5156	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → (𝐴( I ↾ 𝑋)𝐴 → 𝐴𝑉𝐴))
8	7	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴( I ↾ 𝑋)𝐴 → 𝐴𝑉𝐴))
9	5, 8	mpd 16	1 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴𝑉𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111   I cid 5557   ↾ cres 5665  ‘cfv 6540  UnifOncust 24386

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-res 5675  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ust 24387

This theorem is used by:  cstucnd  24469