MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ust0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ust0 23724
Description: The unique uniform structure of the empty set is the empty set. Remark 3 of [BourbakiTop1] p. II.2. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
ust0 (UnifOnβ€˜βˆ…) = {{βˆ…}}

Proof of Theorem ust0
Dummy variables 𝑣 𝑒 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5308 . . . . . . . 8 βˆ… ∈ V
2 isust 23708 . . . . . . . 8 (βˆ… ∈ V β†’ (𝑒 ∈ (UnifOnβ€˜βˆ…) ↔ (𝑒 βŠ† 𝒫 (βˆ… Γ— βˆ…) ∧ (βˆ… Γ— βˆ…) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (βˆ… Γ— βˆ…)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ βˆ…) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ (UnifOnβ€˜βˆ…) ↔ (𝑒 βŠ† 𝒫 (βˆ… Γ— βˆ…) ∧ (βˆ… Γ— βˆ…) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (βˆ… Γ— βˆ…)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ βˆ…) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))))
43simp1bi 1146 . . . . . 6 (𝑒 ∈ (UnifOnβ€˜βˆ…) β†’ 𝑒 βŠ† 𝒫 (βˆ… Γ— βˆ…))
5 0xp 5775 . . . . . . . 8 (βˆ… Γ— βˆ…) = βˆ…
65pweqi 4619 . . . . . . 7 𝒫 (βˆ… Γ— βˆ…) = 𝒫 βˆ…
7 pw0 4816 . . . . . . 7 𝒫 βˆ… = {βˆ…}
86, 7eqtri 2761 . . . . . 6 𝒫 (βˆ… Γ— βˆ…) = {βˆ…}
94, 8sseqtrdi 4033 . . . . 5 (𝑒 ∈ (UnifOnβ€˜βˆ…) β†’ 𝑒 βŠ† {βˆ…})
10 ustbasel 23711 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ (UnifOnβ€˜βˆ…) β†’ (βˆ… Γ— βˆ…) ∈ 𝑒)
115, 10eqeltrrid 2839 . . . . . 6 (𝑒 ∈ (UnifOnβ€˜βˆ…) β†’ βˆ… ∈ 𝑒)
1211snssd 4813 . . . . 5 (𝑒 ∈ (UnifOnβ€˜βˆ…) β†’ {βˆ…} βŠ† 𝑒)
139, 12eqssd 4000 . . . 4 (𝑒 ∈ (UnifOnβ€˜βˆ…) β†’ 𝑒 = {βˆ…})
14 velsn 4645 . . . 4 (𝑒 ∈ {{βˆ…}} ↔ 𝑒 = {βˆ…})
1513, 14sylibr 233 . . 3 (𝑒 ∈ (UnifOnβ€˜βˆ…) β†’ 𝑒 ∈ {{βˆ…}})
1615ssriv 3987 . 2 (UnifOnβ€˜βˆ…) βŠ† {{βˆ…}}
178eqimss2i 4044 . . . 4 {βˆ…} βŠ† 𝒫 (βˆ… Γ— βˆ…)
181snid 4665 . . . . 5 βˆ… ∈ {βˆ…}
195, 18eqeltri 2830 . . . 4 (βˆ… Γ— βˆ…) ∈ {βˆ…}
2018a1i 11 . . . . . 6 (βˆ… βŠ† βˆ… β†’ βˆ… ∈ {βˆ…})
218raleqi 3324 . . . . . . 7 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (βˆ… Γ— βˆ…)(βˆ… βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ {βˆ…}) ↔ βˆ€π‘€ ∈ {βˆ…} (βˆ… βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ {βˆ…}))
22 sseq2 4009 . . . . . . . . 9 (𝑀 = βˆ… β†’ (βˆ… βŠ† 𝑀 ↔ βˆ… βŠ† βˆ…))
23 eleq1 2822 . . . . . . . . 9 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑀 ∈ {βˆ…} ↔ βˆ… ∈ {βˆ…}))
2422, 23imbi12d 345 . . . . . . . 8 (𝑀 = βˆ… β†’ ((βˆ… βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ {βˆ…}) ↔ (βˆ… βŠ† βˆ… β†’ βˆ… ∈ {βˆ…})))
251, 24ralsn 4686 . . . . . . 7 (βˆ€π‘€ ∈ {βˆ…} (βˆ… βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ {βˆ…}) ↔ (βˆ… βŠ† βˆ… β†’ βˆ… ∈ {βˆ…}))
2621, 25bitri 275 . . . . . 6 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (βˆ… Γ— βˆ…)(βˆ… βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ {βˆ…}) ↔ (βˆ… βŠ† βˆ… β†’ βˆ… ∈ {βˆ…}))
2720, 26mpbir 230 . . . . 5 βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (βˆ… Γ— βˆ…)(βˆ… βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ {βˆ…})
28 inidm 4219 . . . . . . 7 (βˆ… ∩ βˆ…) = βˆ…
2928, 18eqeltri 2830 . . . . . 6 (βˆ… ∩ βˆ…) ∈ {βˆ…}
30 ineq2 4207 . . . . . . . 8 (𝑀 = βˆ… β†’ (βˆ… ∩ 𝑀) = (βˆ… ∩ βˆ…))
3130eleq1d 2819 . . . . . . 7 (𝑀 = βˆ… β†’ ((βˆ… ∩ 𝑀) ∈ {βˆ…} ↔ (βˆ… ∩ βˆ…) ∈ {βˆ…}))
321, 31ralsn 4686 . . . . . 6 (βˆ€π‘€ ∈ {βˆ…} (βˆ… ∩ 𝑀) ∈ {βˆ…} ↔ (βˆ… ∩ βˆ…) ∈ {βˆ…})
3329, 32mpbir 230 . . . . 5 βˆ€π‘€ ∈ {βˆ…} (βˆ… ∩ 𝑀) ∈ {βˆ…}
34 res0 5986 . . . . . . 7 ( I β†Ύ βˆ…) = βˆ…
3534eqimssi 4043 . . . . . 6 ( I β†Ύ βˆ…) βŠ† βˆ…
36 cnv0 6141 . . . . . . 7 β—‘βˆ… = βˆ…
3736, 18eqeltri 2830 . . . . . 6 β—‘βˆ… ∈ {βˆ…}
38 0trrel 14928 . . . . . . 7 (βˆ… ∘ βˆ…) βŠ† βˆ…
39 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = βˆ… β†’ 𝑀 = βˆ…)
4039, 39coeq12d 5865 . . . . . . . . 9 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑀 ∘ 𝑀) = (βˆ… ∘ βˆ…))
4140sseq1d 4014 . . . . . . . 8 (𝑀 = βˆ… β†’ ((𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† βˆ… ↔ (βˆ… ∘ βˆ…) βŠ† βˆ…))
421, 41rexsn 4687 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…} (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† βˆ… ↔ (βˆ… ∘ βˆ…) βŠ† βˆ…)
4338, 42mpbir 230 . . . . . 6 βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…} (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† βˆ…
4435, 37, 433pm3.2i 1340 . . . . 5 (( I β†Ύ βˆ…) βŠ† βˆ… ∧ β—‘βˆ… ∈ {βˆ…} ∧ βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…} (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† βˆ…)
45 sseq1 4008 . . . . . . . . 9 (𝑣 = βˆ… β†’ (𝑣 βŠ† 𝑀 ↔ βˆ… βŠ† 𝑀))
4645imbi1d 342 . . . . . . . 8 (𝑣 = βˆ… β†’ ((𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ {βˆ…}) ↔ (βˆ… βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ {βˆ…})))
4746ralbidv 3178 . . . . . . 7 (𝑣 = βˆ… β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (βˆ… Γ— βˆ…)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ {βˆ…}) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (βˆ… Γ— βˆ…)(βˆ… βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ {βˆ…})))
48 ineq1 4206 . . . . . . . . 9 (𝑣 = βˆ… β†’ (𝑣 ∩ 𝑀) = (βˆ… ∩ 𝑀))
4948eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (𝑣 = βˆ… β†’ ((𝑣 ∩ 𝑀) ∈ {βˆ…} ↔ (βˆ… ∩ 𝑀) ∈ {βˆ…}))
5049ralbidv 3178 . . . . . . 7 (𝑣 = βˆ… β†’ (βˆ€π‘€ ∈ {βˆ…} (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ {βˆ…} ↔ βˆ€π‘€ ∈ {βˆ…} (βˆ… ∩ 𝑀) ∈ {βˆ…}))
51 sseq2 4009 . . . . . . . 8 (𝑣 = βˆ… β†’ (( I β†Ύ βˆ…) βŠ† 𝑣 ↔ ( I β†Ύ βˆ…) βŠ† βˆ…))
52 cnveq 5874 . . . . . . . . 9 (𝑣 = βˆ… β†’ ◑𝑣 = β—‘βˆ…)
5352eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (𝑣 = βˆ… β†’ (◑𝑣 ∈ {βˆ…} ↔ β—‘βˆ… ∈ {βˆ…}))
54 sseq2 4009 . . . . . . . . 9 (𝑣 = βˆ… β†’ ((𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣 ↔ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† βˆ…))
5554rexbidv 3179 . . . . . . . 8 (𝑣 = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…} (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣 ↔ βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…} (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† βˆ…))
5651, 53, 553anbi123d 1437 . . . . . . 7 (𝑣 = βˆ… β†’ ((( I β†Ύ βˆ…) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ {βˆ…} ∧ βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…} (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣) ↔ (( I β†Ύ βˆ…) βŠ† βˆ… ∧ β—‘βˆ… ∈ {βˆ…} ∧ βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…} (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† βˆ…)))
5747, 50, 563anbi123d 1437 . . . . . 6 (𝑣 = βˆ… β†’ ((βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (βˆ… Γ— βˆ…)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {βˆ…} (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ {βˆ…} ∧ (( I β†Ύ βˆ…) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ {βˆ…} ∧ βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…} (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)) ↔ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (βˆ… Γ— βˆ…)(βˆ… βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {βˆ…} (βˆ… ∩ 𝑀) ∈ {βˆ…} ∧ (( I β†Ύ βˆ…) βŠ† βˆ… ∧ β—‘βˆ… ∈ {βˆ…} ∧ βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…} (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† βˆ…))))
581, 57ralsn 4686 . . . . 5 (βˆ€π‘£ ∈ {βˆ…} (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (βˆ… Γ— βˆ…)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {βˆ…} (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ {βˆ…} ∧ (( I β†Ύ βˆ…) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ {βˆ…} ∧ βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…} (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)) ↔ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (βˆ… Γ— βˆ…)(βˆ… βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {βˆ…} (βˆ… ∩ 𝑀) ∈ {βˆ…} ∧ (( I β†Ύ βˆ…) βŠ† βˆ… ∧ β—‘βˆ… ∈ {βˆ…} ∧ βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…} (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† βˆ…)))
5927, 33, 44, 58mpbir3an 1342 . . . 4 βˆ€π‘£ ∈ {βˆ…} (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (βˆ… Γ— βˆ…)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {βˆ…} (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ {βˆ…} ∧ (( I β†Ύ βˆ…) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ {βˆ…} ∧ βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…} (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))
60 isust 23708 . . . . 5 (βˆ… ∈ V β†’ ({βˆ…} ∈ (UnifOnβ€˜βˆ…) ↔ ({βˆ…} βŠ† 𝒫 (βˆ… Γ— βˆ…) ∧ (βˆ… Γ— βˆ…) ∈ {βˆ…} ∧ βˆ€π‘£ ∈ {βˆ…} (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (βˆ… Γ— βˆ…)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {βˆ…} (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ {βˆ…} ∧ (( I β†Ύ βˆ…) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ {βˆ…} ∧ βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…} (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
611, 60ax-mp 5 . . . 4 ({βˆ…} ∈ (UnifOnβ€˜βˆ…) ↔ ({βˆ…} βŠ† 𝒫 (βˆ… Γ— βˆ…) ∧ (βˆ… Γ— βˆ…) ∈ {βˆ…} ∧ βˆ€π‘£ ∈ {βˆ…} (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (βˆ… Γ— βˆ…)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ {βˆ…}) ∧ βˆ€π‘€ ∈ {βˆ…} (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ {βˆ…} ∧ (( I β†Ύ βˆ…) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ {βˆ…} ∧ βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…} (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))))
6217, 19, 59, 61mpbir3an 1342 . . 3 {βˆ…} ∈ (UnifOnβ€˜βˆ…)
63 snssi 4812 . . 3 ({βˆ…} ∈ (UnifOnβ€˜βˆ…) β†’ {{βˆ…}} βŠ† (UnifOnβ€˜βˆ…))
6462, 63ax-mp 5 . 2 {{βˆ…}} βŠ† (UnifOnβ€˜βˆ…)
6516, 64eqssi 3999 1 (UnifOnβ€˜βˆ…) = {{βˆ…}}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629   I cid 5574   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  β€˜cfv 6544  UnifOncust 23704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-res 5689  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ust 23705
This theorem is referenced by:  isusp  23766
  Copyright terms: Public domain W3C validator